2022年专题4中考数学三角形存在性

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -第四讲3例 1 如图，已知一次函数y = - x +7 与正比例函数y= 4 x 的图象交于点A，且与 x 轴交于点B.（ 1）求点 A 和点 B 的坐标；（ 2）过点 A 作 AC y 轴于点 C，过点 B 作直线 l y 轴动点 P 从点 O 动身，以每秒1 个单位长的速度，沿O C A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点 B 动身，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交 x 轴于点 R，交线段BA 或线段AO 于点 Q当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动在运动过程中，设动点 P 运动的时间为t

2、秒 .当 t 为何值时，以A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？如存在，求t 的值；如不存在，请说明理由y4y=- x+7y= 3 xy4y=- x+7y= 3 xAABOxBOx（备用图）y=-x+7解：（1）依据题意，得43y= xx=3y，解得，=4A3， 4 .ylA令 y=-x+7=0，得 x=7 B（ 7， 0） .C（2）当 P 在 OC 上运动时， 0 t 4.P由 S APR=S 梯形 COBA-S ACP-S POR-S ARB=8，得1111B23+7 × 4- 2× 3× 4- t -2

3、2t7-t -2t× 4=8ORx整理 , 得 t -8 t +12=0,解之得 t 1=2, t2=6（舍）当 P 在 CA 上运动， 4t 7.1由 S APR= 2× 7- t× 4=8，得 t=3（舍）ylA当 t=2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为8.CP当 P 在 OC上运动时， 0 t 4.22AP=（ 4- t）+3 ，AQ=2t ，PQ=7-tBORx精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - -

4、 - -222当 AP =AQ 时，（ 4- t） +3 =24- t ,2整理得， t -8 t+7=0. t=1,t =7 舍 222当 AP=PQ时，（ 4- t ） +3 =7- t ,整理得， 6t=24. t=4 舍去 22y当 AQ=PQ时， 2（ 4- t） =7- t l2A整理得， t -2 t-17=0 t=1± 32 舍CQ当 P 在 CA 上运动时， 4t 7.过 A 作 AD OB 于PD, 就 AD=BD=4.设直线 l 交 AC于 E，就 QE AC，AE=RD=t -4 ，AP=7- t .BORx由 cosOAC= AE =AQAC，得 AQ= A

5、Ol553 t -4 41当 AP=AQ时， 7- t =3 t-4 ，解得 t = 8 .y1当 AQ=PQ时， AE PE，即 AE= 2AP得 t -4=17- t ，解得 t =5.2当 AP=PQ时，过 P 作 PF AQ 于 FACPEFQBAF=12AQ =153× t-4. 2AF3OR Dx3在 Rt APF中，由 cosPAF1532262× t-4=5× 7- t ，解得 t=43即3，得 AF AP5.5AP综上所述， t=1 或418 或 5 或22643时， APQ是等腰三角形.例 2 如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线 y1 x

6、24 x10 与 x 轴的交点为点189B,过点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC现有两动点 P,Q分别从 O,C两点同时动身 ,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA 向终点 A 移动,点 Q以每秒 1 个单位的速度沿CB向点 B 移动,点 P 停止运动时 ,点 Q 也同时停止运动,线段 OC,PQ相交于点 D,过点 D 作 DEOA,交 CA于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F设动点 P,Q移动的时间为 t 单位:秒1求 A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;2当 t 为何值时 ,四边形 PQCA为平行四边形 .请写出运算过程 ;3当 0 t 92时, P

7、QF 的面积是否总为定值 .如是,求出此定值 ,如不是 ,请说明理由 ;4当 t 为何值时 , PQF 为等腰三角形 .请写出解答过程精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -解：（ 1） y1 x2188 x180 ，令 y0 得 x28 x1800 ，x18x100 x18 或 x10 A18,0 ；在 y1 x24 x10 中，令 x0 得 y10 即 B0,10 ；189124由于 BCOA，故点 C 的纵坐标为10，由1098xx18

8、910 得 x8 或 x0即 C 8,10且易求出顶点坐标为4,9于是，A18,0, B 0,10, C 8,10，顶点坐标为4,98 ；9（ 2 ） 如 四 边 形PQCA 为 平 行 四 边 形 ， 由 于QC PA； 故 只 要QC=PA 即 可 ， 而PA184t ,CQt 故184tt 得 t18 ；5（3）设点 P 运动 t 秒，就 OP4t ,CQt ， 0t4.5 ，说明 P 在线段 OA 上，且不与点OA、重合，由于 QCOP 知 QDC PDO，故QDQCt1 AFDPOP4t4 4tOP PFPAAFPAOP18又点 Q到直线 PF 的距离 d10 ，S PQF11PFd

9、22181090 ，于是 PQF的面积总为90；222（4）由上知，P 4t,0,F 184t,0,Q8t ,10 ， 0t4.5 ；构造直角三角形后易得2PQ4t8t105t8100，FO2184t8t 21025t102100如 FP=PQ，即 1825t82100，故25t2 2224 ， 2 t2 6.5 t2224414 t25541425如 QP=QF，即5t821005t102100 ，无 0 t 4.5 的 t 满意条件；精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - -

10、 - - - - - - - - -如PQ=PF， 即5t82100182 ， 得 5t822 2，4 t841 454. 5 或t84140 都不满意 0 t 4.5 ，故无 0 t 54.5 的 t 满意方程；综上所述：当t4142 时， PQR是等腰三角形；5例 3如图，已知直线y1 x21 与 y 轴交于点A，与 x 轴交于点D，抛物线 y1 x22bxc 与直线交于A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B点坐标为1， 0；求该抛物线的解析式；动点 P 在轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点P 的坐标 P；在抛物线的对称轴上找一点M，使 | AMMC |的值最大，求出点M

11、 的坐标；解（ 1）将 A（ 0，1）、B（ 1，0）坐标代入y1 x22bxc 得c11bc 2b3解得20c1123抛物线的解折式为yxx1 22（ 2）设点 E 的横坐标为m ，就它的纵坐标为1 m23 m122即 E 点的坐标 （ m ， 1 m23 m1 ）又点 E 在直线 y1 x1 上222 1 m23 m11 m1解得 m10（舍去）， m24222 E 的坐标为（ 4， 3）（）当 A 为直角顶点时过 A 作 AP1 DE 交 x 轴于 P1 点，设 P1（ a,0）易知 D 点坐标为（2， 0）由 RtAOD Rt POA得DOOA21即OAOP1a， a1 P1（21 ，

12、 0）2（）同理，当E 为直角顶点时，P2 点坐标为（11 ，0）2（） 当 P 为直角顶点时， 过 E 作 EFx 轴于 F，设 P3（ b 、3 ）由 OPA+ FPE 90°， 得 OPA FEPRtAOPRt PFE精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -AOOP1由得PFEF4bb解得 b13 ， b213此时的点P3 的坐标为（ 1，0）或（ 3，0）综上所述，满意条件的点P 的坐标为（1 ， 0）或（ 1， 0）或（

13、3， 0）或（ 11 ， 0）223（）抛物线的对称轴为x2 B、C 关于 x3 对称 MC MB2要使 |AMMC| 最大，即是使| AMMB| 最大由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M 在同始终线上时|AMMB| 的值最大易知直线 AB 的解折式为yx1 由yx1x323得 M （3 ， 1 ）x2y1222例 4 如图（ 1），（ 2）所示，矩形ABCD的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上， DF=2；动点 M 、 N 分别从点 D、B 同时动身，沿射线DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点 N 运动到点A 时， M 、N 两点

14、同时停止运动；连接FM、FN，当 F、N、M 不在同始终线时，可得 FMN，过 FMN 三边的中点作PQW；设动点M 、N 的速度都是1 个单位 / 秒， M 、N 运动的时间为 x 秒；试解答以下问题：（1）说明 FMN QWP；（2）设 0 x4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段） ；试问 x 为何值时， PQW 为直角三角形？ 当 x 在何范畴时，PQW 不为直角三角形？（3）问当 x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值；DFCDFCPWPWMQABANBMQN第 22 题图（ 1）第 22 题图（ 2）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共

15、 9 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（1）提示： PQ FN， PW MN QPW= PWF， PWF = MNF QPW= MNF同理可得：PQW= NFM 或 PWQ= NFM FMN QWP（ 2）当 x4 或x 34 时， PQW 为直角三角形；当 0 x < 43， 4 <x <4 时， PQW 不为直角三角形；3（ 3） 223例 5（满分 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bx3 与 x 轴的两个交点分别为 A（ - 3， 0）、B（ 1， 0），过顶点C 作 CH

16、 x 轴于点 H.（ 1）直接填写：a =， b=，顶点 C 的坐标为；（ 2）在 y 轴上是否存在点D，使得 ACD是以 AC为斜边的直角三角形？如存在，求出点 D 的坐标；如不存在，说明理由；（ 3）如点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点 C 不重合），PQ AC于点 Q，当 PCQ与 ACH 相像时，求点P 的坐标 .yyCCAHOBxAHOBx（备用图）解：（ 1） a1, b2 ，顶点 C 的坐标为（ - 1， 4）（ 2）假设在 y 轴上存在满意条件的点D,过点 C 作 CEy 轴于点 E.由 CDA=90°得， 1+ 2=90°.又 2+ 3=

17、90°，y 3= 1.又 CED= DOA =90°，CE CED DOA， CEDO .EDAO1设 D（ 0，c），就1c.24c33变形得 c24c30 ，解之得 c3,c1 .AHOBx12综合上述：在y 轴上存在点D（ 0， 3）或（ 0， 1），使 ACD 是以 AC为斜边的直角三角形.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 3） 如点 P 在对称轴右侧（如图），只能是 PCQCAH，得 QCP=CAH.延

18、长 CP交 x 轴于 M ， AM =CM， AM 2=CM2.设 M （ m， 0），就 m+32=42+m +12， m=2，即 M （ 2， 0）.设直线 CM 的解析式为y=k1x+b1，k1b1就2k1b14， 解之得 k1048， b1.33直线 CM 的解析式y4 x8 .33y4 x81x1120联立33，解之得x3或 舍去 . P， .yx 22x3y20y4399如点 P 在对称轴左侧（如图），只能是 PCQ ACH，得 PCQ= ACH.过 A 作 CA 的垂线交PC于点 F，作 FN x 轴于点 N.由 CFA CAH 得 CAAF由 FNA AHC 得 FNAHCH2

19、 ， AHNAAF1 .HCCA2 AN2， FN1 ,点 F坐标为（ - 5, 1） .k 2b24319设直线 CF 的解析式为y=k2 x+b2，就5k2b21，解之得 k2, b2.44直线 CF 的解析式y319x.44y3 x19联立44yx 22 x，解之得3x74或y5516x1 舍去 . Py4755，.416满意条件的点P 坐标为120，或 39755，416yyCCQPQPFAHOBMxNAHOBx（图）（图）练习精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - -

20、- - - - - - - - -如图，已知抛物线y 3 x 2 bx c 与坐标轴交于A、B、C 三点，A 点的坐标为4（ 1，0），过点 C 的直线 y 34 tx 3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点， 过 P作 PH OB 于点 H如 PB 5t，且 0t 1（ 1）填空：点C 的坐标是 _ _， b _， c_ _；（ 2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示） ；（ 3）依点 P 的变化，是否存在t 的值，使以P、H、 Q 为顶点的三角形与 COQ相像？如存在，求出全部t 的值；如不存在，说明理由yQHAOBxPC解：（ 1）（ 0， 3）， b 94， c 3（ 2）由（ 1），得 y 34x2 9 x 3，它与 x 轴交于 A， B 两点，得B（ 4，0 ） 4 OB4，又 OC 3， BC 5 由题意，得 BHP BOC， OC OB BC 3 45