差分方程(2)-稳定性

1、差差 分分 方方 程程(2)(2) 稳定性稳定性 1.1.差分方程模型差分方程模型 对于对于k阶差分方程阶差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (1-1)若有若有xn = x (n), 满足满足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,则称则称xn = x (n)是差分方程是差分方程(1-1)的的解解, 包含个任意常包含个任意常数的解称为数的解称为(1-1)的的通解通解, x0, x1, , xk-1为已知时称为已知时称为为(1-1)的的初始条件初始条件,通解中的任意常数都由初始条通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为件确定后的

2、解称为(1-1)的的特解特解.k 若若x0, x1, , xk-1已知已知, 则形如则形如xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可以在计算机上实现的差分方程的解可以在计算机上实现. 若有常数若有常数a是差分方程是差分方程(1-1)的解的解, 即即F (n; a, a, , a ) = 0,则称则称 a是差分方程是差分方程(1-1)的的平衡点平衡点. 又对差分方程又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定的的任意由初始条件确定的解解 xn= x(n)都有都有xna (n), 则称这个平衡点则称这个平衡点a是是稳定稳定的的. . 一阶常系数线性差分方程一阶常

3、系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b为常数为常数, 且且a -1, 0)的通解为的通解为xn=C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡点是其平衡点, 由上式知由上式知, 当且仅当当且仅当|a|1时时, b/(a +1)是稳定的平衡点是稳定的平衡点. 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程xn+2 + axn+1 + bxn = r,其中其中a, b, r为常数为常数. 当当r = 0时时, 它有一特解它有一特解x* = 0； 当当r 0, 且且a + b + 1 0时时, 它有一特解它有一特解x*=r/( a + b +1

4、). 不管是哪种情形不管是哪种情形, x*是其平衡点是其平衡点. 设其特征方设其特征方程程 2 + a + b = 0的两个根分别为的两个根分别为 = 1, = 2. 当当 1, 2是两个不同实根时是两个不同实根时,二阶常系数线二阶常系数线性差分性差分方程的通解为方程的通解为xn= x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 当当 1, 2= 是两个相同实根时是两个相同实根时,二阶常系数线二阶常系数线性差分性差分方程的通解为方程的通解为xn= x* + (C1 + C2 n) n; 当当 1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根是一对共轭复根时时,二阶常系数线性差分二阶常系

5、数线性差分方程的通解为方程的通解为xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知易知,当且仅当特征方程的任一特征根当且仅当特征方程的任一特征根 | i |1时时, 平衡点平衡点x*是稳定的是稳定的. 则则对于一阶非线性差分方程对于一阶非线性差分方程xn+1 = f (xn )其平衡点其平衡点x*由代数方程由代数方程x = f (x)解出解出. 为分析平衡点为分析平衡点x*的稳定性的稳定性, 将上述差分方程近将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程似为一阶常系数线性差分方程1|*)(| xf时时, ,上述近似线性差分方程与上述近似线性差分方程与原原非线性差分方程的非线性差分

6、方程的稳定性相同稳定性相同. . 因此因此当当时时, , x*是不稳定的是不稳定的. .当当1|*)(| xf时时, , x*是稳定的；是稳定的；当当1|*)(| xf1( *)(*)( *),nnxfxxxf x)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk2. 建模实例：差分形式的阻滞增长模型建模实例：差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t) 某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数

7、量代的数量(人口人口)若若yk=N, 则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点是平衡点kkyNrrx) 1( 1rb记) 1 ()1 (1Nyryyykkkk离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程 (1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x* 的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点brrx111*(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性

8、判断稳定性判断)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识(刚学过的刚学过的):一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点bx11*稳定性稳定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（单调增）0 x1x1x2xx* 稳定稳定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不稳定不稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=01 rb1)0(bf不稳定不稳定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振荡地）y0 xxy )(xfy 0 x1x