冲击响应和阶跃响应

1、1. 冲击响应冲击响应定义：系统的冲击响应就是电路系统在冲击信定义：系统的冲击响应就是电路系统在冲击信号激励下产生的零状态响应。即号激励下产生的零状态响应。即: :(1) )()()()()()()()(0) 1 (1) 1(1)(0) 1 (1) 1(1)(tbtbtbtbtyatyatyatymmmmnnn0)0(0)0(, 0)0(, 0)0() 1()2() 1 (nyyyy 因为只有在因为只有在t=0t=0时时,（t t）才对电路系统作）才对电路系统作用，所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮用，所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮能元件进行能量存贮，即为等效初始条件，在能元件进行

2、能量存贮，即为等效初始条件，在t t0 0时，由该等效初始条件引起电路产生的等效时，由该等效初始条件引起电路产生的等效零输入响应。即：零输入响应。即：0)()()()(0) 1 (1) 1(1)(tyatyatyatynnn)0()0(),0(),0()1()2()1(nyyyy2. h(t)求法求法例例: :已知电路如图，已知电路如图，iL(0-)=0 , ,求求iL(t)解：（解：（1 1）建立电路方程：）建立电路方程：)()()(ttutuRc0)0()()()(:LLLittRidttdiL即(1)(1)直接法直接法: : （等效初始条件法）（等效初始条件法）000000)()()(d

3、ttdttRidtdttdiLLL1)0()0(LLiiLLiL1)0(LitRidttdiLLLL1)0(0)()(2) (2) 将其转换为等效零输入响应：将其转换为等效零输入响应：1( )( ) (3)intiih tAeU t（3 3）求解：三要素法得：）求解：三要素法得：)(1)0()(tUeLeitittLL(2)(2)比较系数法比较系数法 因为由电路系统的（因为由电路系统的（1 1）问题转为（）问题转为（2 2）问题，电路系统的）问题，电路系统的解应具有相同的函数形式，一般解应具有相同的函数形式，一般（1 1） 对于对于n nm m时，若电路系统方程的特征根互异，则由此时，若电路系

4、统方程的特征根互异，则由此得冲击响应为得冲击响应为（2）n=m时，若特征根互异：时，若特征根互异： 1( )( )( ) (4)intmiih tbtAeU t（3）n0，U(t) 0. 系统的阶跃响系统的阶跃响应是求解非齐次方程（应是求解非齐次方程（0初条），它应包括齐次方程通解初条），它应包括齐次方程通解和非齐次特解。定义式可得：和非齐次特解。定义式可得：)()(00tUabtgP)2(tdhtg0)()(强迫响应：强迫响应：(2)求阶跃响应的常用方法求阶跃响应的常用方法（1）由）由h(t) g(t)(t), nitihtUeAtgi1)()()( 故故010( )()( )intiibg

5、 tA eU ta由此可采用求冲击响应类似的方法，求得由此可采用求冲击响应类似的方法，求得 g(t)(1)(1)线性性（即迭加性和均匀性）线性性（即迭加性和均匀性）定理定理1 1：线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的：线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的：a.a.响应的可分解性：电路与系统的响应可以分解为零输入响响应的可分解性：电路与系统的响应可以分解为零输入响应，零状态响应。应，零状态响应。( )( )( )zpzsy tytytb.b.零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。各激励信号呈线性。c.c.零输

6、入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对应各起零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对应各起始状态呈线性。始状态呈线性。3. LTI电路系统的基本性质电路系统的基本性质（1 1）当系统同时存在）当系统同时存在n n个激励时，系统的完全响应对于某个激励时，系统的完全响应对于某个单独的激励不呈线性关系，而是对全部的激励呈线性个单独的激励不呈线性关系，而是对全部的激励呈线性关系。关系。（2 2）在这种叠加解法中，已经将各起始状态的作用也视）在这种叠加解法中，已经将各起始状态的作用也视为系统的激励，所以它与第二章中端口线性定义是一致为系统的激励，所以它与第二章中端口线性定义是一致的。也就是说，可以

7、根据上述三条来定义线性系统。的。也就是说，可以根据上述三条来定义线性系统。（3 3）全响应是零输入与零状态的线性组成，它既不是激）全响应是零输入与零状态的线性组成，它既不是激励的线性函数，也不是初态的线性函数，而仅能是零输励的线性函数，也不是初态的线性函数，而仅能是零输入线性，零状态线性。入线性，零状态线性。我们对第二条进行证明我们对第二条进行证明 设一阶电路方程为设一阶电路方程为0)0()()(1)(ytxtydttdy（1）叠加性）叠加性 若若x1(t)，x2(t)分别激励系统时，相应的零状态响应为分别激励系统时，相应的零状态响应为y1(t)和和y2(t)，它们应当满足方程（，它们应当满足

8、方程（1）（1）0)0()()(1)(1111ytxtydttdy0)0()()(1)(2222ytxtydttdy（2）（3）将上两式相加得：将上两式相加得：)()()()(1)()(212121txtxtytytytydtd0)0 ()0 (21yy（4）如果在如果在t=0时，在电路中的相同位置上，同时加入时，在电路中的相同位置上，同时加入x1(t)+x2(t)，则相应的零状态响应为则相应的零状态响应为y(t)，则必然有，则必然有0)0()()()(1)(21ytxtxtydttdy根据微分方程的唯一性充分条件，式（根据微分方程的唯一性充分条件，式（4 4）和（）和（5 5）中，初始）中，

9、初始状态和激励相同，而状态和激励相同，而1/ 1/ 仅决定于电路结构和元件参数，仅决定于电路结构和元件参数，也应是相同的。所以其解也必然相同。也应是相同的。所以其解也必然相同。（5）这就是说线性时不变电路与系统对于激励具有叠加性。这就是说线性时不变电路与系统对于激励具有叠加性。（2）若在上述同一电路的相同位置，）若在上述同一电路的相同位置，t=0时接入激励时接入激励x1(t) 是实数，相应的零状态响应为是实数，相应的零状态响应为y3(t)，则：，则：0)0()()(1)(3133ytxtydttdy（6）而如果用而如果用 同时乘方程（同时乘方程（2 2）的两边，则得：）的两边，则得：)0)0(

10、0)0()()(1)(11111yytxtydttdy（7）于是：于是：y(t)=y1(t)+y2(t)根据微分方程解的唯一性充分条件，比较（根据微分方程解的唯一性充分条件，比较（6 6）（）（7 7）两式得：）两式得：)()(13tyty这就是说线性时不变电路系统的零状态响应对激励具有均匀性。这就是说线性时不变电路系统的零状态响应对激励具有均匀性。 由于既满足叠加性，又满足均匀性，所以线性时不变电路由于既满足叠加性，又满足均匀性，所以线性时不变电路系统的零状态响应对各激励信号呈线性。系统的零状态响应对各激励信号呈线性。同时也可以证明另两条。也可推到线性时变系统。同时也可以证明另两条。也可推到

11、线性时变系统。这个线性系统的性质具有非常重要的意义。这个线性系统的性质具有非常重要的意义。(2).延时不变性：延时不变性： （定常特性）（定常特性）定理定理2：若线性时不变系统，输入为若线性时不变系统，输入为f(t)时，引起的响应为时，引起的响应为y(t),则则输入为输入为 f(t-) 时，引起的响应为时，引起的响应为 y(t-) 。这就是说，响应的波。这就是说，响应的波形与输入的时间无关，仅是起点改变。即若形与输入的时间无关，仅是起点改变。即若f(t) yzs(t)，则，则)()(tytfzs(3).微分特性：微分特性：定理定理3： 若线性时不变系统在激励若线性时不变系统在激励f(t)作用下

12、，产生零状态响应为作用下，产生零状态响应为yzs(t)，则当激励为，则当激励为 f (t) 时，其响应为时，其响应为y(t) f(t) 零状态yzs(t)(tfdtd)(tydtd证明：因为证明：因为 f(t) y(t) 根据延时不变性：根据延时不变性：f(tt) y(t t) 又因为系统具有叠加性和均匀性：又因为系统具有叠加性和均匀性：( )()( )()f tf tty ty tttt根据导数的定义有：根据导数的定义有：)()()(lim)()()(limtydtdtttytytfdtdtttftftt)(tfdtd)(tydtd证毕。证毕。推论：推论：（1 1）这个特性可以推广至高阶导数

13、和积分。）这个特性可以推广至高阶导数和积分。（2 2）对几个典型的信号有：）对几个典型的信号有：( )( )( )( )dU ttdtd tU tU tdt( )( )( )( )dg th tdtdytg tdt斜(4).(4).因果特性：因果特性：a.a.因果系统：如果因果系统：如果t t0 0时，系统的激励信号为时，系统的激励信号为0 0，相应的输出，相应的输出响应在响应在t t0时也等于时也等于0 0，则这样的系统称为因果系统。，则这样的系统称为因果系统。b.b.因果特性：因果系统的激励是产生响应的原因，响应是激因果特性：因果系统的激励是产生响应的原因，响应是激励引起的效果，或者说系统

14、没有预知未来的能力，只有在励引起的效果，或者说系统没有预知未来的能力，只有在激励加入后，才有响应输出，这种特性叫系统的因果特性。激励加入后，才有响应输出，这种特性叫系统的因果特性。 一切物理可实现系统都是因果系统，都具有因果特性。一切物理可实现系统都是因果系统，都具有因果特性。由常系数微分方程描述的系统都是因果系统，都满足由常系数微分方程描述的系统都是因果系统，都满足因果性，因此，因果系统的充分必要条件是：因果性，因此，因果系统的充分必要条件是： h(t)=0 (t0) g(t)=0 (t0)例：某例：某LTIS，在相同的初始状态下，输入，在相同的初始状态下，输入试求试求：（：（1）初态加大一倍，输入为）初态加大一倍，输入为f(t)/2 ，系统响应，系统响应 （2）初态不变，输入为）初态不变，输入为f(t-t0)时，系统响应时，系统响应解：解： 设在相同初态和设在相同初态和f(t)作用下，作用下，33( )( )(2sin2 ) ( )( ) 2( )(2sin2