合肥工业大学自动控制理论课件5-2

1、5.2 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 比例环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节不稳定环节延迟环节线性定常系统的开环传递函数可看作是由一些典型环节串联而成，掌握典型环节的频率特性是研究较为复杂系统的频率特性的基础。主要的典型环节包括：传递函数幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性： 对数幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性： 0)(lg20)(lg20)(KAL( )G sK()G jK频率特性为( )(),AG jK( )0 ReIm0幅相特性( )( ) ( )()Ldb00对数频率特性20lgK( )( ) A( )00幅频、相频特性KK1. 1.

2、 比例环节比例环节幅相特性幅相特性： 0()jG jKe传递函数1( )G ss1()G jj频率特性为： F 幅频特性和相频特性：幅频特性和相频特性： 2)(1)(A()A( )( ) 9002 2积分环节积分环节F对数幅频特性和相频特性：对数幅频特性和相频特性： 1( )20lg20lg( )2L 其对数幅频特性为一条斜率为-20dB/dec的直线，此线通过=1，L()=0 dB的点。F幅相特性：幅相特性： 21()jG je20/dB dec1( )( ) 90( )()LdB0ReIm001( )0dLB当 时传递函数 ( )G ss()G jj频率特性为： F 幅频特性和相频特性：幅

3、频特性和相频特性： ( )( )2A ()A( )( ) 9003 3微分环节微分环节F对数幅频特性和相频特性：对数幅频特性和相频特性： ( )20lg( )2L 其对数幅频特性为一条斜率为20dB/dec的直线，此线通过=1，L()=0 dB的点。F幅相特性：幅相特性： 2()jG je1( )( ) 90( )()LdB0ReIm0020/dB dec积分环节和微分环节的传递函数互为倒数，它们的对数幅频特性和相频特性则对称于横轴。 4. 4. 惯性环节惯性环节 传递函数1()1G j=+ j T频率特性1( )1G s =Ts+2( )11 ()AT1( )tgT 幅相特性幅频特性相频特性

4、11()1 ()jtgT2G j=e+T对数幅频特性2( )20lg( )20lg 1 ()LAT 0 01/T1/T2/T2/T3/T3/T4/T4/T5/T5/TA()A()1 10.7070.7070.450.450.320.320.240.240.200.200 0()() 0 0-45-45-63.5-63.5-71.5-71.5-76-76-78.7-78.7-90-90L()L()0 0-3-3-6.94-6.94-9.9-9.9-12.4-12.4-13.98-13.98-F幅频特性和相频特性：幅频特性和相频特性： 2( )11 ()AT1( )tgT ( )A() 1T3T4

5、T5T10002T90450.707由0变化时，惯性环节频率特性的幅值由1变化到0，相角由0变化到-90。010A02A 1142AT 11()1 ()jtgT2G j=e+TF幅相特性：幅相特性： 02A 010A1142AT 0ImRe( )A( ) 可以证明可以证明, , 惯性环节的幅相曲线为半圆。惯性环节的幅相曲线为半圆。0112T1T2TF对数幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性： 21( )20lg 1 ()( )tgTLT 2L 000L1120lg342LT 1(1 T）100.151015200100.1900451L( )(dB)( )( ) TT1( )0TL1( )

6、20lgTLT 对数幅频曲线特点：2 2条渐近线条渐近线工程上，对数幅频特性一般采用渐近线来近似表示。 1( )0L定义 为交接频率（转折频率），对数幅频渐近曲线表示如下：11 T1( )20lgLT 两段渐近线在交接频率1处相交。1也称为惯性环节的特征点特征点。对数幅频特性曲线渐近线与准确曲线之间的误差：对数幅频特性曲线渐近线与准确曲线之间的误差：)(20120)(120)(122122TlgTlgTlgL最大的误差发生在交接频率1处，其值为-3dB。对数幅频特性近似曲线对数幅频特性近似曲线 ：L()= 准确值 - 近似值5.5.一阶微分环节一阶微分环节()1G j= + j T频率特性2(

7、 )1 ()AT1( )tgT 幅相特性幅频特性相频特性1()1 ()2jtgTG j=+Te对数幅频特性2( )20lg( )20lg 1 ()LAT传递函数( )1G s =Ts+由0变化时，其幅值 由1变化到，而相角 由0变化到90。( )A( ) 12()G( )11()()jtgTjjj TTeAe F幅相特性：幅相特性： j T( ) A( )0Im01Re实部始终为实部始终为1 1G( )jF对数幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性： 21( )20lg 1 ()( )tgTLT 2L 000L134LT对数幅频特性近似曲线11( )0( )20lgLLT11 T特征点（转折

8、频率）特征点（转折频率）精确曲线近似曲线( )()Ldb100.115105200( ) ( ) T1100.109045T1(1/)T一阶微分环节和惯性环节的传递函数形式上互为倒数，它们的对数幅频特性和相频特性对称于横轴。6.6.振荡环节振荡环节 传递函数2n22nG()()2()njjj2n22nG( )2nsss频率特性(01,0)n2222( )112nnA12n2( )1ntg 幅频特性相频特性对数幅频特性2222( )20lg( )20lg12nnLA 2n112nj222222nn1A( )(1)400.20.710.5()An10120F幅频特性和相频特性：幅频特性和相频特性：

9、 n以 （无因次频率）为横坐标()0nA 0(0)10nA 11()22nnA 由曲线可知，阻尼比小于某个值时，幅频特性出现峰值 ，峰值对应的频率称为峰值频率 。mmA() n02112n2( )1ntg 谐振频率21 2mn谐振峰值 2121mA求幅频特性曲线的峰值（谐振峰值）和峰值频率（谐振频率）( )0dAd令，解出0.707适用于0.7070.70701mmA0.70701mmA0mnmA 没有峰值 对于振荡环节来说，阻尼比越小，对于振荡环节来说，阻尼比越小， 越大，系统的单位阶跃响应的超调量越大，系统的单位阶跃响应的超调量也越大；反之，阻尼比越大，也越大；反之，阻尼比越大， 越越小，

10、超调量也越小。可见，小，超调量也越小。可见， 直接表直接表征了系统超调量的大小，故称为振荡征了系统超调量的大小，故称为振荡性（平稳性）指标。性（平稳性）指标。 mAmAmA由频带宽的定义： 当 时，这时有：0.707()0.707 (0)bAA()1 (2 )0.707nAbn?b振荡环节的两个特征点：振荡环节的两个特征点：n（1 1）1()2()2nnA m（2 2）()mmAA根据实验曲线可以求出参数( ), ( )A ,n221 2121mnmAF对数幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性： 2n2222n24)1 (lg20)(L对数幅频特性近似曲线：对数幅频特性近似曲线：( )0(

11、 )40lgnnnLL n交接频率（转折频率）交接频率（转折频率）(0.1)( )0nnL时(10)( )40lgnnnL 时近似曲线0.10.2200-10901800100.10.20.50.71.0n 0.10.20.40.60.812468100.51.00.7( )(), ( )LdB 用对数幅频特性渐近线表示时的误差：用对数幅频特性渐近线表示时的误差：误差L(,) = 准确值 - 近似值，可得误差计算公式： 222222222220lg(1)(2)L( , )20lg(1)(2)20lgnnnnnnn （）可用误差公式绘制出误差曲线,误差的大小与有关，必要时可以用误差曲线进行修正。

12、n)2(1)(nA()20lg(2 )nL m2()1 (21)mA2()20lg(21)mL 也可以利用两个特征点的数值对近似曲线进行修正。误差的修正：误差的修正：幅相曲线的起点为G(j0)=1/0,终点为G(j)=0/-180。当由0变化时，A()由10，() 由0-180变化, 据此可以画出振荡环节幅相曲线的大致形状。曲线以无因次频率=/n为参变量。 F幅相特性幅相特性ReIm00110.70.51n1( )2A12n2122221()12njtgnnG je 7.7.二阶微分环节二阶微分环节 传递函数2nG()12njj 22nnG( )21sss频率特性(01,0)n2222( )1

13、2nnA12n2( )1ntg 幅频特性相频特性对数幅频特性2222( )20lg( )20lg12nnLA当由0变化时，A()由1，() 由0+180变化。F幅相特性幅相特性12n222212G()12njtgnnje ImRe0 010.70.50.3n2A 010A22nA二阶微分环节和振荡环节的传递函数形式上互为倒数，它们的对数幅频特性和相频特性对称于横轴。F对数幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性： 对数幅频特性近似曲线：对数幅频特性近似曲线：( )0( )40lgnnnLL( )LdB近似曲线0.10.220010901800300.10.21.0n 0.10.20.40.6

14、0.812468100.51.00.70.70.5( ) n交接频率（转折频率）8.8.不稳定环节（非最小相位环节）不稳定环节（非最小相位环节） 一阶微分环节 不稳定一阶微分环节不稳定一阶微分环节1Ts1Ts惯性环节不稳定惯性环节不稳定惯性环节1 (1)Ts1 (1)Ts二阶微分环节 不稳定不稳定二阶微分二阶微分环节环节22nnG( )21sss22nnG( )21sss振荡环节 不稳定不稳定振荡振荡环节环节2n22nG( )2nsss2n22nG( )2nsss不稳定惯性环节不稳定惯性环节的幅频特性和其对应的惯性环节的幅频特性相同，而相频特性曲线则对称于-90线。() 11090 ()L10

15、1T0db10db20db0180惯性环节不稳定惯性环节Tv 不稳定惯性环节与惯性环节不稳定惯性环节与惯性环节不稳定惯性环节( )1 (1)G sTs频率特性()1 (1)G jj T22( )11AT22( )20lg1LT 1( )1Ttg 0180 90 1135T =01Im0惯性环节Re1不稳定惯性环节=0ImRe一阶微分环节011不稳定一阶微分环节不稳定一阶微分环节不稳定一阶微分环节与一阶微分环节具有相同的幅频特性，相频特性对称于90线。 ( ) ()Ldb11(）100.115105200() ( ) T1100.1900180一阶微分环节不稳定一阶微分环节Tv不稳定一阶微分环节

16、与一阶微分环节不稳定一阶微分环节( )1G sTs22( )1AT22( )20lg1LT1( )1Ttg 不稳定振荡环节不稳定振荡环节的幅频特性和其对应的振荡环节的幅频特性相同；而相频特性曲线则对称于-180线。0ReIm01振荡环节不稳定振荡环节v不稳定振荡环节与振荡环节不稳定振荡环节与振荡环节n 10.11001803600db10db20db( ), ( )L 振荡环节不稳定振荡环节不稳定二阶微分环节不稳定二阶微分环节的幅频特性和其对应的二阶微分环节的幅频特性相同；而相频特性曲线则对称于180线。ImRe0不稳定二阶微分环节01二阶微分环节n 10.11001803600db10db2

17、0db( ), ( )L 不稳定二阶微分环节二阶微分环节v不稳定二阶微分环节与二阶微分环节不稳定二阶微分环节与二阶微分环节9.9.延迟环节延迟环节 输出量不失真地复现输入量的变化，但时间上存在恒定延迟的环节称为延迟环节。延迟环节的输入输出方程延迟环节的传递函数频率特性c(t)r(t)t0( )()0c tr tt( )sG se幅频特性相频特性()jG je( )1A( )57.3( ) 对数幅频特性( )20lg10LImRe001幅相特性G()j平面( )L0对数频率特性( ) 101100A( )( ) 幅频、相频特性1实际中的元部件和系统常包含延迟环节。多个小时间常数的惯性环节串联后，其等效特性也可用延迟环节近似。若把延迟环节的传递函数展开为223311112!3!sessss 由于含有延迟环节的传递函数含有位于右半S平面的零点。所以，延延迟环节是非最小相位环节迟环节是非最小相位环节。很小223311111112!3!sseessss很小 若两个典型环节的传递函数互为倒数，它们的对数幅频特性和相频特性则对称于横轴，这是一个普遍规律。微分环节积分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节结论结论 非最小相位环