角平分线的性质定理及其逆定理课件

1、角平分线的性质定理及其逆定理课件角平分线的性质定理角平分线的性质定理 及其逆定理及其逆定理主备：蒋太平主备：蒋太平回顾 思考如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线。分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长为的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于21作法：作法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于作射线作射线OC则则射线即为所求射线即为所求 请你说明请你说明OCOC为什么是为什么是AOBAOB的的平分线平分线, ,并与同桌进行交流并与同桌进行交流. .命题：角平分线上的点到角的两边的命题：角平分线上的点到角的

2、两边的距离距离相等相等条件：一个点在一个角的平分线上条件：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等 已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在 OC上，上，PD OA ，PE OB，求证：求证：PD=PE.证明证明:AOBPEDPD=PE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)。证明：证明：OC是是AOB的平分线的平分线(已知已知)，1=2(角平分线的定义角平分线的定义)。 PDOA，PEOB(已知已知)，PDO=PEO=90(垂直的定义垂直的定义)。在在PDO和和PEO中，中，PDO=PEO (已证已证)，12(已证已证)，OPO

3、P(公共边公共边)，PDO PEO (AAS)。12ABDEPOC用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED121= 2 PD OA ，PE OBPD=PE.交换定理的条件和结论得到的命题如何叙述？交换定理的条件和结论得到的命题如何叙述？老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.w角平分线角平分线性质性质定理定理: : 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边角的两边距离距离相等相等. .你能写出它的逆命题吗？你能写出它的逆命题吗？思考w逆命题逆命题 在角的内部到一个角的两边距离相等的点在角的内部到一个角的两边距离相等的点, , 在这个角的平分线上在这个角的平分线上

4、. .w它是真命题吗它是真命题吗? ?如果是如果是. .请你证明它请你证明它. .已知已知: :如图如图, AOB,PDOA, , AOB,PDOA, PEOB,PEOB,且且PD=PE,PD=PE,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证求证: :点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .分析分析: :要证明点要证明点P P在在AOBAOB的的平分平分线上线上, ,可可以先作出过点以先作出过点P P的射线的射线OC,OC,然后证明然后证明AOC=BOC.AOC=BOC.OCBAPDEw逆定理逆定理: : 在角的内部，在角的内部，到一个角的两到一个角的两边边距离相等的点距离相等的点,

5、 ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. . 用符号语言表示为用符号语言表示为: :PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足垂足 分别是分别是D,E,D,E,且且PD=PEPD=PE点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上老师提示老师提示: :这个结论是经常用来证明这个结论是经常用来证明点在直线上点在直线上( (或或直线经过直线经过某一某一点点) )的根据之一的根据之一. .OCBAPDE角平分线性质定理的逆定理角平分线性质定理的逆定理判断下列推理是否正确判断下列推理是否正确（1）如图，）如图，AD平分平分BAC，PEAB，PFAC PE = PF（角平分线上的点到这个角的（角平分

6、线上的点到这个角的 两边距离相等）两边距离相等）（2）如图，）如图， PE = PF AD平分平分BAC （到角两边距离相等的点（到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上）在这个角的平分线上）（3）如图，）如图， 点点P在在BAC 的平分线上的平分线上 PE = PF（角平分线上的点到（角平分线上的点到 这个角的两边距离相等）这个角的两边距离相等）ABCDEFP（对）（对）（错）（错）（错）（错）ABCDEFP判断下列推理是否正确判断下列推理是否正确ABCDEFPABCDEFP（4）如图，）如图， PEAB，PFAC AD平分平分BAC（到角两边距离相等（到角两边距离相等 的点在这个角的平分线

7、上）的点在这个角的平分线上）（错）（错）（5）如图）如图 PEAB，PFAC，PE = PF 点点P在在BAC 的平分线上（到角两边的平分线上（到角两边 距离相等的点在这个角的平分线上）距离相等的点在这个角的平分线上） （对）（对）1.1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等2.2.角平分线的性质定理的逆定理：角平分线的性质定理的逆定理：在角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个在角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。角平分线上。4.4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等角平分线的性质定

8、理是证明角相等、线段相等的新途径的新途径. .角平分线的逆定理是证明点在直线上角平分线的逆定理是证明点在直线上( (或直线经过某一点或直线经过某一点) )的根据之一的根据之一. .3.3.性质定理和逆定理的关系性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点在角平分线上 点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等总结归纳总结归纳1、已知：如图、已知：如图1，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P.ABCMNP图1求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等. 基本应用基本应用定理;三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这一点到到三条边的距离相等。求证：求证：P在在A的

9、平分线上的平分线上HEGABCP图图22 已知：如图已知：如图2，PB、PC分别是分别是ABC的外角的外角平分线，平分线， 相交于点相交于点P. 基本应用基本应用3、如图，某个居民小区、如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在，拟在MN上建造一个大型超市，使得上建造一个大型超市，使得它到它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置的距离相等，请确定该超市的位置P。BANMO小区CP 基本应用基本应用例题：（2011泰州）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，

10、顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限 求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上；回味无穷w 一一. .定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距角平分线上的点到这个角的两边距离相等离相等. . w 二二. .逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距且到角的两边距离相等的点离相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .小结 拓展三三.遇到角平分线的问题遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理以便充分运用角平分线定理今日作业今日作业1 1、如图、如图, ,在在ABCABC中中, ,已知已知AC=BC,C=90AC=BC,C=900 0,AD,AD 是是ABCABC的角平分线的角平分线,DEAB,DEAB,垂足为垂足为E.E.(1)如果如果CD4cm，AC的长的长(2)求证求证:ABACCD.EDABC2 .在在ABC中，中，B=