非欧几何(要)

1、数学史数学史 非欧几何非欧几何 主讲：陈朝哲主讲：陈朝哲组员：刁素兰、陈兴勇、郑茂涌、组员：刁素兰、陈兴勇、郑茂涌、 方浩东、谢常平、方浩东、谢常平、 叶梦晖、叶梦晖、 李健标李健标非欧几何的发展史非欧几何的发展史一、第五公设的思考探索一、第五公设的思考探索二、非欧几何的萌芽二、非欧几何的萌芽三、非欧几何的产生三、非欧几何的产生四、非欧几何的发展四、非欧几何的发展非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。

2、非欧几里得几何非欧几里得几何非欧几何的萌芽非欧几何的萌芽非欧几何的产生与著名的欧几里得第五公设密切相关，它是数学家们为解决这个问题而进行长期努力的结果。非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊数学家的欧几里得的几何原本其中公设五是欧几里得自己提出的。“第五公设”：“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”、这一公设引起了广泛的讨论第五公设的思考探究第五公设的思考探究数学家们主要沿2条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9条公理、公设推导出平行公设来。沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是17

3、95年苏格兰数学家普雷菲尔给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理，古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就陈述过它然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫(约公元150年)做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是普雷菲尔公设最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧式几何一样正确的新几何学的是高斯。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在

4、书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。 非欧几何的诞生非欧几何的诞生C.F. Gauss是 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。他有数学王子的美誉，并被誉为历史上最伟大的数学家之一 。高斯的简介高斯的简介高斯的贡献高斯的贡献高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人，早在1792年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立1794年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几

5、何。罗巴切夫斯基几何得来的背景罗巴切夫斯基几何得来的背景自从欧几里得提出第五公设（同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交以来），一些数学家在思考第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。罗巴切夫斯基的贡献罗巴切夫斯基的贡献 罗巴切夫斯基的第一篇关于非欧几何的论文：几何学原理及平行线定理严格证明的摘要。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。 这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对。在创立和发展非欧几何

6、的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他的工作。罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 俄国俄国（17921856 ）罗巴切夫斯基的成就罗巴切夫斯基的成就1、论几何学基础，以后又有补充。2、平行线理论的几何研究等一系列非欧几何论文。由于当时还没有找到这种几何的实际应用，所以他称他的新几何为”想象的几何学”，“虚几何学”。3、后来他双目失明，却以口授写出一部他的几何的完全的新的说明，并于1855年以书名泛几何出版，今天称为“罗巴切夫斯基几何“。罗巴切夫斯基定理罗巴切夫斯基定理欧式几何：同一直线的垂线和斜线相交。垂直于同一直线的两条直线互相平行。

7、存在相似的多边形。过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。罗氏几何：同一直线的垂线和斜线不一定相交。垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。不存在相似的多边形。过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。鲍耶的贡献鲍耶的贡献非欧定理非欧定理 几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲数学家鲍耶法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形

8、式发表了研究结果。 黎曼，德国数学家，物理学家 。黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。但他的理论仍难被同时代人理解。据说他在哥延根大学的演讲只有年迈的高斯听得懂。黎曼的贡献黎曼的贡献 1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改学数学。1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下。两年后他回到哥廷根。后开创了黎曼积分。黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一

9、篇论文论几何学作为基础的假设中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。黎曼几何黎曼几何近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。 19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。 非欧几何的发展非欧几何的发展23非欧几何的意义：非欧几何的意义：（1）是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它把人从传统的思想束缚中解放出来