习题变式的途径和方法-报告(山西大同骨干教师)206719

1、LOGO首师大附中首师大附中 张文娣张文娣 2016 2016年年7 7月月1919日日山西大同教师培训山西大同教师培训习题变式的途径和方法多题一解变式一题多变变式一题多用变式综合变式一题多解变式一题多解变式一题多解变式 一题多解就是对同一个数学问题，鼓励、启发、引导学生在所学知识范围内，大胆地、尽可能地提出不同的解题构想和方法，拓宽学生的发散思维空间，培养学生发散思维、创新意识和思考周全的能力。一题多解变式一题多解变式题1已知：如图已知：如图1 1，在中，在中， 平分平分. .求证：求证：BDABCDAC一题多解变式一题多解变式BDABCDAC证法证法1证法证法2证法证法3证法证法4证法证法

2、5证法证法6证法证法7题1一题多解变式一题多解变式证法证法8证法证法9证法证法11证法证法10题1BDABCDAC一题多解变式一题多解变式BDABCDAC三角形内角平分线性质三角形外角平分线性质题1一题多解变式一题多解变式题2如图，四边形是正方形，点是边的中点，=90，EF交正方形外角的平分线于。求证：=E。（人教版八年级下册第69页第4题）?A?B?C?D?E?F?G一题多解变式一题多解变式题2证法证法1 1证法证法2 2证法证法3 3证法证法4 4证法证法5 5证法证法6 6 一题多变变式，就是通过对某一题目进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化、类比、分解、拓广等多角度、多方位的探究

3、，使一个题变为一类题，达到举一反三、触类旁通的目的，培养学生良好的思维品质及探索、创新能力。 一题多变变式包括条件变式、结论变式、逆向变式、图形变式、分解变式、拓广变式、推广应用等。一题多解变式一题多变变式一题多变变式一题多解变式一题多变变式一题多变变式 条件变式就是对某一题目的条件进行变式，从而得到一类变式题组。通过对变式题组的分析解答，使学生掌握一类问题的题型结构，加深对问题本质的认识，提高解题能力。条件变式条件变式一题多解变式一题多变变式一题多变变式条件变式条件变式已知已知y y是是x x的反比例函数，当的反比例函数，当x=2x=2时，时，y=6,y=6,求求y y与与x x的函数关系式

4、的函数关系式. .( (教材例题教材例题) )题3一题多变变式一题多变变式条件变式条件变式题3变式变式： （中考试题）如图，反比例函数如图，反比例函数 ( (m m0)0)与一次函数与一次函数y ykxkxb b( (k k0)0)的图象相交于的图象相交于A A、B B两点，点两点，点A A的坐标为的坐标为( (6 6，2)2)，点，点B B的坐标为的坐标为(3(3，n n) )求反比例函数求反比例函数和和一次函数的解析式一次函数的解析式y=mx一题多变变式一题多变变式条件变式条件变式题3(0)myxx变式变式2 2： （中考试题）如图，A、B两点在函数 的图象上.求m 的值及直线AB的解析式

5、。一题多变变式一题多变变式条件变式条件变式题3变式3： （中考试题）如图，已知一次函数yx1与反比例函数 的图象都经过点(1，m)(1)求反比例函数的关系式；(2)根据图象直接写出使这两个函数值都小于0时x的取值范围(m 0)myx一题多变变式一题多变变式条件变式条件变式题3变式4：一题多变变式一题多变变式条件变式条件变式题3变式5： （中考试题）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA= ，tanAOC= ，点B的坐标为（m，-2）。（1）求反比例函数的解析式（2）求一次函数的解析式kyx1 013一题多变变式一题多变变式条

6、件变式条件变式题3变式6： （中考试题）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数 的图象上求反比例函数的解析式。kyx一题多变变式一题多变变式条件变式条件变式题4如图如图1 1，的对角线的对角线ACAC，BDBD交于点，交于点，是上的两点，并且，是上的两点，并且= =. .求证四边形是平行四边形。求证四边形是平行四边形。（人教版八年级下册第46页例）图图1一道课本例题的演变一道课本例题的演变一题多解变式一题多变变式一题多变变式 结论变式就是在问题条件不变的情况下，引导学生运用类比、联想等发散思维，将问题的结论向横、纵方向拓展，达到以点穿线、触类旁通之目的，依此培养学生创新精神和实践意识

7、。结论变式结论变式一题多变变式一题多变变式结论变式结论变式如图A,P,B,C是上的四个点， .判断的形状，并证明你的结论.060APCCPB（人教版九年级上册第90页14题）变式1求证：=题5一题多变变式一题多变变式结论变式结论变式如图A,P,B,C是上的四个点， .判断的形状，并证明你的结论.060APCCPB=（人教版九年级上册第90页14题）题5变式1求证：=。求证：(1) (2)变式2变式3变式422(1);(3) AB;(2) PB PCPA PD;(4) AC.BD DCAD PDAD APAD AP=2PA PC;PCPA PD-=一题多变变式一题多变变式逆向变式逆向变式 逆向变

8、式就是当一个命题获得解决以后，启发、引导学生分析、探究所解决命题的逆命题，并判断其是否成立，以培养学生的逆向思维和创新能力。一题多变变式一题多变变式逆向变式逆向变式已知：如图，在ABC中，AB=AC，DB=DC，DEAB，DFAC，垂足为E、F求证：DE=DF（人教版八年级上册P89活动3）变式2:求证：求证：BD=DC.变式1:求证：求证：AB=AC.变式3:求证：求证：DEB=DFC=90假命题题6一题多变变式一题多变变式图形变式图形变式 图形变式就是以基本图形为“生长点”，通过将其变换、引申为相关图形而得到变式题组，从而培养学生对几何图形的识图能力、想象能力、变换能力及思维的多向性和灵活

9、性。一题多变变式一题多变变式图形变式图形变式如图，已知=,=.求证：/ D C B A 该图是全等三角形中的基本图形，也是四该图是全等三角形中的基本图形，也是四边形中非常重要的基本图形，若对此图实施基边形中非常重要的基本图形，若对此图实施基本变换（平移、翻折、旋转），便得到一串基本变换（平移、翻折、旋转），便得到一串基本问题和中考题。本问题和中考题。题7一题多变变式一题多变变式图形变式图形变式题7图图1 1（）是全等（）是全等三角形中的基本图三角形中的基本图形，也是四边形中形，也是四边形中非常重要的基本图非常重要的基本图形，若对此图实施形，若对此图实施基本变换（平移、基本变换（平移、翻折、旋转

10、），便翻折、旋转），便得到一串基本图形得到一串基本图形和常见问题。和常见问题。东方名家第七讲东方名家第七讲一题多变变式一题多变变式图形变式图形变式题8东方名家第七讲东方名家第七讲如图,ABD,AEC都是等边三角形， 求证：BE=DC. (八年级（上）教材P83第12题) 实际上就是实际上就是【题题7 7】变式图变式图1010体现的变式体现的变式?E?D?C?B?A图图2一题多变变式一题多变变式图形变式图形变式题8等边等边变等腰变等腰等边变等边变正方形正方形两个两个变三个变三个等边变等边变正方形正方形东方名家第七讲东方名家第七讲?E?D?C?B?A图图2?E?D?C?B?A图图5 5图图4?G?

11、F?E?D?C?B?A?M?F?E?D?C?B?A?A?B?C?D?E?F?G?H?I?O?1?O?2?O?3图图6 6一题多解变式一题多解变式把基本图形变成平行四边形东方名家第七讲东方名家第七讲题8图形变式图形变式?E?D?C?B?A图图2?E?F?D?C?B?A图图7图图8图图9图图10图图11?E?H?G?F?D?C?B?A?B?3?B?2?B?1?E?H?G?F?D?C?B?A?N?M?A?B?C?D?F?G?H?E?Q?P?O?4?N?M?O?3?O?2?O?1?A?B?C?D?F?G?H?E一题多解变式一题多解变式 分解变式就是对综合性较强的数学问题，引导学生将其分解为几个基本问题

12、，通过对基本问题的求解，逐步达到解决问题的目的。分解变式分解变式一题多解变式一题多解变式分解变式分解变式东方名家第八讲（上）东方名家第八讲（上）图图1题9本题为山西中考试题的压轴题，综合性较强。本题为山西中考试题的压轴题，综合性较强。若分解为下列题组，则较易求解。若分解为下列题组，则较易求解。长春市长春市20142014年中考年中考-24-24题题一题多解变式一题多解变式拓广变式拓广变式 拓广变式就是将某一问题的条件和结论变换成一般的形式，让学生把研究对象或问题扩展到更大范围进行考察，进而开阔学生的视野，培养学生良好的思维品质和创新能力。一题多解变式一题多解变式题10如图，四边形是正方形，点是

13、边的中点，=90，EF交正方形外角的平分线于。求证：=。（人教版八年级下册第69页第4题）?A?B?C?D?E?F?G拓广变式拓广变式东方名家第八讲东方名家第八讲(下下)一题多解变式一题多解变式拓广变式拓广变式变点变点E的的位置位置变角的变角的大小大小变边数变边数及角的及角的大小大小变边数变边数及角的及角的大小大小变边数变边数及角的及角的大小大小变边数变边数及角的及角的大小大小题10东方名家第八讲东方名家第八讲(下下)图图1图图2图图3图图4图图5图图6图图7图图4多题一解变式多题一解变式 多题一解变式常体现在两个方面：一是将某一题目改变表达形式而变为另一内容的题目，但题目本质不变，解法相同;

14、二是通过互为逆否命题转换而得到的等价命题或不同题型间的转换，如选择题变为填空题，解答题变为证明题、探索开放题等，都属多题一解的范围。多题一解变式多题一解变式已知方程已知方程 的两个实数根的平方和是的两个实数根的平方和是3434，求，求m m的值。的值。变式：若方程：若方程 的两个实数根的平的两个实数根的平方和是方和是3434，则，则m m。2240 xxm变式：若方程：若方程 的两个实数根的平方和的两个实数根的平方和是是34,34,则则m m的值是（）的值是（）. . .-.- . . .2240 xxm2240 xxm变式：是否存在实数：是否存在实数m m，使方程，使方程 的的两个实数根的平

15、方和是？若存在，求出两个实数根的平方和是？若存在，求出m m的值；若的值；若不存在，说明理由。不存在，说明理由。2240 xxm变式4：若方程：若方程 的两个实数根的平方的两个实数根的平方和是和是3434，求证：，求证：m m30.30.2240 xxm【题题1111】的变式属题型变式的变式属题型变式题11多题一解变式多题一解变式题12【题题1212】的变式属等价变式的变式属等价变式 m是什么实数时，方程 有实数？2(2)40 xmx变式1：m是什么实数时，函数 图象与图象与x x轴有公共轴有公共点。点。2(2)4yxmx变式2：m是什么实数时，关于x的不等式 的解集是空集？2(2)40 xm

16、x2(2)4xmx变式3：m是什么实数时，关于x的二次三项式 能分解为两个因式的积。变式4：m是什么实数时，直线直线 与抛物线与抛物线 有公共点。有公共点。ymx2(1)3yx变式5：m是什么实数时，直线直线 与抛物线与抛物线 有公共点。有公共点。(2)ymx24yx一题多用变式一题多用变式 一题多用变式，就是以教材中的基本例、一题多用变式，就是以教材中的基本例、习题为集中目标，探讨该习题及其变通形式的习题为集中目标，探讨该习题及其变通形式的应用，挖掘基本习题的解题功能，从而提高学应用，挖掘基本习题的解题功能，从而提高学生的解题能力。生的解题能力。三个直角，三个直角，得俩三角形相似得俩三角形相

17、似一题多用变式一题多用变式【题13】如图1，90，是中点， 平分 求证： （人教版八年级上教材题）题13图图2图图1一题多用变式一题多用变式题13图图2图图3图图4图图5图图6一题多用变式一题多用变式题13图图2图图7图图8图图9图图10图图11综合变式综合变式 前面，我们分类给出了例题、习题的多种变式形式，应当指出的是，各种变式不是彼此孤立、单一实施，而是交叉渗透的，在同一题目的变式中，常常是各种变式相伴而行。因此，在实施的变式教学时，要注意各种变式的交叉作用。【题13】如图1，90，是中点， 平分 求证： （人教版八年级上教材题）图图1变式得下面中考题变式得下面中考题题14综合变式综合变式 （某市中考试题变式） 图1 E D C B A巧用中考试题进行复习巧用中考试题进行复习已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中中, ,AB/CD,A=90 AB/CD,A=90 AB=9,BC=13,CD=4,E AB=9,BC=13,CD=4,E是是ADAD的中点的中点. .求证：求证：CE BE.CE BE.山西中考山西中考 2014201620102010年北京压轴题年北京压轴题1:30301:3D DC CB BA A20102010年北京压轴题年北京压轴题20102010年北京压轴题年北京压轴题1:3 6 6 5 5 4