第6章无限脉冲响应数字滤波器设计09-10-1

1、第第6 6章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIRIIR） 数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 6.1 6.1 基本概念基本概念 6.2 6.2 常用模拟低通滤波器的设计方法常用模拟低通滤波器的设计方法6.3 6.3 模拟滤波器的频率变换模拟滤波器的频率变换6.4 6.4 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器6.5 6.5 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器 学习目标学习目标v理解数字滤波器的基本概念理解数字滤波器的基本概念v掌握掌握ButterworthButterworth低通滤波器的特点低通滤波器的特

2、点v了解利用模拟滤波器设计数字滤波器的过程了解利用模拟滤波器设计数字滤波器的过程v了解利用频带变换法设计各种类型滤波器的了解利用频带变换法设计各种类型滤波器的方法方法v掌握脉冲响应不变法掌握脉冲响应不变法v掌握双线性变换法掌握双线性变换法)(jeX0)(jeYc0)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY0)(jeHc16.1 基本概念基本概念 数字滤波器：数字滤波器： 是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含系改变输入信号所含频率成分的相对比例频率成分的相对比例或者或者滤除某滤除某些频率成分些频率成分的器件。的器件。优

3、点：优点： 高精度、高稳定性、体积小、重量轻、灵活；高精度、高稳定性、体积小、重量轻、灵活；不要求阻抗匹配；不要求阻抗匹配；可实现特殊滤波功能；可实现特殊滤波功能；通过通过A/DCA/DC和和D/ACD/AC，使用数字滤波器对模拟信号处理，使用数字滤波器对模拟信号处理 一、一、 数字滤波器的分类数字滤波器的分类1 1、一般分类、一般分类经典滤波器：输入信号中的有用频率成分和希望滤除经典滤波器：输入信号中的有用频率成分和希望滤除 的频率成分占用不同频带的频率成分占用不同频带 通过选频滤波器达到滤波目的通过选频滤波器达到滤波目的现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信现代滤波器：信号和干扰的

4、频带相互重叠，要利用信 号的统计分布规律，从干扰中最佳提取号的统计分布规律，从干扰中最佳提取 信号，如：信号，如： 维纳滤波器、维纳滤波器、 卡尔曼滤波器、卡尔曼滤波器、 自适应滤波器等自适应滤波器等w0-|H(ejw)|低通(LF)频率响应2-2w0-|H(ejw)|高通(HF)频率响应2-2w0-|H(ejw)|带通BF频率响应2-2w0-|H(ejw)|带阻BS频率响应2-2特点：特点：(1)(1)单位脉冲响应是非因果且无限长，不可能实现，只能尽可单位脉冲响应是非因果且无限长，不可能实现，只能尽可 能逼近；能逼近；(2)DF(2)DF的传输函数是以的传输函数是以2 2 为周期，为周期，低

5、通的中心频带低通的中心频带处于处于2 2 的整的整 数倍处数倍处，高通的中心频带高通的中心频带处于处于 的奇数倍附近。的奇数倍附近。 2、按功能分：按功能分：LP、HP、BP、BS、全通滤波器、全通滤波器 0)(jeHc10)(jeHc1如何用实际如何用实际特性逼近理特性逼近理想特性？想特性？3、按实现的网络结构或单位抽样响应分：、按实现的网络结构或单位抽样响应分：IIR滤波器滤波器（N阶阶） NkkkMkkkzazbzH101FIR滤波器滤波器（N-1阶阶） 10NnnznhzH全极点系统或零、极点系统全极点系统或零、极点系统全零点系统全零点系统 二、二、 数字滤波器的设计过程数字滤波器的设

6、计过程 1）按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标；指标； 2）用一个因果稳定的用一个因果稳定的LTI系统的系统函数系统的系统函数H(z)逼近逼近此性能指标，根据不同要求可以用此性能指标，根据不同要求可以用IIR系统函数，也可系统函数，也可以用以用 FIR系统函数去逼近；系统函数去逼近； 3）利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等。构、字长的选择等。 三、三、 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标jwejjwjweeHeH|H(ejw)|系统的幅频特性：系统的幅频特性：表示信号通过该表示

7、信号通过该滤波器滤波器后各频率成分衰减情况。后各频率成分衰减情况。(ejw)系统的相频特性：系统的相频特性：反映各频率成分通过滤波反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。器后在时间上的延时情况。u两个滤波器幅频特性相同，相频特性可能不一样，两个滤波器幅频特性相同，相频特性可能不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。的。u选频滤波器的技术指标由幅频特性给出，对相频特选频滤波器的技术指标由幅频特性给出，对相频特性一般不作要求，但如果对输出波形有要求，则需性一般不作要求，但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如，语音

8、合成、波要考虑相频特性的技术指标，例如，语音合成、波形传输、图像信号处理等。本章主要研究由幅频特形传输、图像信号处理等。本章主要研究由幅频特性提出指标的选频滤波器的设计。性提出指标的选频滤波器的设计。011 通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率111PSSP2过渡带过渡带通带通带阻带阻带jweH 通带容限通带容限1 阻带容限阻带容限2在在通带通带内，幅度响应以最大误差内，幅度响应以最大误差1 1逼近于逼近于1 1，即，即 在在阻带阻带内，幅度响应以误差小于内，幅度响应以误差小于2 2而逼近于零，即而逼近于零，即 2| )(|jeHs|1| )(|11jeH|p 在在过渡带过渡带，从

9、通带平滑地下降到阻带，从通带平滑地下降到阻带在具体技术指标中往往使用在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减通带允许的最大衰减（波纹）和（波纹）和阻阻带应达到的最小衰减带应达到的最小衰减描述，定义分别为：描述，定义分别为： 2010lg20| )(|lg20| )(| )(|lg20)1lg(20| )(|lg20| )(| )(|lg20ssppjjjsjjjpeHeHeHeHeHeH 假定假定|H(ej0)|=1(已被归一化已被归一化)|H(ejc)|=0.707，则，则 =3 dB；wc为为3db通带截止频率通带截止频率|H(ejs)|=0.001，则，则 =60 dB。psNkkMk

10、kNkkkMkkkzdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)(IIRIIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数滤波器的系统函数的设计就是确定各系数a ak k, , b bk k或零极点或零极点c ck k，d dk k和和A A，以使滤波器满足给定的性能要，以使滤波器满足给定的性能要求。求。四、四、 IIRIIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法设计方法通常有以下两种：设计方法通常有以下两种： 1. 1. 先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器wp , wsp, sH(s)H(z)巴特沃思设计巴特沃思设计切比雪夫设计切比雪夫设计脉冲响应不变

11、脉冲响应不变双线性变换法双线性变换法2. 2. 直接设计法直接设计法 零极点位置累试法零极点位置累试法 计算机辅助设计法计算机辅助设计法6.2 常用模拟低通滤波器的设计方法常用模拟低通滤波器的设计方法 常用的模拟滤波器原型有常用的模拟滤波器原型有: :u 巴特沃思（巴特沃思（ButterworthButterworth）滤波器）滤波器 具有单调下降的幅频特性具有单调下降的幅频特性u 切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshev）滤波器）滤波器 幅频特性在通带或阻带有波动幅频特性在通带或阻带有波动u 椭圆（椭圆（EllipseEllipse）滤波器）滤波器 通带和阻带均为等波纹特性通

12、带和阻带均为等波纹特性u 贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）滤波器）滤波器 通带内有较好的线性相位特性通带内有较好的线性相位特性以这些数学函以这些数学函数命名的滤波数命名的滤波器是低通滤波器是低通滤波器的原型器的原型图图 各种理想模拟滤波器的幅频特性各种理想模拟滤波器的幅频特性 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c|Ha(j )|0.707 p s通带通带阻带阻带过过渡渡带带10 C p s通带通带过过渡渡带带阻带阻带 (dB) 衰减衰减 p S 0一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法1 1、模拟低通滤波器的设计指标有

13、：、模拟低通滤波器的设计指标有：pp、ss、pp、sspp和和ss分别称为通带截止频率和阻带截止频率分别称为通带截止频率和阻带截止频率; ;p p是通带中的最大衰减系数，是通带中的最大衰减系数，s s是阻带的最小衰减系数，是阻带的最小衰减系数，p和和s一般用一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：可表示成：22220lg100lg10saaspaapjHjHjHjH图中c称为3dB截止频率，因 ( )1 /2 ,2 0 lg ( ) 3a ca cHjHjd B ( ) 1 / 2 , 2 0 lg ( ) 3acacHjHjd B22lg10lg1

14、01010saspapajHjHjH，即处幅度已归一化到如果2、 逼近方法逼近方法用频率响应的幅度平方函数逼近用频率响应的幅度平方函数逼近)()(| )(|*2jHjHjHaaa由于滤波器冲激响应由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而是实函数，因而Ha(j)满足满足 )()(*jHjHaajsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|2u 如何由如何由|Ha(j)|2求求Ha(s)？jsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|2稳定的滤波器要求左半平面的极点一稳定的滤波器要求左半平面的极点一定属于定属于Ha(s)，则右半平面的极点必属，则右半平面的极点

15、必属于于Ha(-s)；将以虚轴为对称轴的对称零点的任一将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为半作为Ha(s)的零点，虚轴上的零点一的零点，虚轴上的零点一半归半归Ha(s)。由由|Ha(j)|2确定确定Ha(s)的方法：的方法：由幅度平方函数得象限对称的由幅度平方函数得象限对称的s s平面函数；平面函数；将将H Ha a(s)Ha(-s)(s)Ha(-s)因式分解，得到各零极点；因式分解，得到各零极点；对比对比H Ha a(j)(j)和和H Ha a(s)(s)，确定增益常数；，确定增益常数；1.1. 由零极点及增益常数，得由零极点及增益常数，得H Ha a(s)(s)。222223649251

16、6jHa 222223649251622sssjHsHsHsaaa 67252sssksHa 672544200ssssHkjHsHaasa二、二、 巴特沃思低通逼近巴特沃思低通逼近NcajH22)/(11|)(|u N为正整数，代表滤波器的阶数。为正整数，代表滤波器的阶数。u 当当=0时，时，|Ha(j0)|=1； u 当当=c时，时，|Ha(jc)|=0.707，20lg|Ha(j0)/Ha(jc)|=3 dB， c为为3 dB截止频率。（截止频率。（3分贝带宽）分贝带宽） 1) 在通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小；在通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小； 2) 过渡带及阻带内快速单调

17、减小；过渡带及阻带内快速单调减小； 3) N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄；越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄； 4) 3dB不变性不变性;1. 1. 幅度函数的特点幅度函数的特点NcjsNcaaajssHsHjH2221111)()(Ha(s)Ha(-s)的极点为的极点为 NkjccNkejs2122121)() 1(k=0,1, 2, , 2N-1 Ha(s)Ha(-s)的的2N个极点等间隔分布在个极点等间隔分布在半径为半径为c的圆上。的圆上。 2. 2. 幅度平方特性的极点分布幅度平方特性的极点分布全极点系统全极点系统ooc / 3jjc / 4(a) N3(b) N4 极点在极点在

18、s平面呈象限对称，分布在巴特沃思圆上，平面呈象限对称，分布在巴特沃思圆上，共共2N个；个； 极点间的角度间隔为极点间的角度间隔为/N rad； 极点不会落在虚轴上（起点极点不会落在虚轴上（起点(/2)+ (/2N)）；）； N=奇数奇数 实轴上有极点，实轴上有极点，N=偶数偶数 实轴上无极点。实轴上无极点。 为形成稳定的滤波器，为形成稳定的滤波器，Ha(s)Ha(-s)的的2N个极点中只取个极点中只取S左半左半平面的平面的N个极点为个极点为Ha(s)的极点，而右半平面的的极点，而右半平面的N个极点构成个极点构成Ha(-s)的极点。的极点。10)()(NkkNcasssHNkjckes21221

19、k=0,1, 2, , 2N-1 3. 滤波器系统函数滤波器系统函数Ha(s)230121 33231345 jccjjccjccsessesesse 设设N=3N=3，极点有，极点有6 6个，它们分别为个，它们分别为 32323jccjccaessessH cspaapHsHu由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对将所有的频率归一化。这里采用对3dB3dB截止频截止频率率c c归一化归一化 s/c=j/c =/c，称为归一化频率称为归一化频率； p=j，p称为归一化复变量称为归一化复变量，归一化巴特沃斯归一化巴特沃斯

20、的传输函数为的传输函数为101( )()aNkkccHsss101()()aNkkHppp4 4、归一化系统函数、归一化系统函数pk为归一化极点，用下式表示：为归一化极点，用下式表示：将极点展开可得到的将极点展开可得到的H Ha a(p)(p)的分母的分母p p的的N N阶多项式，用阶多项式，用下式表示：下式表示： 1 21()22,0,1,1kjNkpekN2101211( )aNNNH pbb p b pbpp （1）确定模拟滤波器的技术指标）确定模拟滤波器的技术指标p, s，p p s s ； （2） 根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N：5. 5. 滤波器的设计步骤滤

21、波器的设计步骤NcppapapjHjH2211lg201101 . 02pNcp通带截止频率关于通带截止频率关于c归一化归一化NcssasasjHjH2211lg201101 . 02sNcs阻带截止频率关于阻带截止频率关于c归一化归一化1101 . 02pNcp1101 . 02sNcs1101101 . 01 . 0spNsp,pssp 令令：110110k1 . 01 . 0spspspspkN lglg 取大于等于取大于等于N N的最小整数的最小整数3）求出归一化系统函数）求出归一化系统函数Ha (p) NkkapppH11Nkjkep21221k=0,1, 2, , N-1 巴特沃思

22、圆巴特沃思圆巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式的因式分解巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式的因式分解巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式系数巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式系数 4）去归一化）去归一化 caspaacsHpHsHspc)(通带指标刚好，阻带指标有富裕通带指标刚好，阻带指标有富裕阻带指标刚好，通带指标有富裕阻带指标刚好，通带指标有富裕pNcp1 . 02101sNcs1 . 02101Npcp211 . 0) 110(Nscs211 . 0) 110(例例6-1 6-1 已知通带截止频率已知通带截止频率f fp p=5kHz=5kHz，通带最，通带最大衰减大衰减p p=2dB=2

23、dB，阻带截止频率，阻带截止频率f fs s=12kHz=12kHz，阻带最小衰减阻带最小衰减s s=30dB=30dB，按照以上技术指，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。标设计巴特沃斯低通滤波器。解解 (1) (1) 确定阶数确定阶数N N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) (2) 其极点为其极点为归一化传输函数为归一化传输函数为401()()akkHppppk=ej (+(2k+1)/2N) k=0,1,2,N-15745632541530jjjjjepepepepep由由N=5N=5，直接查

24、表得到：，直接查表得到： 极点：极点：-0.3090-0.3090j0.9511,-0.8090j0.9511,-0.8090j0.5878; j0.5878; -1.0000-1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 11618. 11618. 0122ppppppHa(3) (3) 为将为将Ha(p)Ha(p)去归一化，先求去归一化，先求3dB3dB截止频率截止频率c c。得到：得到：将将p=s/p=s/c c代入代入H Ha a(p)(p)中得到：中得到：5

25、54233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskrads 此时算出的截止频率比题目中给出的小，或者说在截止此时算出的截止频率比题目中给出的小，或者说在截止频率处的衰减大于频率处的衰减大于30dB30dB，所以说阻带指标有富裕量。，所以说阻带指标有富裕量。b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 4 Chebyshev低通滤波器的设计方法比同阶的比同阶的But

26、terworth滤波器具有更陡峭的滤波器具有更陡峭的过渡带和更优的阻带衰减特性过渡带和更优的阻带衰减特性.振幅具有等振幅具有等波纹波纹.(1) Chebyshev低通滤波器特点低通滤波器特点第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 ，表示通带波纹大小，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大越大，波纹越大01N：滤波器的阶数：滤波器的阶数幅度平方函数：幅度平方函数：)(11)()(2222pNaCjHA ：N阶阶Chebyshev多项式多项式( )NCx通带截止频率:p第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法

27、1),(1),arccoscos()(xNArchxchxxNxCN第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 )1ln(,22xxArchxeechxxx第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 幅度函数特点：幅度函数特点：N为偶数为偶数2( 0)1/ 1aHjN为奇数为奇数( 0)1aHj0 v )(11)(22pNaCjH211)(,jHap时之间等波纹起伏和在通带内2111:p增大迅速下降随通带外:p第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 (2) 设计原理设计原理)(11)()(222pNaCjHA)(11)()(22pNaajsCsHs

28、H)(,sHa确定求极点第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 (3) 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤:;,和参数确定阶数和由技术指标Nsspp)()(11psArchkArchN其中其中1101101 . 01 . 011psk1101 . 0p第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 )()2(sHa求)1(1, 2 , 1,)212cos()212sin()(ArshNNiNichNichjssHpipiiiia其中的极点确定)(sHa用左半平面的极点构成6.3 6.3 模拟滤波器的频率变换模拟滤波器的频率变换 AF滤波器LP其他AF滤波器HP, BP

29、, BS设：传输函数归一化截止频率归一化拉氏变量p=jq=j归一化传输函数G(p)H(q) sG各类模拟滤波器的设计过程图 HPBPBS指标LP指标G(j)传输函数传输函数频率变换频率变换设计jHjHjHBSBPHP sH0jGjH0sccscssc低通到高通低通到高通sccs00:00:sccs0csccssscjjjcccc2ssccjs ccc11qpsscc1 qppGqH1 csqqHsH spcpGsH例例6-2 设计高通滤波器设计高通滤波器,f,fp p=200Hz,f=200Hz,fs s=100Hz=100Hz，幅度特，幅度特性单调下降，性单调下降，f fp p处最大衰减为处

30、最大衰减为3dB3dB，阻带最小衰减，阻带最小衰减s s=15dB=15dB。解解:高通技术高通技术要求要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB归一化频率归一化频率低通技术要求：低通技术要求：11,23,15psspsdBdB5 . 01cscsscpcppffff 设计归一化低通设计归一化低通G(p)G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 求模拟高通求模拟高通H(s)H(s)： pccccspfsssspGsHc22232233设

31、计技术成设计技术成熟有相当简熟有相当简便的公式和便的公式和图表图表模拟滤波器模拟滤波器)(sHaAF由此设计由此设计数字滤波器数字滤波器)(zHDF要求要求DFDF特性特性模仿模仿AFAF的特性的特性实际上是个映射问题实际上是个映射问题MappingMapping离散时间域离散时间域(Z(Z平面平面) )转换关系转换关系连续时间域连续时间域(S (S平面平面) )（1 1） H(z)的频率响应要能的频率响应要能模仿模仿Ha(s)的频率响应的频率响应 也即也即S平面虚轴平面虚轴j必须映射到必须映射到Z平面的单位圆平面的单位圆ej上上（2 2） 因果稳定的因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的应

32、能映射成因果稳定的H(z) 也即也即S平面的左半平面平面的左半平面Res0必须映射到必须映射到Z平面单位平面单位 圆的内部圆的内部|z|1 对转换关系提出两点要求对转换关系提出两点要求:满足上述转换关系的映射方法有：满足上述转换关系的映射方法有： 脉冲响应不变法脉冲响应不变法和和双线性变换法双线性变换法一、一、 变换原理变换原理数字滤波器的单位脉冲响应序列数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将，即将ha(t)进行等间隔采样，使进行等间隔采样，使h(n)正好等于正好等于ha(t)的采样值，的采样值，满足：满足： 6.4 用脉冲响应不变

33、法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器 nTtathnhHa(s)H(z) sHzHaezsT)(Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)时域采样时域采样h(n)ZTh(n)H(z)所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法sTez S S平面到平面到Z Z平面的映射关系为：平面的映射关系为：kTjsHTjksHTkaska21)(1)(,)(,)(,)()(zHzsHezsHssHthAFasTaaas得得到到平平面面上上映映射射到到将将关关系系的的映映射射然然后后再再经经过过得得到到周周期期延延拓拓平平面面上上沿沿虚虚轴轴在在的的

34、拉拉氏氏变变换换的的 j S/2- S/23 S/2ImZReZjwsTrezezTerTjs二、混叠失真二、混叠失真数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 TkjHTeHkaj21)(数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带限带的，且的，且带限于折叠频率以内时，数字滤波器的频响在折叠频率内重现模带限于折叠频率以内时，数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频

35、响而不产生混叠失真。拟滤波器的频响而不产生混叠失真。 0)(jHa2|sTTjHTeHaj1)(| 任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的， 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。响，而带有一定的失真。 当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。

36、这时，采用脉冲响应快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。 脉冲响应不变法只适合于设计脉冲响应不变法只适合于设计LPLP和和BPBP滤波器滤波器图图 脉冲响应不变法中的频响混叠现象脉冲响应不变法中的频响混叠现象 3 2)j(aHoo23 T)(ejHT2TTT2解决混叠的方法：解决混叠的方法：滤波器指标以模拟域形式给出，此时滤波器指标以模拟域形式给出，此时H Ha a(j)(j)、H Ha a(s)(s)、h ha a(t)(t)已确定，采样频率已确定，采样频率T T增加，混叠减小；增加，混叠减小

37、；滤波器指标以数字域形式给出，此时滤波器指标以数字域形式给出，此时H Ha a(j)(j)、H Ha a(s)(s)、h ha a(t)(t)未确定，但未确定，但p p s s已定，采样频率增已定，采样频率增加，为保证加，为保证s s不变，必有不变，必有s s增加，增加滤波器的增加，增加滤波器的阶数阶数N N，混叠减小。，混叠减小。 三、模拟滤波器的数字化方法三、模拟滤波器的数字化方法 设模拟滤波器的系统函数设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有只有单阶极点单阶极点，且假定分母，且假定分母的阶数高于分子的阶数的阶数高于分子的阶数 NkkkassAsH1)(NktskaatueAsHLthk11)

38、()()(NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()( NkTskNknTsnknNknTsknnzeAzeAzeAznhzHkkk111100111)()()()(（1 1）极点：）极点：S平面平面s=sk Z Z平面上平面上z=eskT（2 2）系数相同：）系数相同：A Ak k （3 3）稳定性不变：）稳定性不变：S S平面平面ReRes sk k00 Z Z平面平面|e|es sk kT T|1|1（4 4）零点位置没有这种代数对应关系）零点位置没有这种代数对应关系 NkTskNkkkazeAzHssAsHk1111Ha(s)Ha(s)有共轭复数对极

39、点：有共轭复数对极点：Ha(s)Ha(s)的极点的极点s si i一般是一个复数，以共轭成对的形式出现，将一般是一个复数，以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。AFAF二阶基本节形式一：二阶基本节形式一：21211)()(:sssHa形式一极点极点- - 1 1 j j 1 1+= 0 nnnT1 jnT1 jnT1nnz )ee (21 ez ) n ( h) z ( H1111121211cos12cosTTTzeTzeTzeAFAF二阶基本节形式二二阶基本节形式二：21211)()(:ssHa形式二极点极点-

40、- 1 1 j j 1+= 0 nnnT1 jnT1 jnT1nnz )ee (21 ez ) n ( h) z ( H1111112211112121,()s i n12c o sTTTjszeTzeTzeTjHTeHaj1)(| 如果采样频率很高，即如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高的很小，数字滤波器可能具有太高的增益，容易溢出，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采增益，容易溢出，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的样频率而变化，可以作以下简单的修正修正，令，令 h(n)=Tha(nT) NkTskzeTAzHk111)(TjHkTjT

41、jHTTeHakaj21)(| 例例 6-3 6-3 设模拟滤波器的系统函数为设模拟滤波器的系统函数为 3111342)(2sssssHa试利用脉冲响应不变法将试利用脉冲响应不变法将H Ha a( (s s) )转换成转换成IIRIIR数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数H H( (z z) ) 解：解： 数字滤波器的系统函数为数字滤波器的系统函数为 TTTTTTTezeezeeTzezTezTzH423131311)(1)(11)(设设T T=1=1，则有，则有 21101831. 04177. 013181. 0)(zzzzH 模拟滤波器的频率响应模拟滤波器的频率响应Ha(j)以及数字

42、滤波器的频率响应以及数字滤波器的频率响应H(ej)分别为分别为: : 2201831. 04177. 013181. 0)(432)(jjjjaeeeeHjjH）（把把| |H Ha a(j(j)|)|和和| |H H(e(ej j)|)|画在图上。由该图可看出，由于画在图上。由该图可看出，由于H Ha a(j(j) )不是充分限带的，所以不是充分限带的，所以H H(e(ej j) )产生了严重的频谱混叠失真。产生了严重的频谱混叠失真。 图图 例例6-36-3的幅频特性的幅频特性 / T2/ T2)j(aH)(ejHoo四、优缺点四、优缺点 1 1、优点：优点： 脉冲响应不变法使得数字滤波器的

43、单位脉冲响应完全模仿脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好时域逼近良好； 模拟频率模拟频率和数字频率和数字频率之间呈之间呈线性关系线性关系= =TT。 因而，因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。 2 2、缺点、缺点是有频率响应的混叠效应是有频率响应的混叠效应 脉冲响应不变法脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器只适用于限带的模拟滤波器( (

44、例如，例如， 衰减衰减特性很好的特性很好的低通低通或或带通带通滤波器滤波器) )，而且高频衰减越快，混叠效应，而且高频衰减越快，混叠效应越小。越小。 不适于高通和带阻滤波器的设计，由于它们在高频部分不衰不适于高通和带阻滤波器的设计，由于它们在高频部分不衰减，减， 因此将完全混淆在低频响应中。因此将完全混淆在低频响应中。 如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法， 就必须就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。以上的频率，然后再

45、使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。 当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。6.5 6.5 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器 一、变换原理一、变换原理从从S S平面到平面是多值的映射关系造成频率响应的混叠失真平面到平面是多值的映射关系造成频率响应的混叠失真克服：克服：第一步先将整个第一步先将整个S S平面压缩映射到平面压缩映射到S S1 1平面的平面的-/-/T T/T T一条横一条横带里；带里；第二步再通过标准变换关系第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个将此横带变换到整个Z Z平面上平

46、面上去。去。这样就使这样就使S S平面与平面与Z Z平面建立了一一对应的单值关系，平面建立了一一对应的单值关系， 消除了多消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。值变换性，也就消除了频谱混叠现象。 j 平面的单位圆外的右半平面平面的单位圆上平面的虚轴平面的单位圆内的左半平面映射zszszsezzHsHsTsa 11111)()( 1j 1 S/2- S/2ImZReZ 为了将为了将S S平面的整个虚轴平面的整个虚轴j j压缩到压缩到S S1 1平面平面j j1 1轴上的轴上的-/-/T T到到/T T段上，可以通过以下的正切变换实现段上，可以通过以下的正切变换实现 2tan22tan21TT

47、T式中式中, , T T仍是采样间隔。仍是采样间隔。 当当1 1由由-/T经过经过0 0变化到变化到/T时，时，由由-经过经过0 0变化到变化到+， 也即映射了整个也即映射了整个j轴。将式（轴。将式（5-425-42）写成）写成 2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj 将此关系解析延拓到整个将此关系解析延拓到整个S S平面和平面和S S1 1平面，令平面，令j j= =s s，j j1 1= =s s1 1， 则得则得111111/2/21/2/2222 1tan21sTsTsTsTsTsTsTeeesT eeTTe再将再将S S1 1平面通过以下标准变换关系映射到平面通过以下

48、标准变换关系映射到Z Z平面：平面： z=es1T 从而得到从而得到S S平面和平面和Z Z平面的单值映射关系为：平面的单值映射关系为： 11112zzTssTsTsTsTz222121S S平面与平面与Z Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。之比，因此称为双线性变换。 二、逼近的情况二、逼近的情况 双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 （1 1）把）把z z=e=ejj代入式，可得代入式，可得 jTjeeTsjj2tan2112即即S S平面的虚轴映射到平面的虚

49、轴映射到Z Z平面的单位圆。平面的单位圆。 （2 2） 将将s s= =+j+j代入式得代入式得 jTjTz22222222|TTz 由此看出：由此看出： 当当00时，时， | |z z|1|00时，时，| |z z|1|1。 即即 S S平面的平面的左左半平面映射到半平面映射到Z Z平面的平面的单位圆内单位圆内，S S平面的平面的右右半平面映射到半平面映射到Z Z平面的平面的单位圆外单位圆外，S S平面的平面的虚轴虚轴映射到映射到Z Z平面平面的的单位圆上单位圆上。 因此，因此，稳定稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是波器也一定是稳定稳

50、定的。的。 三、优缺点三、优缺点 优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S S平面与平面与Z Z平平面是单值的一一对应关系。面是单值的一一对应关系。S S平面整个平面整个j j轴单值地对应于轴单值地对应于Z Z平面平面单位圆一周，单位圆一周， 即频率轴是单值变换关系。即频率轴是单值变换关系。2tan2TS S平面上平面上与与Z Z平面的平面的成非线性的正切关系。成非线性的正切关系。 双线性变换法的频率变换关系双线性变换法的频率变换关系 o2tan2T在零频率附近，模拟角频在零频率附近，模拟角频率率与数字频率与数字频率之间的之间的变换关系接近于线性关系；

51、变换关系接近于线性关系；当当进一步增加时，进一步增加时，增长得越来越慢，最后增长得越来越慢，最后当当时，时，终止在终止在折叠频率折叠频率=处，因而处，因而双线性变换就不会出现双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分频率而混淆到低频部分去的现象，去的现象， 从而消除了从而消除了频率混叠现象。频率混叠现象。模拟角频率模拟角频率和数字角频率和数字角频率的映射关系的映射关系22tanT Ha(j ) 2 频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。 首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线首先，一个线性相位

52、的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了； 其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分分段常数型的段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应幅频响应相对于原模拟滤相对于原模拟滤波器的幅频响应会有波器的幅频响应会有畸变畸变。

53、双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j (argaH 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，畸变， 这种频率的畸变，可以通过频率的这种频率的畸变，可以通过频率的预畸预畸来加以校正。也来加以校正。也就是将就是将临界模拟频率事先加以畸变临界模拟频率事先加以畸变， 然后经变换后正好映射到然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。所需要的

54、数字频率上。 )(jeH)( jHa)2tan(2T)(jeH)2tan(2T)( jHa四、模拟滤波器的数字化方法四、模拟滤波器的数字化方法 双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在设计和运算上也双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在设计和运算上也比较直接和简单。由于双线性变换法中，比较直接和简单。由于双线性变换法中，s s到到z z之间的变换是简之间的变换是简单的代数关系，即单的代数关系，即 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa频率响应也可用直接代换的方法得到频率响应也可用直接代换的方法得到 2tan2)()(2tan2TjHjHeHTaj （1 1） 如果给出的是待设计的带

55、通滤波器的数字域转折频率如果给出的是待设计的带通滤波器的数字域转折频率（通、（通、 阻带截止频率）阻带截止频率）1 1、2 2、3 3、4 4及采样频率及采样频率(1/(1/T T) )，则直接利用式则直接利用式2tan2T计算出相应的模拟滤波器的转折频率计算出相应的模拟滤波器的转折频率1 1、2 2、3 3和和4 4。这样。这样得到的模拟滤波器得到的模拟滤波器H Ha a( (s s) )的转折频率的转折频率1 1、2 2、3 3和和4 4，经双线，经双线性变换后就映射到数字滤波器性变换后就映射到数字滤波器H H( (z z) )的原转折频率的原转折频率1 1、2 2、3 3和和4 4。 设

56、计步骤：设计步骤： 如果给出的是待设计的带通滤波器的模拟域转折频率（通、如果给出的是待设计的带通滤波器的模拟域转折频率（通、 阻带截止频率）阻带截止频率）f f1 1、f f2 2、f f3 3、f f4 4和采样频率和采样频率(1/(1/T T) )，则需要先计，则需要先计算数字滤波器的转折频率（通、阻带截止频率）算数字滤波器的转折频率（通、阻带截止频率）、2 2、3 3 和和4 4。 =2fT 再进行预畸变得再进行预畸变得1 1、 3 3和和4 4 2tan2TH Ha a(s) (s) 经双线性变换后映射到数字滤波器经双线性变换后映射到数字滤波器H(z)H(z)的转折频率的转折频率1 1

57、、2 2、 3 3、4 4，并且能保证数字域频率，并且能保证数字域频率1 1、2 2、3 3、4 4与与给定的模拟域转折频率给定的模拟域转折频率f f1 1、f f、f f、f f4 4成线性关系。成线性关系。 （3 3）将）将 代入代入H Ha a( (s s) )，得，得H H( (z z) )为为 11112zzTs11112112| )()(11zzTHsHzHazzTsa22| )()(2tan2TjHjHeHaTaj（2 2） 按按1 1、2 2、3 3和和4 4等指标设计模拟滤波器的系统函等指标设计模拟滤波器的系统函数数H Ha a(s)(s) 需要特别强调的是，若模拟滤波器需要

58、特别强调的是，若模拟滤波器H Ha a( (s s) )为低通滤波器，应为低通滤波器，应用用变换得到的数字滤波器变换得到的数字滤波器H H( (z z) )也是低通滤波器；也是低通滤波器； 若若H Ha a( (s s) )为高通滤波器为高通滤波器，应用应用 变换得到的数字滤波器变换得到的数字滤波器H H( (z z) )也是高通滤波器也是高通滤波器; ; 若为带通、带阻滤波器也是如此若为带通、带阻滤波器也是如此。 在在IIRIIR数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好时，采用脉冲响应不变法较好; ; 而在其余情况

59、下，大多采用双而在其余情况下，大多采用双线性变换法。线性变换法。 11112zzTs11112zzTs 求求H H( (z z) )时，若阶数较高，可用两种方法进行简化设计：时，若阶数较高，可用两种方法进行简化设计： 1. 1. 可以先将模拟系统函数分解成可以先将模拟系统函数分解成并联并联的子系统函数（的子系统函数（子系子系统函数相加统函数相加）或）或级联级联的子系统函数（的子系统函数（子系统函数相乘子系统函数相乘），使每个），使每个子系统函数都变成低阶的（例如一、子系统函数都变成低阶的（例如一、 二阶的）；二阶的）； 然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换。分解为然后再对每个子系统函数分别

60、采用双线性变换。分解为低阶的方法是在模拟系统函数上进行的，而模拟系统函数的分解低阶的方法是在模拟系统函数上进行的，而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。已有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。 2. 2. 可用表格的方法来完成双线性变换设计，即预先求出双可用表格的方法来完成双线性变换设计，即预先求出双线性变换法中离散系统函数的系数与模拟系统函数的系数之间的线性变换法中离散系统函数的系数与模拟系统函数的系数之间的关系式，并列成表格，便可利用表格进行设计了。关系式，并列成表格，便可利用表格进行设计了。 设模拟系统函数的表达式为设模拟系统函数的表达式为 NNNNNkkkNk