专题圆锥曲线中的最值与范围问题

1、高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。一求距离的最值或范围：例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为 ，解析：抛物线y=x2的焦点为F（0 ，），准线为y=，过A、B、M准线y=的垂线，垂足分别是A1、B1、M1，则所求的距离d=MM1+=(AA1+BB1) +=(AF+BF) +AB+=×4+=,当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小值，评注：灵

2、活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。练习：1、(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ）A. （，1） B. （，1）C. （1，2） D. （1，2）2、（2008安徽文）设椭圆其相应于焦点的准线方程为.（）求椭圆的方程；（）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：;（）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值解 ：（1）由题意得： 椭圆的方程为 (2)方法一： 由（1）知是椭圆的左焦点，离心率 设为椭圆的左准线。则 作，与轴交于点

3、H(如图) 点A在椭圆上 同理 。方法二： 当时，记，则 将其代入方程 得 设 ，则是此二次方程的两个根. .(1) 代入（1）式得 .(2) 当时， 仍满足（2）式。 （3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得 ， yO.Mx. 当时，取得最小值3、我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中， 如图，设点，是相应椭圆的焦点，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点(1)若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点求证：当取得最小值时，在点或处；（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标解：（1） ，于是，所求“果圆”方程为， （2

4、）设，则， ， 的最小值只能在或处取到 即当取得最小值时，在点或处 （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可 当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或4、已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x

5、2+(y-4)2 因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) 将代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，此时二求角的最值例2M，N分别是椭圆的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则MPN的最大值是 . 解析：不妨设l为椭圆的右准线，其方程是，点，直线PM和PN倾斜角分别为.于是 即MPN的最大值为.评注：审题时要注意把握MPN与PM和PN的倾斜角之间的内在联系.练习：1、已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两

6、点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。（1）解：依题意e ， a3，c2，b1， 又F1(0，2)，对应的准线方程为 椭圆中心在原点，所求方程为 (2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分直线l的斜率存在。 设直线l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l与椭圆交于不同的两点M、N，4k2m24(k29)(m29)0 即m2k290设 M(x1,y1),N(x2,y2) 把代入式中得，k或k直线l倾斜角三、求几何特征量代数和的最值例3.点M和F分别是椭圆上的动点和右焦点，定点B(2,2).求|MF|+|MB|的最小值

7、.求|MF|+|MB|的最小值.解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F(-4,0)，离心率e=，准线方程x=±.|MF| + |MB| = 10|MF | + |MB| =10（|MF|MB|）10|FB|=102. 故当M，B，F三点共线时，|MF|+|MB|取最小值102.过动点M作右准线x=的垂线，垂足为H，则.于是|MF|+|MB|=|MH|+|MB|HB|=.可见，当且仅当点B、M、H共线时，|MF|+|MB|取最小值.评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。练习：1、点P为双曲线的右支上一点，M，N

8、分别为和上的点，则PMPN的最大值为 .解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点和右焦点.对于双曲线右支上每一个确定的点P，连结PF1，并延长PF1交F1于点Mo.则PM0为适合条件的最大的PM，连结PF2,交F2于点No.则PN0为适合条件的最小的PN.于是故PMPN的最大值为6.评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.2已知e1，e2分别是共轭双曲线和的离心率，则e1+e2的最小值为 .解析： 考虑到，故得. 即e1+e2的最小值为.评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.3（2012年高考（山东文

9、）如图,椭圆的离心率为,直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.()求椭圆M的标准方程;() 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.解:(I) 矩形ABCD面积为8,即 由解得:,椭圆M的标准方程是. (II), 设,则, 由得. . 线段CD的方程为,线段AD的方程为. (1)不妨设点S在AD边上,T在CD边上,可知. 所以,则, 令,则 所以, 当且仅当时取得最大值,此时; (2)不妨设点S在AB边上,T在CD边上,此时, 因此,此时, 当时取得最大值; (3)不妨设点S在AB边上,T在BC边上,可知 由椭圆和矩形的对称性可知当时取得最

10、大值; 综上所述当和0时,取得最大值. 四、求面积的最值例4已知平面内的一个动点P到直线的距离与到定点的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C.求曲线C的方程；过原点O的直线l与曲线C交于M，N两点.求MAN面积的最大值.解析：设动点P到l的距离为d，由题意根据圆锥曲线统一定义，点P的轨迹C为椭圆., 可得 故椭圆C的方程为：若直线l存在斜率，设其方程为l与椭圆C的交点 将y=kx代入椭圆C的方程并整理得. 于是 又 点A到直线l的距离 故MAN的面积 从而 当k=0时，S2=1得S=1 当k>0时，S2<1得S<1 当k<0时， 得若直线l不存在斜率，则MN即为椭圆C

11、的短轴，所以MN=2. 于是MAN的面积.综上，MAN的最大值为.评注：本题将MAN的面积表示为l的斜率k的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。当然，也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程，由0求得面积S的最大值。练习：1（2012年高考（浙江理）如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.()求椭圆C的方程;() 求ABP的面积取最大时直线l的方程.【解析】 ()由题:; (1) 左焦点(c,0)到点P(2

12、,1)的距离为:. (2) 由(1) (2)可解得:. 所求椭圆C的方程为:. ()易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0. A,B在椭圆上, . 设直线AB的方程为l:y=(m0), 代入椭圆:. 显然. <m<且m0. 由上又有:=m,=. |AB|=|=. 点P(2,1)到直线l的距离为:. SABP=d|AB|=,其中<m<且m0. 利用导数解: 令, 则 当m=时,有(SABP)max. 此时直线l的方程. 2（2012年高考（广东理）(解析几何)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的离心率且椭圆上的点

13、到点的距离的最大值为3.()求椭圆的方程;()在椭圆上,是否存在点,使得直线:与圆:相交于不同的两点、,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.解析:()因为,所以,于是.设椭圆上任一点,则(). 当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得,与假设不符合,舍去. 当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得.于是,椭圆的方程是. ()圆心到直线的距离为,弦长,所以的面积为,于是.而是椭圆上的点,所以,即,于是,而,所以,所以,于是当时,取到最大值,此时取到最大值,此时,. 综上所述,椭圆上存在四个点、,使得直线与圆相交于不同的两点、,且的面积最大,且最大值为. 3已知

14、椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意b1，所求椭圆方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)当ABx轴时，|AB|.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得m2(k21)把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)33(k0)34.当且仅当9k2，即k±时等号成立当k0时，|AB|.综上所述，|AB|max2.当|AB|最

15、大时，AOB面积取最大值：Smax×|AB|max×.五.求最值条件下的曲线方程【例5】椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.（1）用直线的斜率k ( k0 ) 表示OAB的面积；（2）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。解：（1）设椭圆E的方程为( ab0 )，由e =a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（1，0）分向量的比为2， 即 由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直线l与椭圆E相交于A

16、（x1,y1）, B(x2,y2)两点得： 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB = （2）因SOAB=,当且仅当SOAB取得最大值此时 x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2将x1,x2及k2 = 代入得3b2 = 5 椭圆方程x2 + 3y2 = 5 练习：1.已知椭圆的焦点F1(3,0)、F2(3,0)且与直线xy+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.解法1：设椭圆为=1与直线方程xy+9=0联立并消去y得：(2 a2 9) x2 + 18 a2 x + 90 a2a4= 0， 由题设=(18 a2)24(2 a29) (90 a2a4) 0a454 a2

17、 + 405 0a245或a29.a29> 0, a245, 故amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆方程为.解法2：设椭圆=1与直线xy+9=0的公共点为M(acos,)，则acos+9=0有解.=9cos(+)=，|19a245, amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆的方程.解法3：先求得F1(3，0)关于直线xy+9=0的对称点F(9,6)，设直线xy+9=0与椭圆的一个交点为M，则2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF2|=6，于是(2a)min=6,此时易得： a2=45, b2=36，于是椭圆的方程为.评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径

18、寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活合理地运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。六、求参变量的取值范围：例6、如图，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列 (1)求该椭

19、圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围 解 (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3 故椭圆方程为=1 (2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|= 因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得(x1)+(x2)=2×,由此得出 x1+x2=8 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=4 (3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上 得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9×=0(x1x2)将 (k0)代入上式，得9×4+25y0()=0 (k0)即k=y0(当k=0时也成立) 由点P(4，y