博弈论-混合策略纳什均衡

1、 第三章第三章 混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡 混合策略与期望支付混合策略与期望支付 计算混合策略纳什均衡的三种方法计算混合策略纳什均衡的三种方法 支付最大值法支付最大值法 支付等值法支付等值法 反应函数法反应函数法 多重纳什均衡及其甄别多重纳什均衡及其甄别 混合博弈在现实经济中的运用案例混合博弈在现实经济中的运用案例剪刀、石头、布的游戏剪刀、石头、布的游戏 每个同学跟后面一排对应的同学玩剪刀、石每个同学跟后面一排对应的同学玩剪刀、石头、布的游戏头、布的游戏. 玩二十次玩二十次,将结果记下来将结果记下来 赢了十次以上同学举起手来赢了十次以上同学举起手来 告诉我你有什么秘决告诉我你有什么秘决

2、怎么样才能赢得多？怎么样才能赢得多？剪刀、石头、布的游戏剪刀、石头、布的游戏 我们知道我们知道 如果博弈只进行一次，我们无法明确预测博如果博弈只进行一次，我们无法明确预测博弈的结果，不管是哪个博弈方，也不管他们弈的结果，不管是哪个博弈方，也不管他们的选择是哪个策略，都不能保证得到较好的的选择是哪个策略，都不能保证得到较好的结果。根据我们上一章所学的方法，这个博结果。根据我们上一章所学的方法，这个博弈没有纳什均衡。弈没有纳什均衡。 那么是不是意味着这样的博弈中，你可以随那么是不是意味着这样的博弈中，你可以随意选择，结果都一样呢？意选择，结果都一样呢？剪刀、石头、布的游戏剪刀、石头、布的游戏 答案

3、是否定的。答案是否定的。 事实上，局中人的选择仍然是很有讲究的，事实上，局中人的选择仍然是很有讲究的，策略选择的好坏对局中人的利益仍然有很大策略选择的好坏对局中人的利益仍然有很大的影响。的影响。 在这个零和博弈里，无论双方采用哪种策略在这个零和博弈里，无论双方采用哪种策略组合，结果都是一方输一方赢，而输的一方组合，结果都是一方输一方赢，而输的一方又总是可以通过单独改变策略而反输为赢。又总是可以通过单独改变策略而反输为赢。如果哪个局中人能找到对手方的规律或者偏如果哪个局中人能找到对手方的规律或者偏好，他就能猜测到对手的策略而采用针对性好，他就能猜测到对手的策略而采用针对性策略从而保证赢。策略从而

4、保证赢。剪刀、石头、布的游戏剪刀、石头、布的游戏 因此，秘决在于因此，秘决在于 自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜测到，测到，在该博弈的多次重复中，博弈方一定在该博弈的多次重复中，博弈方一定要避免自己的选择具有规律性；要避免自己的选择具有规律性； 观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好，预先猜测对手策略，从而采用针对性策略赢预先猜测对手策略，从而采用针对性策略赢得这个博弈。得这个博弈。 第三章第三章 混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡 纯策略纯策略(pure strategies)：如果一个策略规：如果一个策略规定参

5、与人在一个给定的信息情况下只选择一定参与人在一个给定的信息情况下只选择一种特定的行动。种特定的行动。 混合策略混合策略(mixed strategies)：如果一个策：如果一个策略规定参与人在给定的信息情况下，以某种略规定参与人在给定的信息情况下，以某种概率分布随机地选择不同的行动。概率分布随机地选择不同的行动。 在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动，在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动，混合策略是不同行动之间的随机选择。混合策略是不同行动之间的随机选择。 期望支付期望支付 与混合策略与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问相伴随的一个问题题,是局中人支付的不确定性是局中人

6、支付的不确定性(uncertainty).可用可用期望支付期望支付(expected payoff)来描述来描述有个有个n可可能的取值能的取值X1,X2,Xn ，并且这些取值发生的概率，并且这些取值发生的概率分别为分别为p1,p2,pn，那么我们可以将这个数量指，那么我们可以将这个数量指标的期望值定义为发生概率作为权重的所有可能标的期望值定义为发生概率作为权重的所有可能取值的加权平均，也就是取值的加权平均，也就是nnAXpXpXpEU.2211政府和流浪汉的博弈政府和流浪汉的博弈 政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻找工作，否则，不予帮助；而流浪汉若

7、知道政找工作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政府采用救济策略的话，他就不会寻找工作。他府采用救济策略的话，他就不会寻找工作。他们只有在得不到政府救济时才会寻找工作。他们只有在得不到政府救济时才会寻找工作。他们获得的支付如图所示：们获得的支付如图所示：（3，2）（-1，3）（-1，1） （0，0）流浪汉流浪汉寻找工作寻找工作 游闲游闲政府政府救济救济不救济不救济 思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这个博弈有没有纯策略的纳什均衡？个博弈有没有纯策略的纳什均衡？ 跟你玩剪子石头布游戏一样，你会一直跟你玩剪子石头布游戏一样，你会一直采用纯策略吗？采用纯策略吗？

8、那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？ 使自己的预期支付最大化。使自己的预期支付最大化。 若能够猜的对方的策略，就可以采用针若能够猜的对方的策略，就可以采用针对性的策略，使自己的支付增加。对性的策略，使自己的支付增加。政府和流浪汉的博弈政府和流浪汉的博弈求解混合策略纳什均衡1、假定政府采用混合策略：、假定政府采用混合策略：2、流浪汉的混合策略为：、流浪汉的混合策略为：的概率选择游闲。的概率选择寻找工作，即流浪汉以11 ,L的概率选择不救济。的概率选择救济，即政府以11 ,G15101113,LGGv对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条件对上述效用函

9、数求微分，得到政府最优化的一阶条件为：为：2.0015Gv就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混合策略就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混合策略流浪汉以流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，的概率选择寻找工作，0 .8的概率选择的概率选择游闲。游闲。解一解一:支付最大化支付最大化那么，政府的期望效用函数为：那么，政府的期望效用函数为： 流浪汉的期望效用函数为：流浪汉的期望效用函数为：5.0012L 解一解一:支付最大化支付最大化解二解二:支付等值法支付等值法 政府选择救济策略政府选择救济策略 政府选择不救济策略政府选择不救济策略114113, 1Gv期望效用0101,0Gv期望效用如果一个混合策

10、略是流浪汉的最优选择，那一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：2.0,014,1GGvv 解二解二:支付等值法支付等值法 如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的，即：5 . 0, 031, 1LLvv 如果政府救济的概率小于如果政府救济的概率小于0.5； 则流浪汉的最优选择是寻找工作；则流浪汉的最优选择是寻找工作； 如果政府救济的概率大于如果政府救济的概率大于0.5； 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 如果政府救济的概率正好等于如果政府救济的概率正好等于0.5； 流浪汉的选择无差异。流浪汉的选择无差异。政

11、府和流浪汉的博弈政府和流浪汉的博弈讨讨 论论 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率上面的均衡要求每个参与人以特定的概率选择纯策略。也就是说，一个参与人选择选择纯策略。也就是说，一个参与人选择不同策略的概率不是由他自己的支付决定不同策略的概率不是由他自己的支付决定的，而是由他的对手的支付决定的。的，而是由他的对手的支付决定的。 正是由于这个原因，许多人认为混合策略正是由于这个原因，许多人认为混合策略纳什均衡是一个难以令人满意的概念。纳什均衡是一个难以令人满意的概念。 事实上，正是因为它在几个（或全部）策事实上，正是因为它在几个（或全部）策略之间是无差异的，他的行为才难以预测，略之间是无差异的，他

12、的行为才难以预测，混合策略纳什均衡才会存在。混合策略纳什均衡才会存在。讨讨 论论 尽管混合策略不像纯策略那样直观，但它确实是尽管混合策略不像纯策略那样直观，但它确实是一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、垒球比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈垒球比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈中，参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不中，参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不被对方所预测。被对方所预测。 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等都检查、质量检查、惩治犯罪、

13、雇主监督雇员等都可以看成猜谜博弈。可以看成猜谜博弈。纳什均衡的存在性纳什定理：纳什定理：在一个由在一个由n个博弈方的博弈个博弈方的博弈 中，中，如果如果n是有限的，且是有限的，且 都是有限集都是有限集(对对 )，则该博弈，则该博弈至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。 证明过程省略，主要根据是证明过程省略，主要根据是布鲁威尔和角谷的不动点定理。布鲁威尔和角谷的不动点定理。 纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析核心概念的根本原因之一。核心概念的根本原因之一。,;,11nnuuSSGiSn

14、i, 1扑克牌对色游戏扑克牌对色游戏 甲乙玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张甲乙玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张扑克牌，约定如果出牌颜色一样，甲输乙赢，扑克牌，约定如果出牌颜色一样，甲输乙赢，如果出牌颜色不一样，则甲赢乙输。如果出牌颜色不一样，则甲赢乙输。 找到这个博弈的纳什均衡。找到这个博弈的纳什均衡。-1， 11， -11， -1-1， 1红黑乙乙甲甲红黑 反应函数法反应函数法 假设甲、乙均采用混和策略假设甲、乙均采用混和策略,随机地以随机地以p的概率出的概率出红牌和以红牌和以(1-p)的概率出黑牌的概率出黑牌,而乙则随机地以而乙则随机地以q的的概率出红牌和以概率出红牌和以(1-q)的概

15、率出黑牌。的概率出黑牌。-1， 11， -11， -1-1， 1红q黑1-q乙乙甲甲红p黑1-p) 12()21 (2)1 ()1 ()1()1)(1 ( 1),() 12()21 (2)1 ()1 ( 1)1)(1 ()1(),(ppqqpqpqppqqpUqqpqpqpqppqqpUBA乙的期望支付是这样甲的期望支付是 反应函数反应函数 A的目标是期望支付越大越好。我们之所以把的目标是期望支付越大越好。我们之所以把A的的期望支付整理成不含期望支付整理成不含p的一项和含的一项和含p的一项这个样的一项这个样子，是因为子，是因为A只能选择只能选择p而不能而不能q，因此，因此，A能通过能通过选择选

16、择p来影响第一项，而不能直接影响第二项。来影响第一项，而不能直接影响第二项。（1-2q）0即即q1/2时，时，A把把p选择等于选择等于1最好；当最好；当（1-2q）1/2时，时，A把把p选择等于选择等于0最好；当最好；当（1-2q）=0即即q=1/2时，时，A可以在可以在0，1之间随便之间随便选择一个选择一个p。这样我们可以得到。这样我们可以得到A的反应函数是，的反应函数是，同样道理我们可以得到同样道理我们可以得到B的反应函数。的反应函数。 0， 如果如果q1/2 1， 如果如果p1/2 p 0,1, 如果如果q=1/2 q 0,1, 如果如果p=1/2 1, 如果如果q1/2 0, 如果如果

17、p1/2 反应函数曲线相应方法反应函数曲线相应方法pq1/21纳什均衡是纳什均衡是A和和B都出红牌或者黑牌的概率是都出红牌或者黑牌的概率是 一半对一半一半对一半 1/21练习：税收检查（监督博弈）练习：税收检查（监督博弈） 设定设定a是应纳税款；是应纳税款；C是检查成本；是检查成本；F是罚款，是罚款，假定是假定是Ca+F。看看是否存在纯策略纳什均衡？。看看是否存在纯策略纳什均衡？混合策略纳什均衡在哪里？混合策略纳什均衡在哪里？字母说明字母说明 此博弈不存在纯策略纳什均衡。此博弈不存在纯策略纳什均衡。 我们用我们用p代表税收机关检查的概率；代表税收机关检查的概率；q代表代表纳税人逃税的概率。纳税

18、人逃税的概率。求解：混合战略纳什均衡求解：混合战略纳什均衡之一之一 假定纳税人采用混合策略达到最优选择时，假定纳税人采用混合策略达到最优选择时，则则税收机关在检查和不检查两种策略的期税收机关在检查和不检查两种策略的期望收益相等：望收益相等： (a-C+F) q+(a-C)(1- q)=a(1- q) q*=C/（a+F）说明说明 如果纳税人逃税的概率小于如果纳税人逃税的概率小于q*, 则则qC/a+F ，税收机关的最优选择是检查；，税收机关的最优选择是检查； 如果纳税人逃税的概率等于如果纳税人逃税的概率等于q*, 则则q=C/a+F ，税收机关随机地选择检查或，税收机关随机地选择检查或不检查。

19、不检查。之二之二 假设采用混合策略是税务机关的最优选择假设采用混合策略是税务机关的最优选择那么给定那么给定p ,纳税人选择逃税和不逃税的期纳税人选择逃税和不逃税的期望收益相等：望收益相等： -(a+F) p +0(1- p)= -a 得得p *=a/(a+F)说说 明明 如果税收机关检查概率小于如果税收机关检查概率小于p*, 即即p13c1时，时，A A将增加将增加r,r,如果如果3c13c2/3r2/3时，时，B B增加增加c c将增加收益；当将增加收益；当r2/3r1/3c1/3，行参与人的最优反，行参与人的最优反应是应是r=1r=1。0c1/3r11A的反的反应曲线应曲线2/3B的反的反

20、应曲线应曲线三个红色的点三个红色的点为纳什均衡，为纳什均衡，两个为纯策略两个为纯策略均衡。均衡。 多重纳什均衡及其甄别多重纳什均衡及其甄别 帕累托优势标准帕累托优势标准 风险优势标准风险优势标准 帕累托优势标准和风险优势标准帕累托优势标准和风险优势标准 聚点均衡聚点均衡 相关均衡相关均衡 抗共谋均衡抗共谋均衡 看看这个博弈有几个纯策略纳什均衡看看这个博弈有几个纯策略纳什均衡?-5， -5-10， 88， -1010， 10战争和平国家国家2战争和平国国家家1战争与和平博弈战争与和平博弈帕累托优势标准帕累托优势标准帕累托优势标准帕累托优势标准这个博弈中有两个纯策略这个博弈中有两个纯策略纳什均衡，

21、（战争，战争）纳什均衡，（战争，战争）和（和平，和平），显然和（和平，和平），显然后者帕累托优于前者，后者帕累托优于前者，所所以，（和平，和平）是本以，（和平，和平）是本博弈的一个按帕累托优势博弈的一个按帕累托优势标准筛选出来的纳什均衡。标准筛选出来的纳什均衡。-5， -5-10， 88， -1010， 10战争和平国家国家2战争和平国国家家1战争与和平博弈战争与和平博弈风险优势标准风险优势标准若考虑到或者说是顾忌到其他博弈方可能发生错误若考虑到或者说是顾忌到其他博弈方可能发生错误的原因，帕累托上策均衡并不一定是最优选择，还的原因，帕累托上策均衡并不一定是最优选择，还需要比较需要比较风险优势风

22、险优势。下面就是两个例子。下面就是两个例子。9， 98， 00， 87， 7LR博弈方博弈方2UD博博弈弈方方1风险上策均衡（风险上策均衡（D，R）风险优势标准风险优势标准从风险优势标准衡量，帕累托上策均衡（鹿，鹿）从风险优势标准衡量，帕累托上策均衡（鹿，鹿）并是最优选择，因为一旦对手方犯了错误，晕了头，并是最优选择，因为一旦对手方犯了错误，晕了头，选择了鹿的策略时，你的支付就会由选择了鹿的策略时，你的支付就会由5变成变成0！你会！你会选择这么高风险的策略吗？而（兔，兔）的策略组选择这么高风险的策略吗？而（兔，兔）的策略组合，当对手方犯了错误，晕了头，选择了鹿的策略合，当对手方犯了错误，晕了头

23、，选择了鹿的策略时，你的支付还是时，你的支付还是3，并没有损失！，并没有损失！5， 53， 00， 33， 3鹿兔猎人猎人2鹿兔猎猎人人1猎鹿博弈猎鹿博弈聚点均衡聚点均衡 聚点均衡是利用博弈设定以外的信息和依据选择聚点均衡是利用博弈设定以外的信息和依据选择的均衡。的均衡。文化、习惯、心理或者其他各种特征都文化、习惯、心理或者其他各种特征都可能是聚点均衡的依据。可能是聚点均衡的依据。 城市博弈（城市分组相同）、时间博弈（报出相城市博弈（城市分组相同）、时间博弈（报出相同的时间）是聚点均衡的典型例子。同的时间）是聚点均衡的典型例子。城市博弈：聚点均衡的例子城市博弈：聚点均衡的例子 游戏：请两个同学

24、上来将四个城市进行分组，分游戏：请两个同学上来将四个城市进行分组，分成两组，每组两个城市。如果分组方法相同，则成两组，每组两个城市。如果分组方法相同，则每人平时分加每人平时分加5分。分。城市博弈：聚点均衡的例子城市博弈：聚点均衡的例子 这四个城市是：这四个城市是： 上海、长春、哈尔滨、南京上海、长春、哈尔滨、南京相相 关关 均均 衡衡5， 14， 40， 01， 5LR博弈方博弈方2UD博博弈弈方方1相关均衡例子相关均衡例子三个纳什均衡：无论是三个纳什均衡：无论是纯策略的纳什均衡（纯策略的纳什均衡（U，L）、（）、（D，R）；混合策略的）；混合策略的纳什均衡（纳什均衡（1/2，1/2），结果都

25、不理想，不如），结果都不理想，不如（U，L）、（）、（D，R）、）、（D，L）。）。 利用聚点均衡（天气，抛硬币），但仍不理想。利用聚点均衡（天气，抛硬币），但仍不理想。相相 关关 均均 衡衡相关装置：相关装置：1、各、各1/3概率概率A、B、C2、博弈方、博弈方1看到是否看到是否A，博弈方，博弈方2看到是否看到是否C3、博弈方、博弈方1见见A采用采用U，否则，否则D；博弈方；博弈方2见见C采用采用R，否则，否则L。相关均衡要点：相关均衡要点：1、构成纳什均衡、构成纳什均衡2、有人忽略不会造成问题、有人忽略不会造成问题一、多人博弈中的共谋问题一、多人博弈中的共谋问题这个博弈纯策略的纳什均衡是什

26、么？这个博弈纯策略的纳什均衡是什么？0,0,10-5,-5,0-5,-5,01,1,-5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3A-2,-2,0-5,-5,0-5,-5,0-1,-1,5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3B共谋和抗共谋均衡共谋和抗共谋均衡本博弈的纯策略纳什均衡：（本博弈的纯策略纳什均衡：（U，L，A）、（）、（D，R，B） 前者帕累托优于后者。博弈的结果会是什么呢？前者帕累托优于后者。博弈的结果会是什么呢？（U，L，A）有共谋有共谋 (Coalition)问题：博弈方问题：博弈方1和和2同时偏离。同时偏离。0,0,10-5,-5,0-5,-5,01,1

27、,-5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3A-2,-2,0-5,-5,0-5,-5,0-1,-1,5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3B共谋和抗共谋均衡共谋和抗共谋均衡博弈的结果会是什么呢？博弈的结果会是什么呢？（U，L，A）有共谋有共谋 (Coalition)问题：博弈方问题：博弈方1和和2同时偏离。同时偏离。（D，R，B） 是防共谋均衡！是防共谋均衡！0,0,10-5,-5,0-5,-5,01,1,-5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3A-2,-2,0-5,-5,0-5,-5,0-1,-1,5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3B

28、共谋和抗共谋均衡共谋和抗共谋均衡防共谋均衡防共谋均衡 如果一个博弈的某个策略组合满足下列要求，称为如果一个博弈的某个策略组合满足下列要求，称为“防共谋均衡防共谋均衡” ：（1）没有任何单个博弈方的）没有任何单个博弈方的“串通串通”会改变博弈的会改变博弈的结果，即单独改变策略无利可图；结果，即单独改变策略无利可图；（2）给定选择偏离的博弈方有再次偏离的自由时，）给定选择偏离的博弈方有再次偏离的自由时，没有任何两个博弈方的串通会改变博弈的结果；没有任何两个博弈方的串通会改变博弈的结果；（3）依此类推，直到所有博弈方都参加的串通也不）依此类推，直到所有博弈方都参加的串通也不会改变博弈的结果。会改变博

29、弈的结果。 前面例子中：（前面例子中：（D，R，B） 是防共谋均衡是防共谋均衡 （U，L，A）不是防共谋均衡）不是防共谋均衡一点说明 存在博弈的纳什均衡，并意味参与者一定存在博弈的纳什均衡，并意味参与者一定不拒绝这种不拒绝这种纳什均衡。纳什均衡。 竞争博弈是一种零和博弈，即博弈一方的收益竞争博弈是一种零和博弈，即博弈一方的收益等于另一方的损失。多数体育竞技项目都是零等于另一方的损失。多数体育竞技项目都是零和博弈：一个组的和博弈：一个组的1分等价于另一个组失去一分等价于另一个组失去一分。参与人之间的利益是完全相反的。分。参与人之间的利益是完全相反的。 例如，在一个足球比赛中，前锋主罚点球，守例如

30、，在一个足球比赛中，前锋主罚点球，守门员防守。如果守门员扑错了方向，前锋得分门员防守。如果守门员扑错了方向，前锋得分的可能性大一些。同时，前锋可能善于踢向某的可能性大一些。同时，前锋可能善于踢向某一个方向，而守门员可能善于扑向某一个方向。一个方向，而守门员可能善于扑向某一个方向。但双方都有朝两个方向的可能。但双方都有朝两个方向的可能。 假定如果假定如果前锋前锋踢向球门的左方，当踢向球门的左方，当守门员守门员扑向右方时，扑向右方时，前锋前锋将是得分的把握将是得分的把握80% 80% ，当，当守门员守门员扑向左方时，扑向左方时，前前锋锋得分的把握得分的把握50%50%。 如果如果前锋前锋踢向球门的

31、右方，当踢向球门的右方，当守门员守门员扑向左方时，扑向左方时，前前锋锋得分的把握得分的把握90%90%，当，当守门员守门员扑向右方时，扑向右方时，前锋前锋得分得分的把握是的把握是20%20%。注：。注：前锋前锋的得分的得分, ,就为就为守门员守门员的失分。的失分。 画出这个竞争博弈的支付矩阵画出这个竞争博弈的支付矩阵, ,并求纳什均衡并求纳什均衡. . 这个博弈的纳什均衡有两种写法前锋前锋守门员守门员左左p右右1-p左左q右右1-q50，-50 80，-8090，-90 20，-20 这个博弈的支付矩阵有两种写法前锋前锋守门员守门员左左p右右1-p左左q右右1-q50，5080，2090，1020，80纳什均衡纳什均衡 计算得前锋应该按概率计算得前锋应该按概率0.70.7踢向左方，而守门员应踢向左方，而守门员应该按概率该按概率0.60.6扑向左方。扑向左方。 这些概率使得无论对方采取什么策略，双方都得到这些概率使得无论对方采取什么策略，双方都得到相等的收益。即当前锋选择