[研究生入学考试]清华大学微积分全xppt课件

1、2022-3-261 P39 习题习题2 1(1)(3)(4)(6)(7). 2(1)(2)(5). 作作 业业 预习预习 P4045, P50552022-3-262三、全微分三、全微分二、二、偏导数偏导数第二讲第二讲 可微函数可微函数 一、多元函数的连续性一、多元函数的连续性2022-3-263xy0Po P: 注注意意可可以以按按各各种种方方式式！趋趋向向于于点点动动点点在在多多元元函函数数中中,0PP不不存存在在则则不不存存在在极极限限时时点点或或按按某某种种方方式式趋趋于于不不同同的的数数值值趋趋于于时时的的方方式式趋趋于于点点按按照照两两种种不不同同若若点点换换言言之之)(lim,

2、)(,)(,000PfPfPPfPPPP aPfP )(lim0P多多元元函函数数的的极极限限.)(,)(lim00aPfPPaPfPP限限都都是是都都存存在在极极限限，且且极极时时按按任任意意方方式式趋趋于于点点则则动动点点若若 2022-3-264.),()(lim.)(0000连连续续处处在在点点则则称称函函数数果果如如及及其其附附近近有有定定义义在在点点设设函函数数连连续续性性（一一）定定义义XfXfXfRXfXXn .,上上连连续续在在在在区区域域则则称称上上每每一一点点都都连连续续在在区区域域如如果果函函数数 ff一、多元函数的连续性一、多元函数的连续性2022-3-265.0;,

3、)(:1处处连连续续在在上上连连续续在在区区域域则则上上连连续续在在区区域域和和若若函函数数四四则则运运算算性性质质定定理理 ggffggfgf .)(),(,)(),(,),(,)(),()(:211上上连连续续也也在在区区域域函函数数则则复复合合有有时时当当并并且且上上连连续续在在区区域域且且函函数数连连续续上上都都在在区区域域若若函函数数复复合合函函数数连连续续性性定定理理 XvXufXvXuXvufXvvXuu （二）、连续函数的性质（二）、连续函数的性质2022-3-266.)0 , 0(),(,0)0 , 0(),(,),( 12222的的连连续续性性研研究究函函数数例例 yxyx

4、yxyxyxf).0 , 0(0),(lim,)0,0(),(fyxfyx 又又由由例例题题知知.),(,2上上是是连连续续的的在在整整个个所所以以Ryxf解解.)0,0(),(.,),(),(22处处也也是是连连续续的的在在故故连连续续的的都都是是处处处处和和而而经经过过四四则则运运算算而而得得到到的的和和是是由由因因为为函函数数 yxfhgyyxhxyxgf2022-3-267.)0 , 0(),(,0)0 , 0(),(,),( 222的的连连续续性性研研究究函函数数例例 yxyxyxxyyxf解解.)0, 0(),(),(处处连连续续在在函函数数 yxyxf222)0,0(),(1li

5、mkkyxxykxyyx 因因为为.,有有不不同同的的数数值值对对不不同同的的k.)0, 0(,处处不不连连续续在在点点所所以以 f2022-3-268.,)(:1上上有有界界在在则则上上连连续续在在是是有有界界闭闭域域设设有有界界性性定定理理 ffRn )(max)(),(min)(,.,)(:22121XfXfXfXfXXffRXXn 使使得得即即存存在在上上取取到到最最大大值值和和最最小小值值在在则则上上连连续续在在是是有有界界闭闭域域设设最最值值性性定定理理（三）、有界闭域连续函数的性质（三）、有界闭域连续函数的性质2022-3-269 )(,)(max)(min.,)(:300PfP

6、XfMXfmfRXXn使使得得都都存存在在之之间间的的任任意意实实数数和和介介于于则则对对上上连连续续在在中中的的有有界界闭闭域域是是设设介介值值性性定定理理 在在区区域域上上一一致致连连续续。则则上上连连续续在在中中的的有有界界闭闭域域是是设设一一致致连连续续性性定定理理ffRn.,)(:4 2022-3-2610（四）间断（四）间断 0, 00, 1xyxyz例例：xyz10000 zyxz和和间断处为间断处为2022-3-2611二、偏导数二、偏导数.),(),(0,),(),(0000000000的的偏偏增增量量关关于于在在点点为为则则称称，的的增增量量为为有有增增量量不不变变，有有变

7、变化化处处变变量量在在设设xMfyxfyxxfzyxxyxyxMyxfzx 定义定义1 （偏增量）（偏增量）.),(),(,000000yxfyyxfzyMfxyMfy 的的偏偏增增量量为为于于处处关关在在点点不不变变，则则有有变变化化处处在在若若2022-3-2612xyxfyxxfxyxfx ),(),(lim),(0000000 )(:2偏偏导导数数定定义义yyxfyyxfyyxfy ),(),(lim),(0000000 ,lim,lim00存存在在若若yzxzyyxx .0的的偏偏导导数数和和关关于于处处关关于于在在点点称称为为则则极极限限分分别别yxMf记作记作),(,),(,00

8、0000yxfyxfyfxfyxMM 或或或或2022-3-2613:偏偏导导数数的的几几何何意意义义xyNTzS),(000yxMo0P tan0 Mxf tan0Myf),(yxfz 0),(:yyyxfzC2022-3-2614偏导数的计算偏导数的计算求求导导数数得得到到对对为为常常数数视视xy,求求导导数数得得到到对对为为常常数数视视yx,.,sin12yzxzxyyz 和和求求设设例例解解xyyyxyyxzcoscos32 xyxyxyyxxyyxyyyzcossin2cossin222 2022-3-2615.,2yzxzxzy 和和求求设设例例求求导导数数得得到到对对为为常常数数

9、视视xy,1 yyxxz求求导导数数得得到到对对为为常常数数视视yx,xxyzyln 解解应用幂函数应用幂函数求导公式求导公式应用指数函应用指数函数求导公式数求导公式2022-3-2616导导数数是是否否存存在在？在在这这点点偏偏连连续续，在在点点若若在在这这点点是是否否连连续续？偏偏导导数数存存在在在在点点二二元元函函数数问问题题fyxyxffyxyxf),(),(,),(),(: 0000可可偏偏导导与与连连续续的的关关系系点点的的情情况况在在考考察察函函数数)0, 0(0001),( xyxyyxf0 xyz2022-3-2617点点不不连连续续。在在)0, 0(0001),( xyxy

10、yxf011lim) 0 , 0() 0 ,0(lim) 0 , 0(00 xxfxfxfxx 而而01100000000 ylimy),( f)y,( flimy),( fyy !f）点点偏偏导导数数存存在在，（在在002022-3-2618点点的的情情况况（在在再再看看),yx)y, x( f0022 。）连连续续，（点点，所所以以在在是是初初等等函函数数因因为为00f 010102000 x,x,xxlimx)x(limxzxx),( ）点点偏偏导导数数不不存存在在。，在在（所所以以00f2022-3-2619一一元元函函数数的的微微分分概概念念回回忆忆：)()()(00 xxaxfxx

11、fy )0(x xaxdfdyxx )(00)(0 xfa dxxfxdfdyxx)()(000 三、全微分三、全微分2022-3-2620),(,(220yxMMd 其其中中可可以以表表示示成成使使得得函函数数改改变变量量如如果果存存在在常常数数有有定定义义的的某某邻邻域域在在点点设设函函数数,.),(),(21000aayxMyxfz )(:全全微微分分定定义义)0()(),(),(),(21000000 当当yaxayxfyyxxfyxf 记记作作处处的的全全微微分分在在点点称称为为并并且且将将可可微微在在点点则则称称函函数数.0210MfyaxaMf yaxayxdfdzM 2100)

12、,(|02022-3-2621全微分的两个性质：全微分的两个性质：(1) dz是是 x与与 y的线性函数的线性函数(2) ( z- dz) 是是关于关于 的的 高阶无穷小高阶无穷小微分是增量的微分是增量的线性主部线性主部2022-3-2622.,),(),()(1000函函数数在在这这点点连连续续则则可可微微在在点点如如果果函函数数可可微微与与连连续续的的关关系系：定定理理yxMyxf)0()(),(),(),(210000 yaxayxfyxfyxf 知知由由可可微微定定义义 ,.),(,00连连续续在在点点所所以以yxf证证0),(lim,00),(),(00 yxfyxyx 有有于于是是

13、),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 即即2022-3-2623在在，且且函函数数在在这这点点的的偏偏导导数数存存则则可可微微在在点点若若函函数数可可微微的的必必要要条条件件：定定理理,),(),()(2000yxMyxfdyyzdxxzyxdfdzMMM000),(00 )(,),(),(000 ybxazyxMyxf 即即可可微微在在点点已已知知证证00.lim)(, 00MxxMxyzbaxzxzxxazzy 同同理理所所以以则则令令 2022-3-2624.),(),(,),(),()(:3000000处处可可微微在在点点则则连连续续处处的的各各偏偏导导数数在在点

14、点设设函函数数可可微微的的充充分分条条件件定定理理yxMyxfyxMyxf证证),(),(0000yxfyyxxf ),(),(),(),(00000000yxfyyxfyyxfyyxxf 所所以以有有连连续续在在点点和和因因为为,),(),(),(00yxyxfyxfyx 根据微分中值定理根据微分中值定理yyyxfxyyxxfyx ),(),(00002022-3-2625 ),(),(0000yxfyyxxfxx )y,x(f)yy,x(fyy0000 得得到到代代入入函函数数增增量量表表达达式式 ,0lim, 0lim,),(),(),(),(0000 yxyxyxyx其其中中),(),

15、(0000yxfyyxxf yxyyxfxyxfyx ),(),(0000022 yxyx因因为为),(),(00时时当当yxyx)()(22 yxyx所所以以2022-3-2626于于是是我我们们得得到到.),(),(00可可微微在在点点即即函函数数yxyxf),(),(0000yxfyyxxf )(),(),(0000 yyxfxyxfyx.,),(,12CffyxfR 记记作作上上连连续续可可微微在在则则称称上上连连续续都都在在的的各各偏偏导导数数如如果果函函数数定定义义：设设 2022-3-2627要要条条件件偏偏导导数数存存在在是是可可微微的的必必注注意意. 1分分条条件件。偏偏导导

16、数数连连续续是是可可微微的的充充. 2 000,),(1222222yxyxyxxyyxf函数函数例例:)0,0(点点连连续续在在yyxxy 220)0 , 0(0),(lim00fyxfyx :)0,0(点点可可导导在在0)0 , 0()0 , 0( yxff:)0, 0(,点点不不可可微微在在但但是是2022-3-2628 )0 , 0()0 , 0(lim0yfxffyx 220)()(0)()(limlim22yxyxyxyx 2200)()(limyxyxyx 这个极限不存在！所以，函数在这个极限不存在！所以，函数在(0, 0)点不可微点不可微.2022-3-2629 000,1si

17、n)(),(222222222yxyxyxyxyxf设函数设函数例例点点可可导导在在)0,0(点点可可微微在在)0,0(点点不不连连续续在在和和但但是是)0,0(),(),(,yxfyxfyx 2022-3-26300)0 , 0()0 , 0( yxff )0 , 0()0 , 0(lim0yfxffyx 22)()(1220sin)()(limyxyx 01sinlim0 2222221cos1sin2),(yxyxxyxxyxfx 不连续！不连续！不存在！所以不存在！所以),(,),(lim00yxfyxfxxyx 2022-3-2631全微分的几何意义全微分的几何意义),(000yxM

18、0P1RRN1N0Q1P1SS1Q),(00dyydxxM zoxy),(yxfz ),(0yxfzyyNP0曲曲线线 ),(0yxfzxxRP0曲曲线线2R122111SRRPSP dyyzRQRPM01121 dxxzNQSRM01012 dyyzdxxzSPMM0011 的的竖竖坐坐标标增增量量切切平平面面在在点点0M2022-3-2632)(高高阶阶偏偏导导数数定定义义：.),(,),(,),(),(的的偏偏导导函函数数称称为为的的二二元元函函数数上上在在则则各各偏偏导导数数仍仍然然是是定定义义中中处处处处有有偏偏导导数数在在区区域域若若二二元元函函数数yxfDyyxfxyxfDyxf

19、z .),(,),(),(的的二二阶阶偏偏导导数数则则称称它它们们是是存存在在的的偏偏导导数数也也和和如如果果偏偏导导函函数数yxfyyxfxyxf 三、高阶偏导数三、高阶偏导数2022-3-2633),()(22yxfxfxfxxx ),()(22yxfyfyfyyy ),()(2yxfxyfxfyyx ),()(2yxfyxfyfxxy 的的二二阶阶偏偏导导数数关关于于xf的的二二阶阶偏偏导导数数关关于于yf的的二二阶阶混混合合偏偏导导数数后后对对先先对对yxf的的二二阶阶混混合合偏偏导导数数后后对对先先对对xyf2022-3-2634的的二二阶阶偏偏导导数数求求例例)2cos(1yxxyz 解解)2sin(yxyxz 由由)2sin(2yxxyz )2cos(22yxxz )2cos(422yxyz 得得到到)2sin(2yxyyxyz )2cos(21yx )2