独立性与二项分布(复习)

1、独立性与二项分布（复习） 例例2 设某种动物由出生而活到设某种动物由出生而活到20岁的概率为岁的概率为0.8，活到，活到25岁的岁的概率为概率为0.4，求现龄为，求现龄为20岁的这种动物活到岁的这种动物活到25岁的概率？岁的概率？ 解解 设设A=活到活到20岁岁，B=活到活到25岁岁，()0.4(|)0.5.( )0.8P ABP B AP A 则则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 于是所求概率为于是所求概率为 由于由于A B，有，有AB=B，因此，因此P(AB)= P(B)=0.4， 关于关于条件概率的计算条件概率的计算， 往往采用如下两种方法：往往采用如下两种方法： (1) 在缩减

2、的样本空间上直接计算。在缩减的样本空间上直接计算。 (2) 利用公式计算。利用公式计算。 定义定义1 设设A，B为随机试验为随机试验E 的两个事件，且的两个事件，且P(B)0，则称，则称()(|)()P ABP A BP B一、条件概率一、条件概率为在事件为在事件A已发生的条件下，事件已发生的条件下，事件B发生的条件概率发生的条件概率.注：条件概率与普通概率有相类似的性质：如：注：条件概率与普通概率有相类似的性质：如： 若若 BC，则，则P(BC)|A)= P(B|A)+ P(C|A). (|)1(|).P B AP B A 二、乘法公式二、乘法公式若若(B)0, 则则P(AB) = P(B)

3、P(A |B) 定理定理1 若若P(A1 A2 An-1)0，则，则 P(A1 A2 An) P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) P(An A1 A2 An-1).证证 反复应用两个事件的乘法公式，得到反复应用两个事件的乘法公式，得到1212112112211221211211122121()() (|)() (|) (|)() (|)(|) (|).nnnnnnnnnnnnnP A AAP A AAP AA AAP A AAP AA AAP AA AAP A P AAP AA AAP AA AA一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性 1. 定义定义 设设A、B二事件

4、，如果满足等式二事件，如果满足等式 P(AB) = P(A)P(B),则称则称A、B为相互独立的事件。为相互独立的事件。由定义得：必然事件由定义得：必然事件 及不可能事件与及不可能事件与任何事件都相互独立。任何事件都相互独立。2. 性质性质1) 若若P(A)0, P(B)0, 则则A和和B独立独立P(B|A)=P(B); P(A|B)=P(A)。)()()()(ABPBPABBPBAP)()()(BPAPBP( )1( )( ) ( ).P BP AP A P B所以所以A和和B相互独立相互独立它们主要被用于计算比较复杂事件的概率它们主要被用于计算比较复杂事件的概率. 不难发现，当事件相互独立

5、时，乘法公式变得十分简不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用单，因而也就特别重要和有用. 需要指出的是，不少复杂事件概率的计算需要上面所讲的需要指出的是，不少复杂事件概率的计算需要上面所讲的加法公式加法公式和和乘法公式乘法公式的的综合运用和推广综合运用和推广. . 这就是这就是下面将介绍的下面将介绍的我们介绍我们介绍了事件独立性的概念了事件独立性的概念.加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)( ( A、B互斥互斥) )乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)( ( P(A) 0) )综合运用综合运用6 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶

6、斯公式先看一个引例：先看一个引例： 由于由于 B1、B2、B3 两两互斥两两互斥 1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 21对求和中的每一项对求和中的每一项运用乘法公式运用乘法公式某人从中随机取一罐，某人从中随机取一罐，解解 记记 Bi = 球取自球取自 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; A = 取得红球取得红球 即即 A = AB1 + AB2 + AB3，显然显然 A 的发生总是伴随着的发生总是伴随着 B1，B2，B3 之一同时发生，之一同时发生，P( (A) ) = P( (AB1) )+P( (AB2) )+P( (AB3) )求取得红球的概率求取得红球的概率.3号装有号装有

7、2 红红 2 黑球黑球.2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，引例引例( (P27. 例例23) ) 三个罐子分别编号为三个罐子分别编号为 1, 2, 3， 31)|()(iiiBAPBP代入数据计算得：代入数据计算得：P( (A) ) 0.639 . 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概全概( (率率) )公式公式 .运用加法公式运用加法公式P( (A) )3再从中任意取出一球，再从中任意取出一球，依题意依题意: P( (A| |B1) )=2/3, P( (A| |B2 ) )=3/4, P( (A

8、| |B3 ) )=1/2,1/3且且 AB1、AB2、AB3 两两互斥两两互斥niiBAPAP1)()( 乘法公式乘法公式 )|()(1iiniBAPBP 设设 B1, B2, , Bn 是是 的一个的一个划分划分，,1 niiB一、全概率公式一、全概率公式:定义定义 ( (P26. 定义定义6) ) 若若 n 个事件个事件 B1, B2, , Bn 满足满足 jiBB则称则称 B1, B2, , Bn 为为 的一个的一个划分划分， 或称其是一个或称其是一个完备事件组完备事件组. 且且 P( (Bi) ) 0， i = 1, 2, , n , 对任一事件对任一事件 A ，显然显然 A = A

9、 niiBA1 niiBA1)( ,)( jijiBAABBB, ), 2, 1,(njiji , ), 2, 1,(njiji )(1iniBAP 两两互斥两两互斥 则则AB2B1B3Bn -1Bn定理定理1( (P26. Th3) ) 有有 niiiBAPBPAP1)|()()( 全概全概( (率率) )公式公式 全概率公式的来由全概率公式的来由, 不难由上式看出不难由上式看出:“全全”部概率部概率 P( (A) ) 被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算 P( (A) )不易不易, 但但 A

10、 总是伴随着某个总是伴随着某个Bi 出现出现. 适当地去构造划分适当地去构造划分 Bi 是解决问题的关键是解决问题的关键.适当地去构造划分适当地去构造划分 Bi第二步是在这个罐子里取到红球第二步是在这个罐子里取到红球, 转化到转化到将一个难求的概率将一个难求的概率 n 个容易求的概率上去个容易求的概率上去 如果如果 A 是由原因是由原因 Bi ( ( i = 1, 2, , n ) )所引所引起，起， 故故 A 发生的概率发生的概率是各原因是各原因引起引起 A 发生概率的总和发生概率的总和， 某一事件某一事件 A 的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因( (如如 n 个个) )，由于每一

11、原因都可能导致由于每一原因都可能导致 A 发生，发生，P( (ABi ) ) =P( (Bi ) )P( (A| |Bi ) )我们再换一个角度去理解全概率公式我们再换一个角度去理解全概率公式: :即有即有全概率公式全概率公式 .则则 Bi 导致导致 A 发生的概率是发生的概率是还可这样记忆全概公式还可这样记忆全概公式 随机试验的特点是需分两步才能完成：随机试验的特点是需分两步才能完成： 第一步是取一个罐子，第一步是取一个罐子， 随机试验随机试验 求取到红球的概率求取到红球的概率 第一步的所有第一步的所有n 种种取法就是所找的划分取法就是所找的划分 niiiniiBAPBPABPAP11)|(

12、)()()(求第二步发生情况的概率求第二步发生情况的概率 取到的概率为取到的概率为 P( (Bi ) )； 取到的概率为取到的概率为 P( (Bi| |A) ). 由乘法原理和加法原理即得全概公式由乘法原理和加法原理即得全概公式. 这这 n 个原因往往就是所找的划分个原因往往就是所找的划分 被两人击中而击落的概率为被两人击中而击落的概率为 0.6,求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率. 三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为 0.4、0.5、0.7 .若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落. 设设 A= 飞机被击落飞机被击落 ， 由由全概率公式全概率公式 P( (A) )= P

13、( (B1) )P( (A| |B1) )+ P( (B2) )P( (A| |B2) )+ P( (B3) )P( (A| |B3) )则则 A = AB1 + AB2 + AB3，解解依题意，依题意， P( (A| |B1) )= 0.2, P( (A| |B2) )= 0.6, P( (A| |B3) )= 1，例例1 三人同时对飞机进行三人同时对飞机进行射击射击, , 为求为求P( (Bi ) ) , 设设 Hi = 飞机被第飞机被第 i 人击中人击中 , i =1,2,3 可求得可求得:, )()(3213213211HHHHHHHHHPBP , )()(3213213212HHHHHHHHHPBP , )()(3213HHHPBP 将数据代入计算得将数据代入计算得: P( (B1) )=0.36， P( (B2) )=0.41， P( (B3) )=0.14 ， = 0.360.2 + 0.410.6 + 0.141