等差数列的前n项与公式

1、等差数列的前等差数列的前n n项和项和复习回顾1 1、等差数列的定义（如何判定一个数列为、等差数列的定义（如何判定一个数列为等差数列？）等差数列？）2 2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式3 3、求等差数列公差、求等差数列公差d d的几种方法的几种方法4 4、等差中项、等差中项5 5、等差数列的性质、等差数列的性质 泰姬陵坐落于泰姬陵坐落于印度距首都新德里印度距首都新德里200200多公里外的北方多公里外的北方邦的阿格拉市，是邦的阿格拉市，是十七世纪莫卧儿帝十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主理石

2、砌建而成的主体建筑令人心醉神体建筑令人心醉神迷，陵寝以宝石镶迷，陵寝以宝石镶嵌，图案细致嵌，图案细致, ,绚丽绚丽夺目、美丽无比，夺目、美丽无比，令人叫绝令人叫绝. .成为世界成为世界八大奇迹之一八大奇迹之一. .问题呈现 传说陵寝中有一个三角形图案，以相传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有同大小的圆宝石镶饰而成，共有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题问题1 1： 一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V V形架的形架的最下面一层放一支铅笔，最下面一层放一支铅

3、笔，往上每一层都比它下面一往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层层多放一支，最上面一层放放100100支支. .这个这个V V形架上共放形架上共放着多少支铅笔？着多少支铅笔？ 问题就是问题就是 求求“1+2+3+4+100=？” 德国古代著名数学家高斯德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题：岁的时候很快就解决了这个问题：123100=？你知道高斯？你知道高斯是怎样算出来的吗？是怎样算出来的吗？高斯（高斯（Gauss,17771855），德国著名数学），德国著名数学家，他研究的内容涉及家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之史上最伟大

4、的数学家之一，被誉为一，被誉为“数学王数学王子子”.问题问题2:2:求和求和:1+2+3+4+n=?记记:S= 1+2+3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1)1(2 nnS上述求解过程带给我们什么启示？上述求解过程带给我们什么启示？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意的第等差数列中任意的第k项与倒数第项与倒数第k项的和项的和都等于首项与末项的和。都等于首项与末项的和。2)1( nnS问题问题3 3：设等差数列设等差数列 an 的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，如何求等差数列的

5、前如何求等差数列的前n项和项和Sn= a1 +a2+a3+an?解：解：因为因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 2)(1nnaanS 两式左右分别相加，得两式左右分别相加，得倒序相加倒序相加S=a1+ a2 +a3 +an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+a3 + a2 +a12Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)变式：能否用变式：能否用a a1 1,n,d,n,d表示表示S Sn n？an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(1 111()1) nSa

6、adand（()(1) nnnnSaadand)(21nnaanS1()12nnn aaS公式dnaan) 1(11(1)22nn nSnad公式问题4： ?nnan如何求等差数列的前 项和S求和公式求和公式1()2nnn aaS等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式：1(1)2nn nSnaddnaan) 1(1公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.na1an1()2nnn aaS思考：思考：在求等差数列前在求等差数列前n n项和时如何选用公式？项和时如何选用公式？提示：提示：在求等差数列前在求等

7、差数列前n n项和时，若已知首项项和时，若已知首项a a1 1, ,末末项项a an n和项数和项数n n，则使用公式，则使用公式 若已知首若已知首项项a a1 1, ,公差公差d d及项数及项数n n，则可利用公式，则可利用公式1nnn aaS;2n1n n1Snad.2 例例1:根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列 的的 nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda.32,7.0,5.14)3(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010 SdnnnaSn2) 11（2550)2(2) 150501005050（Sdnaan

8、) 1(1,2617 . 05 .1432n.5 .6042)325 .14(2626 S根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列 的的 nanS123,1 4;32naan 2)1nnaanS（.6352)2/3(3/21414 S.2) 121 (125312nnnn）（解：解：由等差数列前由等差数列前n n项和公式，得项和公式，得例例2.2.求前求前n n个正奇数的和个正奇数的和. .求前求前n n个正偶数的和个正偶数的和. .【举一反三举一反三】解：解：由等差数列前由等差数列前n n项和公式，得项和公式，得2n(22n)2462nn +n.2【提升总结提升总结】例例

9、3 3、20002000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在中小学关于在中小学实施实施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市据此提出了实，某市据此提出了实施施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500500万万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加金都比上一年增加5050万元。那

10、么，从万元。那么，从20012001年起的未年起的未来来1010年内，该市在年内，该市在“校校通校校通”工程中的总投入是多工程中的总投入是多少？少？分析：找关键句；分析：找关键句；求什么，如何求；求什么，如何求；解：由题意，该市在解：由题意，该市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入的资金构成等差数列的资金构成等差数列an，且，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来故，该市在未来10年内的总投入为：年内的总投入为：101010110 5005072502S万元答答例例4、已知一个等差数列的前、已知一个等差数列的前10项的和项的和是是310，前，前20项的和是项的和是1220

11、，由此可以，由此可以确定求其前确定求其前n项和的公式吗？项和的公式吗？解：由于解：由于S10310，S201220，将它们代，将它们代入公式入公式1(1)2nn nSnad可得可得111045310201901220adad146ad于是，所以所以2(1)46 32nn nSnnn例例4、已知一个等差数列的前、已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是1220，由此可以确定求，由此可以确定求其前其前n项和的公式吗？项和的公式吗？1101011010()310622aaSaa1202012020()12201222aaSaa201060aa1060d6d14a 2

12、1132nn nSa ndnn（）另解： 两式相减得例例2.2.在我国古代，在我国古代，9 9是数字之极，代表尊贵之意，是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与所以中国古代皇家建筑中包含许多与9 9相关的设计相关的设计. .例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有有9 9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9 9块，共有块，共有9 9圈圈. .请问：请问：（1 1）第）第9 9圈共有多少块石板？圈共有多少

13、块石板？（2 2）前）前9 9圈一共有多少块石板？圈一共有多少块石板？解：解：（1 1）设从第）设从第1 1圈到第圈到第9 9圈石板数所成数列为圈石板数所成数列为 a an n,由题意可知由题意可知 a an n 是等差数列，其中是等差数列，其中a a1 1=9=9，d=9,n=9.d=9,n=9.由等差数列的通项公式，得第由等差数列的通项公式，得第9 9圈有石板圈有石板.819) 19(91)(919（块）daa（2 2）由等差数列前）由等差数列前n n项和公式，得前项和公式，得前9 9圈一共有圈一共有石板石板).(4059289992) 19(9919块daS答：答：第第9 9圈有圈有81

14、81块石板，前块石板，前9 9圈一共有圈一共有405405块石板块石板. .nn3.a a2n3,100200S.例 在数列中，求这个数列自第项到第项之和 的值n 1nnaa2(n1)3(2n3)2.a 2100200.10:1由于所以，数列是公差为 的等差数列，此数列自第项到第项仍是等差数列共有项解，所求和为100200aaS10122 1003(22003) 1012 30 603.例例4.4.在新城大道一侧在新城大道一侧A A处，运来处，运来2020棵新树苗棵新树苗. .一名工一名工人从人从A A处起沿大道一侧路边每隔处起沿大道一侧路边每隔10m10m栽一棵树苗，这栽一棵树苗，这名工人每

15、次只能运一棵名工人每次只能运一棵. .要栽完这要栽完这2020棵树苗，并返回棵树苗，并返回A A处处. .植树工人共走了多少路程植树工人共走了多少路程? ?解：解：植树工人每种一棵树并返回植树工人每种一棵树并返回A A处所要走的路程处所要走的路程（单位：（单位：m)m)组成了一个数列组成了一个数列0,20,40,600,20,40,60，380380，这是首项为这是首项为0 0，公差为，公差为2020，项数为，项数为2020的等差数列，的等差数列，其和其和20 (20 1)S203 800(m).2答：答：植树工人共走了植树工人共走了3 800m3 800m的路程的路程. .例例5.5.九江抗

16、洪指挥部接到预报，九江抗洪指挥部接到预报，24h24h后有一洪峰后有一洪峰到达到达. .为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线一道堤坝作为第二道防线. .经计算，需调用经计算，需调用2020台台同型号翻斗车，平均每辆工作同型号翻斗车，平均每辆工作24h24h后方可筑成第后方可筑成第二道防线二道防线. .但目前只有一辆车投入施工，其余的但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min20min能有一能有一辆车到达，指挥部最多可调集辆车到达，指挥部最多可调集2525辆车，那么在辆车，那么在24h24h内能否构筑成第二道防线？内能否构筑成第二道防线？2525辆车可以完成的工作量为：辆车可以完成的工作量为：.500)31(2242524252521aaa需要完成的工作量为需要完成的工作量为242420=480.20=480.因此，在因此，在24 h2