复习量子力学

1、1 量子力学的理论体系是一个公理体系，有量子力学的理论体系是一个公理体系，有一些基本假设构成，这些假设建立于量子论一些基本假设构成，这些假设建立于量子论的基础上，他们是以伪象的量子论作为根据的基础上，他们是以伪象的量子论作为根据的。但是，既然是假设，在量子力学的理论的。但是，既然是假设，在量子力学的理论体系之内，不可能把他们体系之内，不可能把他们“推导推导”或者或者“证证明明”出来，他们不是出来，他们不是“推导推导”或者或者“证明证明”的产物，不是单纯的逻辑推理的结果。的产物，不是单纯的逻辑推理的结果。量子力学中的基本假设是：量子力学中的基本假设是：1.微观粒子的状态用波函数来描写！微观粒子的

2、状态用波函数来描写！2.波函数的演化和分布服从薛定谔方程！波函数的演化和分布服从薛定谔方程！3.微观体系的可观察量用厄米算符表示微观体系的可观察量用厄米算符表示4.体系的状态波函数可以用算符体系的状态波函数可以用算符F的本征函数展的本征函数展开。开。5.在全同粒子组成的体系中，两个全同粒子相在全同粒子组成的体系中，两个全同粒子相互交换不改变体系的状态！互交换不改变体系的状态！4（一）（一）几个主要的经典物理学问题几个主要的经典物理学问题 19 19世纪末、世纪末、2020世纪初经典物理学理论发展世纪初经典物理学理论发展到相当完善的地步，一般的物理现象都可归结于到相当完善的地步，一般的物理现象都

3、可归结于经典物理学理论。经典物理学理论。1. 1. 行星运动行星运动牛顿力学牛顿力学 2. 2. 热运动热运动热力学与玻耳兹曼统计等理论热力学与玻耳兹曼统计等理论 3. 3. 电磁运动电磁运动麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 4. 4. 光的现象光的现象光的波动理论光的波动理论 5（二）（二）经典物理学的困难与量子物理学的诞生经典物理学的困难与量子物理学的诞生 1. 1. 黑体辐射问题黑体辐射问题 2. 2. 光电效应问题光电效应问题 3. 3. 康普顿（康普顿（ComptonCompton）效应）效应4. 4. 原子结构及其光谱问题原子结构及其光谱问题RETURNRETURN 普朗克和爱因斯坦的

4、理论揭示出光普朗克和爱因斯坦的理论揭示出光的的微粒性微粒性，但这并不否认光的，但这并不否认光的波动性波动性；因为光的波动性理论早已被干涉和衍射因为光的波动性理论早已被干涉和衍射等现象证实。这样光就具有微粒和波动等现象证实。这样光就具有微粒和波动的双重性质，这种性质就称为的双重性质，这种性质就称为波粒二象波粒二象性性。光子是一个全新的概念，为了便于。光子是一个全新的概念，为了便于理解其性质，人们用两个经典的概念波理解其性质，人们用两个经典的概念波和粒子来描述它，即波粒二象性。实际和粒子来描述它，即波粒二象性。实际上光子即上光子即不是经典的波，也不是经典的不是经典的波，也不是经典的粒子粒子！7 为

5、克服经典物理所遇到的困难，人们在为克服经典物理所遇到的困难，人们在经典物理的基础上加上了一些能量量子化的经典物理的基础上加上了一些能量量子化的假设，由此虽然解决了许多问题，但并没有假设，由此虽然解决了许多问题，但并没有从根本上解决能量不连续的本质问题。这一从根本上解决能量不连续的本质问题。这一切都推动着理论的发展。量子力学切都推动着理论的发展。量子力学 （1923 - 1923 - 19291929）就是在克服这些困难中建立起来的。）就是在克服这些困难中建立起来的。2020世纪世纪2020年代量子物理学的两种等价理论同年代量子物理学的两种等价理论同时提出：时提出： 1. 1. 光的波粒二象性光

6、的波粒二象性 光子的能量和动量光子的能量和动量 Eh hhpnnkc2kn341.0545 10J s2h( 其中其中 ， )2.2.微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性 德布罗意假说（德布罗意假说（19241924年）：年）： 一切实物微粒也具有波动性。一切实物微粒也具有波动性。 与能量为与能量为E E及动量为及动量为p p 的粒子相联系的波（物质的粒子相联系的波（物质波）的频率及波长为波）的频率及波长为 Ehhpa) 德布罗意关系德布罗意关系b) 德布罗意波函数德布罗意波函数自由粒子的能量和动量都是常量，所以由德布罗意关系可知：自由粒子的能量和动量都是常量，所以由德布罗意关系可知：与自

7、由粒子联系的波，它的频率或者是波长都不变，即它是与自由粒子联系的波，它的频率或者是波长都不变，即它是一个平面波。一个平面波。以自由粒子为例：以自由粒子为例： 频率为频率为v，波数为，波数为K，沿，沿X方向传播的一个平面波，可用方向传播的一个平面波，可用下面的式子表示下面的式子表示002( )cos()xy tAti( , )ep r Etr tA 如速度如速度v=5.0 102m/s飞行的子弹，质量为飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为：对应的德布罗意波长为：nmmvh25103 . 1如电子如电子m=9.1 10-31Kg，速度，速度v=5.0 107m/s, 对应的对应

8、的德布罗意波长为：德布罗意波长为：nmmvh2104 .1太小测不到！太小测不到！X射线射线波段波段c) 德布罗意波长的大小估计德布罗意波长的大小估计所以所以德布罗意波长相当于德布罗意波长相当于晶体中原子间距晶体中原子间距，它比宏观的线度，它比宏观的线度要短的多，因此电子的波动性长期以来未被发现！要短的多，因此电子的波动性长期以来未被发现！GM 戴维逊和革末的实验是用戴维逊和革末的实验是用电子束电子束垂直投射到垂直投射到镍单晶镍单晶，电子，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。从而验证了物质波

9、的存在。实验装置实验装置：电子从灯丝电子从灯丝K K飞出，经电飞出，经电势差为势差为U U的加速电场，通的加速电场，通过狭缝后成为很细的电子过狭缝后成为很细的电子束，投射到晶体束，投射到晶体M M上，散上，散射后进入电子探测器，由射后进入电子探测器，由电流计电流计G G测量出电流。测量出电流。K3.3.德布罗意假设的实验验证德布罗意假设的实验验证（1）德布罗意德布罗意革末（革末（DavisonGermer） V(x)V(x)电子枪电子枪探测器探测器q实验现象：实验现象：实验发现，单调地增加加速电压，实验发现，单调地增加加速电压，电子探测器的电流并电子探测器的电流并不是单调不是单调地增地增加的加

10、的，而是出现明显的选择性。例，而是出现明显的选择性。例如，只有在加速电压如，只有在加速电压U=54V,U=54V,且且=65=650 0时，探测器中的电流才有极大时，探测器中的电流才有极大值。值。54U(V)IO单晶表面等效的一个反射光栅单晶表面等效的一个反射光栅 qsin225.12dkU 12.26nm2VhemUU代入代入2 sindkqqd2 sindkq实验结果实验结果：理论值理论值(=65(=650 0) )与实验结果与实验结果(=65.8(=65.80 0) )相差很小，表明电相差很小，表明电子电子确实具有波动性，德子电子确实具有波动性，德布罗意关于实物具有波动性布罗意关于实物具

11、有波动性的假设是正确的的假设是正确的(d=0.091nm)（2）汤姆逊实验汤姆逊实验 1927年，汤姆逊在实验中，让年，汤姆逊在实验中，让电子束电子束通过薄通过薄金金属膜属膜后射到照相底片上，结果发现，与后射到照相底片上，结果发现，与X射线射线通通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。多晶薄膜多晶薄膜入射电子入射电子 电子通过金属多晶薄膜的衍射实验电子通过金属多晶薄膜的衍射实验 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验（汤姆孙汤姆孙19271927年）年）（约恩逊（约恩逊19611961年年) )电子、质子、原子、分子

12、等都具有波电子、质子、原子、分子等都具有波 动性；波动性是物质粒子普遍具有的。动性；波动性是物质粒子普遍具有的。 Clinton Davisson 18811958P 点电子流的强度点电子流的强度204cos (sin )dIIqsin(0,1,2,)ndnq当当 时时, ,电子强度为极大电子强度为极大, ,此结果为实验所证实此结果为实验所证实. .诡异的微观粒子的波粒二象性在此已经充分显露诡异的微观粒子的波粒二象性在此已经充分显露出来。费曼（出来。费曼（feynmanfeynman）说，量子力学的全部奥妙）说，量子力学的全部奥妙就在于此！就在于此！ “波粒二象性波粒二象性”实际上是个拼凑的词

13、，用我们这副经实际上是个拼凑的词，用我们这副经典物理训练出来的头脑，想象不出典物理训练出来的头脑，想象不出“波粒二象性波粒二象性”是怎样是怎样的物理图像。虽然我们的文字和头口语言显得很贫乏，的物理图像。虽然我们的文字和头口语言显得很贫乏，而数学的语言却能够精确的描述波粒二象性。只是我们而数学的语言却能够精确的描述波粒二象性。只是我们需要逐渐的熟练这种数学语言，即用波函数描写电子的需要逐渐的熟练这种数学语言，即用波函数描写电子的状态。状态。 一一切微观粒子的状态可用相应的波函数切微观粒子的状态可用相应的波函数来描写来描写. .自由粒子：自由粒子： 是常量是常量 是常量是常量 平面波平面波,E p

14、,kv对应自由粒子平面波函数自由粒子平面波函数i( , )ep r Etr tA 用一个函数描写粒子的波用一个函数描写粒子的波, ,称这个函数为波函数。称这个函数为波函数。 一一切微观粒子的状态可用相应的波函数切微观粒子的状态可用相应的波函数来描写来描写. .自由粒子平面波函数自由粒子平面波函数i( , )ep r Etr tA 如果粒子处于随如果粒子处于随时间和位置变化的力场时间和位置变化的力场中运动，中运动，他的动量和能量他的动量和能量不再是常量不再是常量（或不同时为常量）（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记

15、为复杂的波描写，一般记为：),(tr 描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个是一个复函数复函数。 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的的属性属性 2.2.有确定的运动轨道，每一时刻有一有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度定位置和速度 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性实在的物理量的空间分布作周期性 的变化的变化 2.2.干涉、衍射现象，即相干叠加性干涉、衍射现象，即相干叠加性 经典概念中经典概念中粒子：粒子：经典概念中经典概念中波：波：粒子性粒子性 颗粒性颗粒性(V)(V) 轨道轨道(X)(X)波动性波动性 物理量周期分布物理量周期分

16、布(V and X) (V and X) 将将”粒子分布粒子分布”视为物理量视为物理量 叠加性叠加性-干涉干涉, ,衍射衍射(V)(V)2. 2. 概率波概率波 “物质波物质波”不是经典波所代表的某种物不是经典波所代表的某种物理量的波动，而是所描写粒子空间分布的概率波，理量的波动，而是所描写粒子空间分布的概率波，把粒子的把粒子的“原子性原子性”与波的与波的“叠加性叠加性”统一了起来。统一了起来。 电子衍射实验：电子衍射实验： 电子束电子束金箔金箔屏屏电子枪电子枪 x处电子数处电子数又因为强度又因为强度 波幅平方波幅平方所以，电子在所以，电子在t t 时刻，电子波函数的模方时刻，电子波函数的模方

17、x处的概率处的概率因为因为x处的强度处的强度 x处感光点子数处感光点子数 电子出现电子出现 x 处的几率处的几率玻恩（玻恩（M.Born)M.Born)：在某一时刻：在某一时刻, , 空间空间 x 处粒子出处粒子出现的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间现的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。出现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。设波函数设波函数 tzyx, t 时刻处于时刻处于 xx+dx，yy+dy，zz+dz内内的概率的概率 2, , , , ,d d ddW x y x tCx y z tx y z概率密度：概率密度： 2d, ,

18、, , ,dWw x y z tCx y z tV3.3.波函数的性质波函数的性质(1) (1) 是单值、有界、连续的；是单值、有界、连续的； tzyx, (2) (2) 与与 描写同一状态。描写同一状态。 tzyx, tzyxC, (3)(3)波函数的归一性波函数的归一性 2d1V即粒子在全空间出现的概率和等于即粒子在全空间出现的概率和等于1 1 是平方不可积的是平方不可积的, ,则可则可归一归一为为d 函数函数 tzyx, i*2,ddpp xppr tr txAex 是平方可积的是平方可积的, ,则可则可归一化，归一化，( , , )x y z如：平面波函数如：平面波函数iep r Et

19、A 2212ed2 2ipp xxAApp 2121 A取取 所以所以 箱归一化箱归一化加上周期性边界条件限制加上周期性边界条件限制 L 周期周期 i1 21( , )e(2 )p r Etpr t ( )()xxL设归一化因子为设归一化因子为C，则归一化的波函数为，则归一化的波函数为取取 d d0 0，则归一化的波函数为，则归一化的波函数为解：解： 例题例题 将波函数将波函数 归一化归一化 2exp22xxfa 计算积分得计算积分得 , ,所以，所以，2CaieCa22( )exp(2)xxaa22( )exp(2)xCxa由由2( )d1xx 给出给出 尽管粒子的位置不确定（我们不能要求它

20、尽管粒子的位置不确定（我们不能要求它确定，这是微观粒子的本质），但它的几率分布是完全确定确定，这是微观粒子的本质），但它的几率分布是完全确定的，我们在以后还将证明，此时粒子的能量，动量等各种可的，我们在以后还将证明，此时粒子的能量，动量等各种可观测量的观测值及其几率分布也是完全确定的。因此，我们观测量的观测值及其几率分布也是完全确定的。因此，我们把由把由 描述的粒子的状态称为描述的粒子的状态称为量子态或简称态（量子态或简称态（各各力学量的值不确定，但它的可能值及其分布几率是确定），力学量的值不确定，但它的可能值及其分布几率是确定），而把而把 称为称为态函数态函数。),(tr),(tr),(tr

21、经典力学叠加原理：经典力学叠加原理： 两个可能的波动过程两个可能的波动过程 和和 线性叠加的线性叠加的结果结果 也是一个可能的波动过程。也是一个可能的波动过程。121122cc 声波和光波都遵从叠加原理。光学中的惠更斯原理声波和光波都遵从叠加原理。光学中的惠更斯原理就是这样的一个原理，它告诉我们：在空间中任意一点就是这样的一个原理，它告诉我们：在空间中任意一点P P的光波强度可以由前一时刻波前上所有各点传播出来的光波强度可以由前一时刻波前上所有各点传播出来的光波在的光波在P P点的线性叠加起来而得出。在声学和光学中，点的线性叠加起来而得出。在声学和光学中，利用这个原理可以解释声和光的干涉、衍射

22、现象利用这个原理可以解释声和光的干涉、衍射现象。量子力学叠加原理：量子力学叠加原理： 如果如果 和和 是体系的可能态，则它们的是体系的可能态，则它们的线性叠加线性叠加 也是体系的可能态。也是体系的可能态。 121122cc以电子的双缝干涉实验为例。用以电子的双缝干涉实验为例。用 表示电子通过上面表示电子通过上面狭缝到达屏的状态，用狭缝到达屏的状态，用 表示电子通过下面狭缝的到表示电子通过下面狭缝的到达屏的状态，再达屏的状态，再用表示电子通过两个狭缝到达屏的状用表示电子通过两个狭缝到达屏的状态。那么态。那么可以写为的线性叠加可以写为的线性叠加 。121122cc)t , r()p()t , r(

23、pp 2、按照态叠加原理，粒子处在、按照态叠加原理，粒子处在r处的状态应处的状态应该是各种动量该是各种动量p运动的状态的线性叠加：运动的状态的线性叠加：由于出射粒子出射动量连续变化则由于出射粒子出射动量连续变化则)Etrp(iexp)t , r(p2321）（ pdeptrrpi323)()2(1),(1、电子在晶体表面反射后，可能以各种不同、电子在晶体表面反射后，可能以各种不同的动量运动（对应不同的出射角度）。以动的动量运动（对应不同的出射角度）。以动量量p运动的状态运动的状态pdetptrrpi323),()2(1),(xdetrtprpi323),()2(1),(说明：任何波函数说明：任

24、何波函数 都可以看作是各种不同都可以看作是各种不同动量平面波的迭加动量平面波的迭加 )t ,r( )t ,r( )t ,p( pdnhdnnqsinpnq qnq q而沿而沿 出射波的波幅出射波的波幅 应该正比入射波中动量相应该正比入射波中动量相应分波的波幅应分波的波幅在衍射过程中在衍射过程中, ,波长未改变波长未改变, ,即粒子的动量大小未改即粒子的动量大小未改变变. .因而衍射谱的分布反映了衍射前粒子动量的分布因而衍射谱的分布反映了衍射前粒子动量的分布. .测出衍射角测出衍射角, ,就等于测出了粒子的动量就等于测出了粒子的动量, ,即晶体衍射实即晶体衍射实验可作为测量粒子动量的装置验可作为

25、测量粒子动量的装置. .1)(32pdp两者的区别仅在于：两者的区别仅在于： (r)是以坐标为自变量是以坐标为自变量,称为坐称为坐标表象的波函数标表象的波函数,而而 (p)是以动量为自变量是以动量为自变量,称为动量表称为动量表象中的波函数象中的波函数. 粒子动量在粒子动量在p到到p+dp范围中的几率为范围中的几率为| (p) |2d3p, 一般来说，任何一个波函数都可以看作是一般来说，任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的叠加各种不同动量的平面波的叠加 ,dpx tCp tx tp 1i21e2p xEtpx 3 2*1,( )d2pCp tx txx其中其中注：注：动量表象动量表象

26、 ,C p t, x t坐标表象坐标表象与与 是互为付氏变换式。是互为付氏变换式。 , x t,C p t（2 2）同一量子态可用不同形式的波函数表示。）同一量子态可用不同形式的波函数表示。（1 1）态叠加原理指的是波函数（概率幅）的线）态叠加原理指的是波函数（概率幅）的线 性叠加，而不是概率的叠加。性叠加，而不是概率的叠加。 量子态随时间的变化规律满足薛定谔方程量子态随时间的变化规律满足薛定谔方程. .1.1.含时薛定谔方程含时薛定谔方程（1 1） 单粒子体系的薛定谔方程单粒子体系的薛定谔方程 22i2Uxtm 建立方程的启示建立方程的启示 自由粒子自由粒子 已知解已知解=方程式方程式( (

27、不唯一不唯一) )作代换作代换iEtipp 能量算符能量算符动量算符动量算符薛定谔方程薛定谔方程 22i2U xtm 特例：特例：自由粒子的含时薛定谔方程自由粒子的含时薛定谔方程22i2tm 2. 2. 多粒子体系的非相对论薛定谔方程多粒子体系的非相对论薛定谔方程 2121,2niniipEUxxxmiEtiiip iiiiijkxyz 22121i,2niniiUxxxtm 体系的能量体系的能量作代换作代换薛定谔方程：薛定谔方程：其中：其中：一般方法：一般方法：根据非相对论能量动量关系式（体根据非相对论能量动量关系式（体系的哈密顿式），用能量算符和动量算符代替系的哈密顿式），用能量算符和动量

28、算符代替能量和动量分别作用于波函数上，便可得到量能量和动量分别作用于波函数上，便可得到量子体系所满足的薛定谔方程。子体系所满足的薛定谔方程。 注：注：薛定谔方程是量子力学的最基本方程，也是量子薛定谔方程是量子力学的最基本方程，也是量子力学的一个基本假设。我们并不能从一个更基本力学的一个基本假设。我们并不能从一个更基本的假设来推导或证明它。其正确性只能靠实践来的假设来推导或证明它。其正确性只能靠实践来检验。检验。薛定谔方程是非相对论微观粒子的基薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程，地位同经典物理的牛顿定律。本方程，地位同经典物理的牛顿定律。 薛定谔薛定谔 Schrdinger Erwin 奥地

29、利人奥地利人 （1887 1961）设设t t时刻，时刻，x x点周围单位体积内粒子出现的概率点周围单位体积内粒子出现的概率 *,w x tx tx t1. 1. 概率流密度和守恒定律概率流密度和守恒定律概率随时间的变化规律概率随时间的变化规律*wttt2i12iUxtm *2*i12iUxtm 因为因为0wJt *i1Re2Jpmm其中：其中：则则J 概率流密度矢量概率流密度矢量 注：注：几率流密度矢量几率流密度矢量的物理意义的物理意义 ddddddVVSJJStt 单位时间体积单位时间体积V V 内增加的概率等于从体内增加的概率等于从体积积V V 外部穿过界面外部穿过界面S S 流入流入V

30、 V 内的概率。内的概率。 电荷守恒方程电荷守恒方程 粒子电荷为粒子电荷为e, e, 电流密度：电流密度： 电荷守恒方程：电荷守恒方程： *ei2eJeJm0eewJt 电荷密度为电荷密度为ewwe单位时间体积单位时间体积 V V内电荷增量等于内电荷增量等于单位时间由单位时间由V V表面流入表面流入V V内的电量内的电量 2.2.波函数的归一不变性波函数的归一不变性 dd0VVSddJJSdt 2,d(x tt常数 与 无关）若波函数是归一化的，即若波函数是归一化的，即 *1d 则将保持归一性不变。则将保持归一性不变。 当当V 时时所所 以以一一. . 薛定谔方程薛定谔方程描述微观粒子有波粒二

31、象性状态的波函数一描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数一般是空间和时间的函数，即般是空间和时间的函数，即 微观粒子在微观粒子在不同条件不同条件下下( (例如，处于不同的外力场中例如，处于不同的外力场中) )的的运动状态是不同运动状态是不同的，的，解波函数解波函数 所所满足的方程满足的方程-薛定谔方程，该方程应薛定谔方程，该方程应反映出反映出微观粒子所处的不同条件。微观粒子所处的不同条件。tr,常常常遇到微观粒子的常遇到微观粒子的势能函数势能函数 U 与时间与时间 t无关无关的稳的稳定的势场问题，这称为定的势场问题，这称为定态问题定态问题。 设势场设势场U(x)与与t t无关无关, ,令特解令特

32、解 , x txf t代入薛定谔方程代入薛定谔方程 22di1(d2ftUxxEfttxm常数）二二. .定态薛定谔方程定态薛定谔方程 22222pHUxUxmm 若记哈密顿算符若记哈密顿算符则定态薛定谔方程则定态薛定谔方程HE-本征值方程本征值方程体系的能量本征函数体系的能量本征函数从数学上讲，对任何值，定态薛定谔方程都有解。从数学上讲，对任何值，定态薛定谔方程都有解。对于实际的物理问题，只有一些特定的对于实际的物理问题，只有一些特定的En 对应的解对应的解n 才满足物理上的要求，即波函数的标准化条件才满足物理上的要求，即波函数的标准化条件。 En 称为体系的称为体系的能量本征值。能量本征值

33、。 n 称为称为能量本征函数。能量本征函数。 定态薛定谔方程也就称为定态薛定谔方程也就称为 的本征方程。的本征方程。HetEinnnrtr)(),(而原方程的通解由特解迭加而成而原方程的通解由特解迭加而成etEinnnnrctr)(),(强调几点：强调几点：1.它描写的粒子的能量它描写的粒子的能量 En是确定的是确定的2.2.位置的几率分布不随时间变化位置的几率分布不随时间变化3.3.几率密度矢量亦与时间无关几率密度矢量亦与时间无关 用波函数用波函数 描写的状态称为定态描写的状态称为定态etEinnr)( 一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱金属中自由电子的运动金属中自由电子的运动, ,是被限

34、制在一个有限的范是被限制在一个有限的范围围 称为称为束缚态束缚态。作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深方作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深方势阱中运动：势阱中运动：2a金属金属U(x)U=U0U=U0U=0 x简简化化U=0UUU(x)x 无限深方势阱无限深方势阱a a一维无限深势阱的势能函数是一维无限深势阱的势能函数是： |x|a; |x|a .U(x)=0+ox)(|x|aEU222根据定态薛定谔方程：根据定态薛定谔方程： 在阱外因在阱外因U0，根据波函数的根据波函数的连续性连续性和和有限性有限性条件，得条件，得在势阱内，满足方程在势阱内，满足方程: :)(0)(2222

35、axaxEdxd 显然显然E E必须必须00，所以记，所以记Ek2那么方程变成：那么方程变成： ddxkx2220( ).它的一般解是：它的一般解是： )(.sincos)(axakxBkxAx 因而因而，AkaBkacos,sin.00 由于由于处处必必须须连连续续，和和在在axaxx )( ox)(|x|=a 可得可得由边界条件由边界条件)(at, 0sincosaxkaBkaA)(at, 0sincosaxkaBkaAA A和和B B不能同时为不能同时为0 0，否则，否则0 0，无意义解，无意义解有两种情形的解：有两种情形的解： , 0cos, 0kaB所以，（1）)(,2奇数nankE

36、k2因为,82222anEn得到axnAxn2cos)( (2) 所以，Aka00,sin)(,2偶数nank因而，因而，AkaBkacos,sin.00A A和和B B不能同时为不能同时为0 0，否则，否则0 0，无意义解，无意义解有两种情形的解：有两种情形的解： axnBxn2sin)(波函数的归一化是波函数的归一化是：1| )(| )(|22 dxxdxxaa 所以，所以， Aan1,（与n无关）最后，波函数是：最后，波函数是： nxanaxa( )sin().12二者合起来可写为：二者合起来可写为：axaxanAxnn)(2sin)(axxn 0)(3.3.最低能量不为零（称零点能）最

37、低能量不为零（称零点能） 082221aE2.当当 很大（宏观粒子）时，能量连续，很大（宏观粒子）时，能量连续，量子量子 经典。经典。 1.1.按经典理论按经典理论粒子的粒子的“能量连续能量连续”；但量子力学但量子力学束缚态能量只能取分立值（能级）束缚态能量只能取分立值（能级）一般来说，束缚态体系能级是离散的，能量量子化是束缚态一般来说，束缚态体系能级是离散的，能量量子化是束缚态粒子的共同特性，是微观世界的特有现象粒子的共同特性，是微观世界的特有现象 01282221)( naEEnn 说明说明3 , 2 , 1e2sin1)e(i-i-naxaxanaxx,ttEtEnnnn所以，一维无限深

38、势阱中粒子的定态波函数为：所以，一维无限深势阱中粒子的定态波函数为：还可以得到势阱中粒子的动量和波长还可以得到势阱中粒子的动量和波长anEPnn22naPhnn4 说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波。德布罗意波的一个特定波长的驻波。 5.5.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布与经典粒子不同。势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布与经典粒子不同。4.4.粒子的动量及波长粒子的动量及波长,82222anEn由由n =1,2,3,4,5, 6,EnxE1E2E3E4an4, 11 2 , 22an 34 , 33anan

39、4 , 4 4 , nnan 束缚态束缚态aa0 0呈驻波状呈驻波状n2n n8. 8. 宇称的概念宇称的概念, 6 , 4 , 2,2sin1nxanan, 5 , 3 , 1,2cos1nxanan-奇函数奇函数 ,xxnn即即-偶函数偶函数 ,xxnn即即波函数波函数“反演变换反演变换”变号，称为具有变号，称为具有奇宇称奇宇称波函数波函数“反演变换反演变换”不变号，称为具有不变号，称为具有偶宇称偶宇称求解定态薛定谔方程的思路求解定态薛定谔方程的思路3. 用分离变量法求解用分离变量法求解2. 写出边界条件写出边界条件4. 用归一化条件及标准化条件用归一化条件及标准化条件积分常数积分常数5.

40、 讨论解的物理意义讨论解的物理意义1. 写出写出 的形式，代入薛定谔方程的形式，代入薛定谔方程)(rU 何谓谐振子何谓谐振子? ?2221xV 量子力学中的线性谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。场中运动的粒子。 kxxkxdtxd 其其中中0222在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，的粒子，受弹性力受弹性力F=-kxF=-kx作用，由牛顿第二定作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：律可以写出运动方程为：其解为其解为 x = Asin( t + )。这种运动称为简谐振。这种运动称为简谐振动动,作这种运动的粒子叫谐振子。作这

41、种运动的粒子叫谐振子。若取若取V0 = 0，即平衡位，即平衡位置处于势置处于势 V = 0 点，则点，则dxdVF 因因为为kxdxV所以0221Vkx 02221Vx 2 k因因：为什么研究线性谐振子为什么研究线性谐振子 自然界广泛碰到简谐振动，自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小任何体系在平衡位置附近的小振动，振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐分解成若干彼此独立的一维简谐振动振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简。简谐振动往往还作为复

42、杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子例如双原子分子，两原子间的势，两原子间的势V是二者相对距离是二者相对距离x的函数的函数，如图所示。在，如图所示。在 x = a 处处,V 有一极小值有一极小值V0 。在。在 x = a 附近势附近势可以展开成泰勒级数：可以展开成泰勒级数： 222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxaxaxV(x)0V00)(0 axxVVaV2220)(!21axxVVax 20)(21axkV axxVk 22其其中中：2222121)(xmkxx

43、U粒子势能为粒子势能为22222d12d2mxEmx2222222d20dmEmxx222d0d,mxxa2E根据定态薛定谔方程：根据定态薛定谔方程： 令令其中其中: :k或或 是常数的体系称为线性谐振子。是常数的体系称为线性谐振子。当当时时 (） ，方程变为：，方程变为：dd222 .其近似解：其近似解： ( ) e.122由波函数的标准化条件：当由波函数的标准化条件：当时，时，有限有限 2/22/122ecec所以因此，因此，c c2 2=0=0 2/2 e 因整个波函数尚未归一化，所以因整个波函数尚未归一化，所以c c1 1可以令其等于可以令其等于1 1。其中其中 H() H() 必须满

44、足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即： 当当有限时，有限时，H()H()有限；有限； 当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证()0 ()0 (边界条件）边界条件）2/2)()( eH将将()表达式代入无量纲表达式代入无量纲化后的方程得到函数化后的方程得到函数 H()所满足的方程：所满足的方程：渐近形式，我们令：在无穷远处有的波函数为了使方程2/22220eddH()H()满足的方程满足的方程0) 1(222HddHdHd写为写为2. Hermitian多项式多项式 可以用级数法求解可以用级数法求解H()的方程，结果发现：只要的方程，

45、结果发现：只要H()是是“真真”无穷级数，那么在无穷级数，那么在x的时候的时候H()就就 e ,仍然使仍然使()发散。发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止中止” 或或“退化退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。 设要求设要求H()是是的的n次多项式，那么就必须让次多项式，那么就必须让 =2n+1 n=0,1,2,3 得到能量本征值：得到能量本征值：.3 , 2 , 1 , 0,21nnEn0)1(2 HHH )2(E)(.602222nnnnHddHdHd 其解为其解为:)(ee)()(7122 n

46、nnnddH它称为它称为n次厄密（次厄密（Hermitian）多项式。）多项式。.12016032,124816,128, 24,2, 1355244332210HHHHHH头五个头五个Hermitian多项式是多项式是:现在现在H()的方程成为的方程成为： 对应的波函数是：对应的波函数是： )(e)(e)()(2222121 a aa a a a xnnnnnxHNHNxNn是归一化常数，利用特殊积分是归一化常数，利用特殊积分 e,xdx2可得可得 Nnnna2!.3. 3. 线性谐振子的能级和波函数线性谐振子的能级和波函数线性谐振子的能级线性谐振子的能级：, 3 , 2 , 1 , 0,2

47、1nnEna. 能量能量), 2 , 1 , 0()21( nnEn 能量量子化、能量量子化、 能级等间距。能级等间距。 能量间隔能量间隔 h h （与黑体辐射理论同）（与黑体辐射理论同）E0E4E3E1E2 E0 0 零点能零点能: :E0124 4 几点讨论：几点讨论：22212/10)()(xexa a a a 22212/11)(2)2()(xexxa aa a a a b. 波函数波函数，22212/1)()!2()(xnnexHnnxa aa a a a 存在递推公式存在递推公式 111122nnnnnxxxxa 11d1( )( )d22nnnnnxxxxac.几率分布几率分布:

48、 经典力学：在经典力学：在到到+d之间的区域内找到质点的几率之间的区域内找到质点的几率 () d与质点在此区域内逗留的时间与质点在此区域内逗留的时间dt成比例成比例Tdtd)(T是振动周期。因此有是振动周期。因此有vtdtdT11)(即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，=a sin(t+ ) ,在在点的速度为点的速度为2122)1 ()cos(aatadtdvd2122)/1(a所以，几率密度与所以，几率密度与成比例成比例经典经典量子量子 量子量子:概率密度呈波动状概率密度呈波动状, 在基态在基态n=0时，时，x=0处粒子出现

49、概率最大。处粒子出现概率最大。 经典经典: : 当当 n 时：时：量子概率分布量子概率分布 经典分布经典分布 11(x) 2量量子子经经典典n=11n=11时的概率密度分布时的概率密度分布EU量子量子经典经典211)(x x x=0=0处粒子速度处粒子速度最大，最大，“概率概率”最小。最小。 U(x)xoa 0U x00,xaxxa根据定态薛定谔方程：根据定态薛定谔方程： 222d2dU xEmx sinxAkxd解得解得222d20dmExax 0（ ）222mEk利用边界条件利用边界条件 000asin0sin0AAkadd0 ,d (1,2,)kann体系的能量体系的能量22222nEn

50、ma(1,2,)n 波函数波函数 sinnnnxAxa归一化归一化 2sin(0)0(0,)nnxxaxaaxxa得得*2021d,2annnnaxAAa 所所 以以基态波函数基态波函数 12sinxxaa用动量本征函数展开用动量本征函数展开 所所 以以 i111e( )( )d( )d2pxpxcpxpcpp *11ii()i()( )( )d2esind211e1e12ppxppaaaacpxxpxpaappaaa xoa212649c将前者的基态波函数用后者本征函数用后者展开将前者的基态波函数用后者本征函数用后者展开所以所以 1nnxcx 211122222d2sinsind22228c

51、oscosd23aaaaaacxxxxxxaaaxxxaaa二、二、(1)(1)坐标的期望值坐标的期望值2w同同 理：理： 粒子处于处的概率密度粒子处于处的概率密度 2dd d dxxxx y z所以所以 量子态的平均值（力学量量子态的平均值（力学量F F在在 态中的平态中的平均值）称为期望值。均值）称为期望值。d d dyyx y zd d dzzx y z(2)(2)势能期望值势能期望值 *dVxVx (3)(3)动量的期望值动量的期望值 2dpxp粒子动量概率密度粒子动量概率密度 2p i3 21ed2p xpxx 粒子动量期望值粒子动量期望值 2*ddppp ppppp x分量：（以一

52、维情况为例）分量：（以一维情况为例） 其中其中 例例 ,FFrpFri角动量角动量 Lrp角动量算符角动量算符 iLrpr 如果量子力学中的力学量如果量子力学中的力学量F在经典力在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符量的算符 由经典表示式由经典表示式F( (r, ,p) )中将中将r,p换成相应的算符而构成。换成相应的算符而构成。 F2 2基本性质基本性质 其中其中为任意函数为任意函数, ,则称两算符相等则称两算符相等, ,即即1 1定义定义 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号的运算符号 （1 1

53、）算符相等）算符相等FGFGI（2 2）单位算符）单位算符IF如果两算符如果两算符 满足满足,F G作用到任意函数作用到任意函数上上, ,不变不变（3 3）算符之和）算符之和FGFG满足：满足： FGGFFGKFGK加法交换律加法交换律 加法结合律加法结合律 （4 4）算符乘积）算符乘积FGFGFGGF一般一般 , ,则称二者不对易。则称二者不对易。 则称两算符对易。则称两算符对易。 FGGF若若 , 为任意函数为任意函数,即即 ,()0F GFGGF两算符与之和定义为两算符与之和定义为两算符与之积定义为两算符与之积定义为则称两算符反对易。则称两算符反对易。 FGGF 若若 ,为任意函数为任意

54、函数,即即,()0F GFGGF（5 5）逆算符）逆算符1F或或 如果两算符满足如果两算符满足 FGI则称两者互为逆算符则称两者互为逆算符. .记记 11,GF FG且有且有 GFIFF设设 能唯一的解出能唯一的解出, ,则定义则定义 的逆算符为的逆算符为（6 6）算符的转置、复共轭及厄米共轭）算符的转置、复共轭及厄米共轭 量子系统任意两波函数的标积：量子系统任意两波函数的标积： *,d *11221122*11221122,0,( ,)( ,)( ,)(,)(,)(,)cccccccc 性质性质: :算符的转置算符算符的转置算符 *ddFF*,FF或或厄米共轭算符厄米共轭算符*FF*dddd

55、FFFF,FF *,FFFFF 或或 因因,为任意函数为任意函数, ,于是于是 （7 7）幺正算符：）幺正算符：1FF F FFFI 若若 或或 , ,则则称为么正算符。称为么正算符。 （8 8）算符的函数）算符的函数()0(0)()!nnnff FFn其中其中( )( )( )nnnfxf xx( ,)0(0,0)(,)!n mnmnff F GF Gn m( ,)( ,)( ,)nmn mnmfx yf x yxy（9 9）线性算符）线性算符11221122()F ccc Fc F满足运算规则满足运算规则的算符的算符 称为线性算符，称为线性算符，c1 1，c2 2是任意常数。是任意常数。

56、F（1010）厄米算符）厄米算符 FGG F可以证明可以证明: :,FF FF 若若 , ,即即 , ,则称则称为厄米算符为厄米算符 例例 动量算符动量算符 是线性算符是线性算符ip 注：注：期望值为实数的算符必为厄米算符。期望值为实数的算符必为厄米算符。 厄米算符的期望值都是实数。厄米算符的期望值都是实数。*dddFFFF*ddFFFF所以所以 是实数。是实数。 注：注：厄米算符的本征值必为实数。厄米算符的本征值必为实数。 ,F 设设 *ddFF 因为因为 *所以所以*dd , 则有则有 3 3算符的本征值方程算符的本征值方程 F则称则称为为 的本征值，的本征值， 为属于为属于的本征函数，的

57、本征函数，上述方程称为算符上述方程称为算符 的本征值方程。的本征值方程。FF 如果算符如果算符 作用于一个函数作用于一个函数 ，结果等于，结果等于乘上一个常数乘上一个常数乘上这个函数乘上这个函数 ，即即Fip 本征值方程：本征值方程： ipprpr 三个分量方程：三个分量方程： ipxppxipyppyipzppz解之得解之得 iep rprC iLrpr 直角分量：直角分量： 角动量平方算符：角动量平方算符： 22222222xyzLLLLyzzxxyzyxzyxixzyLypzpyzzyiyxzLzpxpzxxzizyxLxpypxyyx在球坐标系中：在球坐标系中： sincossinsi

58、ncosxryrzrqqq2222costanrxyzzryxqrxrxxxryryyyrzrzzzqqqqqq zxyOz(, , )Pxyzyxrq222222sin2cotcossinxLqq q 2222222cotcos(cotcsc)sincoscotcosqqqqq2222222222222cos2cotsincoscotsin(cotcsc)sincoscotsinyLqq qqqqqq 2222zL 2222xyzLLLL222211(sin)sinsinqqqqq 角动量平方算符的本征函数和本征值角动量平方算符的本征函数和本征值 2222211(sin),sinsinq q

59、 q qqqq分离变量分离变量 , q q 代入上式，再乘以代入上式，再乘以 ，得，得 2sinq222sindd1 d(sin)sin(dddqqqqq 数）常220dd由由 所以所以, ,角动量动量平方算符的本征函数角动量动量平方算符的本征函数球谐函数球谐函数iY,( 1)PcosemmmlmlmlNq q 由归一化条件：由归一化条件： !214!lmlmlNlmi()!21Y,P(cos )e4()!mmlmllmllmq q角动量平方算符的本征值：角动量平方算符的本征值： 22Y,(1)Y,lmlmLllq q 角动量角动量z分量算符的本征函数和本征值：分量算符的本征函数和本征值： Y

60、,Y,zlmlmLmq q (0,1,)ml(0,1, 2,)l 注：注： 角动量平方、角动量角动量平方、角动量z分量算符的本征值分量算符的本征值22(1)Ll lzLm(0,1,)ml(0,1, 2,)l 对应于对应于 的一个本征值：的一个本征值：2L2) 1(， ll有有2 2l+1+1个不同的本征函数，称为个不同的本征函数，称为2 2l+1+1度简并的，度简并的， l称角量子数，称角量子数，m称磁量子数。称磁量子数。 封闭性：封闭性： *01Y (,)Y ( , )()sinllmlmlmlq q qqq 1() coscossinqqqqq1.1.定义：定义：如果两函数满足如果两函数满