概率统计：D5-3课本习题答案与提示(13p)

1、1 . 设 X 是一随机变量,其数学期望方差 解解:即有(),E X由切比雪夫不等式有:2(),D X习题习题5 5 答案与提示答案与提示(13)(13)2218| 3 11.(3 )99PX (1000,0.5).XB| 3 .PX试用切比雪夫不等式估计2.事件A 发生的概率等于0.5,在每次试验中,试利用8| 3 .9PX切比雪夫不等式估计在1000次独立试验中, 事件A 发生的次数在400600次之间的概率.解解: 设在1000次独立试验中事件 A 发生的次数为 X ,则()10000.5500,E X ()10000.5 0.5250.D X 由切比雪夫不等式有概率至少在0.975以上

2、.3.服从相同的 100500100PX|500| 100PX且 相互独立, 400500500600500PX22501100 设随机变量序列12,nXXXLL分布,存在,试证明:对任意 0 有证证:且400600PX0.975.即在1000次独立试验中事件A发生次数在400至600次的2()0,(),iiE XD X4()iE X2211lim|1.niniPXn由于随机变量序列12,nXXXLL相互独立, 服从相同的分布,2()0,(),iiE XD X则有22()()()iiiE XD XEX2202,2422()()()iiiD XE XEX44().iE X221111()()nn

3、iiiiEXE Xnn2221111()()nniiiiDXD Xnn由切比雪夫不等式有：4421( ()in E Xn441( ().iE Xn221|niPXn22111|(|nniiiPXEXnn2121()1niiDXn 442()1iE Xn 由于442()lim(1)1,inE Xn所以2211lim|1.niniPXn证毕.21nn2.不断地对目标进行(500,0.1).XB()5000.1 0.945.D X 4. 若每次射击命中目标的概率为0.1,解解:求在500次设计中,()5000.150,E X 4955PX击中目标次数在49次至55次555049504545 5531

4、5 (0.75)1(0.15) 独立射击,的概率.设击中目标次数为随机变量 X , 则由拉普拉斯中心极限定理知(0.75)(0.15)1 0.77340.559610.333故在500次设计中,击中目标次数在49次至55次的概率约为0.333.求概率设随机变量(100,0.3),XB()1000.330,E X 所以因为5.2031.PX解：解：0.58710.98541(1,2,50)iX i 6.()1000.30.721.D X 0.5725.(100,0.3),XB由拉普拉斯中心极限定理知2031PX313020302121 2110 212121 (0.22)1(2.18) 设是相互

5、独立的随机变量, 且它们都服从参数为 = 0.03 的泊松分布, 记1250,YXXX试用中心极限定理计算3.P Y 解：解：(1,2,50)iX i 因为是相互独立的随机变量,且它们都服从参数为 = 0.03 的泊松分布,则()()0.3,iiE XD X1250,YXXX由独立同分布中心极限定理：505011( )()()500.031.5 .iiiiD YDXD X1.531.531.5111.51.51.5YP 505011( )()()500.031.5,iiiiE YEXE X313P YP Y 1( 1.5) 1(1.22) 10.8888 0.1112.设所有的取整误差是相互独

6、立的随机变量,计算机进行加法运算时, 0.5,0.57.并且都在区间上服从均匀分布.把每个数取为最接近于它的解：解：(1)2400个数相加时误差的总和的绝对值小于20的概率;最多有多少个数相加时可使误差总和的绝对值小于12,nXXX整数来计算,(2)10的概率大于0.9?设为进行加法运算时每个数的取整误差,则12,nXXX相互独立且在区间 0.5,0.5上服从均匀分布.则有0.5( 0.5)()0,2iE X 20.5( 0.5)1().1212iD X (1)2400240011()()240000,iiiiEXE X由独立同分布中心极限定理知2400个数相加时误差近似24001(0,200

7、).iiXN所以有2400240011| 20 2020iiiiPXPX24002400111()()2400200.12iiiiDXD X总和200200200200 2( 2)1 2(1.41)1 20.9207310.8415(2) 设n 个数相加时可使误差总和的绝对值小于10的概率大于0.9,则有11()()0,nniiiiEXE X由独立同分布中心极限定理知 n个数相加时误差近似1(0,).12niinXN所以有11| 10 1010nniiiiPXPX总和100100/12/12nn 102()10.9/12n 100.95,/12n21012()1.645n11()().12nn

8、iiiinDXD X101.645,/12n最多443个数相加可使误差总和的绝对对值小于10的概率大于0.9.443.4549,书末答案有误书末答案有误现有10000个这类人参加人寿保险,8.若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为0.005,(1)有40至50人死亡的概率;(2)则死亡人数不超过70人的概率.试求在未来一年中在这类保险者里面:解解:(10000,0.005).XB()100000.005 0.99549.75.D X 5050405049.7549.75 4050PX(1)由拉普拉斯中心极限定理有设参加保险的人中一年中死亡的人数为随机变量 X ,()100000.00550,

9、E X (0)( 1.42) 0.510.92220.4222即参加保险的10000人中一年内有40至50人死亡的概率约为0.4222 .(2)部件损坏的概率为0.1,70507049.75P X (2.84) 必须有85个以上的部件工作才能0.997785P X (100,0.9).XB()1000.990,E X ()1000.90.19.D X 9.设一个系统由100个互相独立起作用的部件组成,使整个系统工作. 求整个系统工作的概率.解解: 设该系统工作的部件数为随机变量X ,则185P X 859019 1( 1.67) 1 1(1.67) (1.67) 0.9525 ,即整个系统工作

10、的概率约为0.9525.由拉普拉斯中心极限定理有:即参加保险的10000人中一年中死亡人数不超过70人的概率约为0.9977.每个10.外线是相互独立的.求在一般情况下,03PX(200,0.01).XB()2000.012.E X ()2000.01 0.991.98,D X 每台电话机约有1%的概率使用外线,该单位使用外线的电话机的台数不超过3的概率.解解:设该单位使用外线的电话机台数为随机变量X ,则32021.981.98 (0.71)( 1.42) 0.6833 .即在一般情况下该单位使用外线的电话机的台数不超由拉普拉斯中心极限定理有:设某单位有200台内部电话机, 在一般情况下,若每台电话机是否使用过3的概率约为0.6833.(0.71)1(1.42) 0.76110.9222 1假设()kikE Xa11.证证:211nniiYXn12,nXXX相互独立且同分布,试证明当 n 充分大时,已知随机变量所以12,nXXX近似服从正态分布,相互独立,22().iE Xa并指出其分布参数.因为2422()()()iiiD XE XEX也相互242.aa2211