CH条件异方差

1、时间序列分析时间序列分析自回归条件异方差条件异方差模型条件异方差模型l金融衍生市场，计算期权等衍生工具的价格需要了解股票的波动率l金融风险管理,度量金融风险的大小，计算VaR。l改进参数估计量的有效性，提高预测区间的精确度。llKrPxlxKrxPcttlttltt21)/ln(),()(条件异方差条件异方差l几个主要的条件异方差模型Engle(1982)ARCHBollerslev(1986)GARCHNelson(1991)EGARCH实证经验实证经验l波动率聚类性l波动是连续的，没有突然的跳跃l波动率不趋于无穷，在一定范围内变化 l波动率有杠杆效应 l名义利率。在名义利率水平比较高时，市

2、场的波动率也比较大 条件异方差模型条件异方差模型金融资产的收益率rt，t时刻前的信息为Ft1感兴趣的是收益率的条件均值和条件方差金融资产收益率的一个特征是日收益率不存在或只存在微弱的相关性，但是日收益率的平方存在相关性，即收益率序列不相关但是也不独立。)|(),|(121ttttttFrVarFrE条件异方差模型条件异方差模型建立关于收益率的条件均值和条件方差的模型)|()|(,1111ttttpiqiitiitittttFVarFrVarrcrARCH过程过程令v1, v2是独立高斯白噪声过程, 标准差为1 1,.)|(0.)|(1, 1ttttvvVarvvEARCH(q)ttth2211

3、0qtqtthVt是独立白噪声过程0 0, j O,j=1,q1,.)|(0.)|(1, 1ttttvvVarvvEARCH过程过程t 是ARCH(1)过程ttth2110tthARCH过程的性质过程的性质该过程表明,如果t-1异常的偏离他的条件期望0,那么t的条件方差要比通常情况下大, 所以有理由预期t会比较大.这样使得比较大,反之,如果t-1异常的小,那么条件方差要比通常情况下小,所以有理由预期t会比较小. 这样使得比较小. 虽然方差大或小会持续一端时间,但是不会一直持续下去,会回到无条件方差上去. ARCH过程性质过程性质边际期望和边际方差1022110211012211)()()()|

4、()()(0)()|()(ttttttttttttEEEFEEEVarvEhEFEEEARCH过程性质过程性质边际四阶矩E( 4t |F t1)3（01 2t-1）2E(4t)=m4=320 (1+1)/(1-1)(1-321)四阶矩是正的，所以必须有211/3无条件峰度= E(4t)/ E(2t)2 = 3 (1 -21)/(1-321)大于3，所以t的分布的尾巴比正态分布的尾巴厚。ARCH过程特点过程特点令带入ARCH(1)模型可以证明t是白噪声过程 2t的形式类似于AR(1)（因为我们没有证明t的方差是否有界。） tttttt2110221102tttttthE2212)(ARCH过程缺

5、点总结过程缺点总结l不能反应波动率的非对称特点l约束强，要求系数非负，如果要求高阶矩存在，还有更多的约束l不能解释为什么存在异方差，只是描述了条件异方差的行为。建立ARCH模型1）建立收益率序列的计量模型，去掉任何线性关系，使用估计的残差检验ARCH效果2）估计模型3）检验ARCH模型，根据情况修改模型。 建立模型建立模型1）建立一个计量模型ARCH过程最常见的应用是在回归模型。 tttXYtptpttYYcY.11建立模型建立模型检验残差是否存在条件异方差 l观察残差平方的偏自相关函数，如果q步截尾，则阶数为ql对残差平方使用Q检验，判断是否存在自相关l使用LM检验法LM检验检验tqtqtt

6、eee221102零假设H0：i =0， i=1,2,q，即不存在条件异方差性 检验统计量： LM=TR2 , T是样本点个数, LM服从2(q)分布 建立模型建立模型2）估计模型ttth22110qtptthTqtttthhL1221)ln(21)2ln(21)ln(tptpttYYcY.11建立模型建立模型3）检验模型 计算标准化后的残差et /ht1/2，根据定义应该独立同分布N(0,1)使用Q-检验法检验et /ht1/2是否有自相关使用Q检验法检验e2t /ht是否有自相关预测条件方差预测条件方差 条件方差等于2q2110qttth21210.) 1 (qTqTTh221022211

7、02.) 1 ()2(.qTqTTqTqTThhhARCH模型对条件方差的预测模型对条件方差的预测)(.) 1()(10qlhlhlhTqTT时间序列分析时间序列分析其他GARCH类模型GARCH（p,q）广义自回归条件异方差模型广义自回归条件异方差模型2211110qtqtptptthhkhttth211110ttthkhGARCH(1,1)GARCH性质性质1)当p=0时,成为ARCH过程,ARCH过程是GARCH的特例，这也是该过程被称为广义的原因。2)GARCH过程的含义是条件方差ht是ht-1,ht-p和 t-1, t-q的函数。3）参数i , i=1,2,q和i , i=1,2,p

8、大于零是保证条件方差为正的充分条件,而不是必要条件。4)2t平稳的条件是1+q+1+ p 0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负扰动要大；0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负扰动要小; =0同等程度的正扰动引起条件方差的变化与负扰动相等。 EGARCH模型模型1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后的条件方差建模，可以保证方差为对数。3）可以假设t广义误差分布4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2/)1/2TGARCH模型模型21t2211110bSqtqtptptthhkh0; 0, 11SStARCH-M模型模型tttthgXy)(g()是条件方差

9、的函数通常是ht ，ln ht ttth22110qtptthARCH-M模型的应用模型的应用条件CAPM模型11111111111)|()|()|()|()|()|()()(ittMttMtfttMttMtfttMtitfttitfMifirVarrERRErERRERRERRERRE其他异方差模型其他异方差模型lQARCH-quadratic ARCH二次自回归条件异方差lSTARCH-structural ARCH 结构自回归条件异方差lSWARCH-switching ARCH开关自回归条件异方差lQTARCH-quantitative threshold ARCH定量门限自回归条件异

10、方差lDaigonal ARCHlFactor ARCH 条件异方差模型条件异方差模型例题和演示例题例题 研究台湾新台币/美圆汇率。即1美圆=-台币。 数据区间1994：11，161995：3，8，每5分钟记录一次，共1341个样本点。问题：汇率是否是可预测的？汇率市场是否是不对称的？是否风险越大，要求的收益率越大？例题例题要回答问题1，需要采用AR模型，检验是否是一个随机游动；回答问题2和3要用到EGARCH模型；问题4用到ARCH-M模型。所以采用AR-EGARCH-M 例题例题首先介绍一些符号用St表示汇率。Rt=(ln St -ln St-1)*100是汇率的收益率 tttttthRR

11、RR3322110|)(|lnln1111110tttttEhhttth00.0080.068 H0: 0=01-0.625-3.479* H0: 1=02-0.1079-4.965* H0: 2=03-0.1055-5.37* H0: 3=0-0.0048-1.916* H0: =010.959463.266* H0: 1=0-0.3766-1.6553 H0: =000.2912-3.291* H0: 0=010.1196-2.683* H0: 1=0例题例题如何利用模型解决问题？ 汇率是否是可预测的？ H0： 1=0，2=0，3=0 汇率市场是否是不对称的？ H0: =0 是否风险越大，

12、要求的收益率越大 H0: =0 例例2：德国马克对美元汇率：德国马克对美元汇率DM=US/DM0.20.30.40.50.650010001500DMDLDM弱相关弱相关-0.04-0.020.000.020.040.0650010001500DLDMDLDM2相关相关0.0000.0010.0020.0030.00450010001500DLDM_PINGFACF OF DM非平稳非平稳0.930.940.950.960.970.980.9911.0112345678910 11 12 13 14 15系列1ACF OF DLDM平稳平稳-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.

13、040.060.0812345678910 11 12 13 14 15系列1ACF OF DLDM2拖尾拖尾00.020.040.060.080.10.120.140.1612345678910 11 12 13 14 15系列1Eviews操作操作ARCH1）Objects-new-equation得到一个窗口2）Method-arch得到一个窗口，可以输入ARCH类模型3）view-residual tests4)procs-make residual -make GARCH variance seriesARCH LM TESTlARCH(1)=21.77 0.000003lARCH(

14、6)=83.46 0.00000MAKE MODELS1)ARCH(6)2)GARCH(1,1)3)EGARCH(1,1)AR(3)-GARCH(1,1)Estimation resultsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. DLDM(-1)-0.075665 0.025038-3.0220730.0025DLDM(-2)0.046101 0.0236961.9455300.0517DLDM(-3)0.050276 0.0229632.1894870.0286 Variance EquationC 1.40E-06 3.65E-07 3.851059 0

15、.0001ARCH(1)0.1020880.0110519.2378930.0000GARCH(1)0.8793400.01358264.745270.0000Conditional stand. variance0.0000.0050.0100.0150.0200.02550010001500Some testVtQ(20)=0.177 Q(36)=0.151V2tQ(20)=0.75 Q(36)=0.39时间序列分析时间序列分析VaR和GARCH风险价值概念风险价值概念金融机构通常这样描述： 风险价值是一定数额的货币，是对未来的可能损失的估计。具体说是这样一个数额的货币，预期一个交易日后，

16、损失超过该数额货币的可能性是1% 风险价值概念风险价值概念某银行宣布，“只有1%的可能性，该银行的资产在一天内的损失会多于350万元。”要素：置信水平99%90； 时间长度：一天一年； 损失：用绝对损失或比率在99%的置信水平下，一天内他的资产的VaR是350万元。资产组合损失的可能取值损失的概率密度1Barings银行破产银行破产VaR分析分析-2头寸情况空头对敲（short straddle)策略:同时卖空35000份日经指数期货的看跌和看涨期权.如果市场稳定,那么可以获得巨额期权费,但是由于神户地震,日经指数一路下跌.期货组合:N.Leeson赌日经指数会反弹, 买入日经指数期货,卖空1

17、0年期日本国债期货.这两者负相关.Barings银行破产银行破产VaR分析分析-395%的概率对应的VaR期权组合的VaR =8.35亿美元空头跨坐策略的VaR=2200万美元总实际损失13亿美元总VaR=8.57亿美元Barings银行内部认为风险为0 方差协方差法方差协方差法 假设一个管理者有一个资产组合，该组合只有一种金融资产。 假设该资产的收益率服从正态分布，均值20，标准差30，当前该组合的价值为100(MILLION) 风险价值的计算风险价值的计算1）一年后该资产的价值的分布2）一年后损失超过20M的概率有多大，或者说一年后资产价值小于80M的概率有多大3）1的概率下的最大损失？即

18、VaR 一年后资产价格的分布一年后资产价格的分布一年以后资产价值P1=P0(1+R)分布是正态分布均值P0(1+0.2)=1.2*100=120M标准差P0*0.3=100*0.3=30M P1N(120,302) 问题问题2损失超过20M,即P1小于80M的概率p（P180）=p(Z(80-120)/30)=p(Z-1.333)=9.12% 问题问题3p(P1?)=1%P(z?)=1%-?=-2.33P1 120+30*(-2.33)=50.1损失为10050.149.91%显著水平下的风险价值为49.9，有1的可能性一年后的损失超过49.9M。 单个股票资产的单个股票资产的VaR 表示样本均值s表示样