利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

1、导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及；(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g(x)0； (3)，那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g(x)0； (3)，那么 =。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g(x)0； (3)，那么 =。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的xa，x换成x+，x-，洛必达法则也成立。2.洛

2、必达法则可处理，型。3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围 解:（II）当时，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x0),则，令，则，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，故综上，知a的取值范围为。2（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；

3、（）如果当，且时，求的取值范围。解：（II）由题设可得，当时，k=0在上为增函数=0当时，当x（1，+）时，当时，当x（1，+）时，在上为减函数，在上为增函数洛必达法则知，即k的取值范围为（-，03.已知函数f(x)=x(1+a)lnx在x=1时，存在极值。（1）求实数a的值；（2）若x1，mlnx成立,求正实数m的取值范围解：=g（x）=令h(x)= 令则，令M（x）=r(x)，0,则，r(x)为减，且r(1)=0,则h（x）为减，且h(1)=0,则g(x)为减，这样，g(x)0），分子r(x)=,(x0, )，扩展定义域，求导0，可知，r(x)为定义域内增函数，而r（x）r(0)=0.所以

4、0.为增函数。则ah(0)-不存在，罗比达法则可得为1练习1. 2006年全国2理 设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围2. 2006全国1理 已知函数.（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围.3. 2007全国1理 4. 设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围5. 2008全国2理 设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围 解：（） 当（）时，即；当（）时，即因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数解：（）略（）应用洛必达法则和导数若，则；若，则等价于，即则.记， 而.另一方

5、面，当时，因此6. 2008辽宁理 设函数.求的单调区间和极值;是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.7 2010新课标理 设函数=.（）若，求的单调区间;（）若当x0时0，求a的取值范围.8 .2010新课标文已知函数.（）若在时有极值，求函数的解析式；（）当时，求的取值范围. 解：（）略（）应用洛必达法则和导数当时，即.当时，；当时，等价于，也即.记，则.记，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以，即有.综上所述，当，时，成立.9. 2010全国大纲理 设函数.（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围.

6、解：（）略（）应用洛必达法则和导数由题设，此时.当时，若，则，不成立；当时，当时，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，.因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，即有，所以.综上所述，的取值范围是.10. 2011新课标理 已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围.押题 若不等式对于恒成立，求的取值范围.解：应用洛必达法则和导数当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，即有

7、.故时，不等式对于恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足： 可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； 现“”型式子.第三部分：新课标高考命题趋势及方法1. 高考命题趋势 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.2.分类讨论和假设反证 许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路分类讨论和假设反证的方法.3.洛必达法则 虽然这些压轴题可