2刚体的基本运动1

1、 点作直线运动时点作直线运动时,若其速度为零若其速度为零,其加速度也为零其加速度也为零 点作曲线运动时点作曲线运动时,若其速度大小不变若其速度大小不变,加速度是否一定为零加速度是否一定为零答答:不一定不一定. . 速度为零时加速度不一定为零速度为零时加速度不一定为零( (自由落体上抛到顶点时自由落体上抛到顶点时) ) 加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度切向加速度和法向加速度的物理意义？切向加速度和法向加速度的物理意义？答：表示速度大小的变化率答：表示速度大小的变化率 表示速度方向的变化率表示速度方向的变化率dtdva 2van与

2、与 有何不同有何不同?dtvddtdv 合加速度合加速度, , 为速度的为速度的大小变化率大小变化率, ,在曲线中应为切向加速度在曲线中应为切向加速度 。adtvdadtdvdtdva 指出在下列情况下指出在下列情况下,点点M作何种运动作何种运动? , , , 0na常数a0a常数0a0na常数va, 0常数常数naa, 00na0a常数常数naa,(匀变速直线运动)(匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止)(直线运动)(匀速运动)(圆周运动)(匀速运动)(直线运动)(匀速曲线运动)(匀变速曲线运动)判断下列运动是否可能出现判断下列运动是否可能出现,若能出现判断是什么运动若能出现判断是什么运动?

3、?(加速运动加速运动) (不可能不可能) (匀速曲线运动匀速曲线运动) (不可能或改作不可能或改作 直线加速运动直线加速运动) (不可能或改作不可能或改作直线减速运动直线减速运动)(不可能不可能) (减速曲线运动减速曲线运动)刚体的平移刚体的平移 如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行。这种运动称为刚体的终与它的最初位置平行。这种运动称为刚体的平行移动平行移动，简称为简称为平移平移。1. 刚体的平移刚体平移的定义刚体平移的定义 平移的实例平移的实例 1.1.当刚体作平移时，刚体上所有各点的轨迹形状相同，当刚体作平移时，刚

4、体上所有各点的轨迹形状相同，并且位置平行。并且位置平行。说明说明：A1B1A2B2二、二、平移的特点平移的特点 2.2.当刚体作平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相当刚体作平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相 等，各点的加速度也相等。等，各点的加速度也相等。 刚体作平移时的特点刚体作平移时的特点1 1可由图说明。可由图说明。 刚体作平移时的特点刚体作平移时的特点2 2可证明如下：可证明如下：AOrBrABxzyBvAA上式再对时间上式再对时间t求导一次，即得求导一次，即得 故故 或或 ttABddddrrABvv ABaa 即，在每一瞬时，平移刚体即，在每一瞬时，平移刚体内任意两点的速度和加速

5、度内任意两点的速度和加速度分别相等。分别相等。AOrBrABxzyvBvAA1B1A2B20ddABt刚体平移时，刚体内任一线段刚体平移时，刚体内任一线段AB的长度和方向都保持不变。的长度和方向都保持不变。因而因而ABrrAB AB为刚体上任意一矢量，则有为刚体上任意一矢量，则有A综上所述，可以得出刚体平移的几个主要结论： 刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。 刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度 和和 加速度。加速度。 刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意 一点的运动分析。一点的运

6、动分析。在图示机构中，已知：在图示机构中，已知：O1A=O2B=l， O1O2=AB， AC=0.5BC。O1A，O2B 与三角板铰接，与三角板铰接， O1A匀角速度匀角速度 转动。转动。ABO1O2llMC试问：试问：(1). 三角板三角板ABC作什么运动？作什么运动？其角速度等于多少？其角速度等于多少？(2). 三角板三角板BC边中点边中点M的速度的速度和加速度各为多少？和加速度各为多少？ 思考题思考题 CvBvMvM=vB =raM=aB=r2答：答：(1). 因为三角板因为三角板ABC作平移运动，所以其角速度等于零。作平移运动，所以其角速度等于零。 (2). 三角板三角板ABC作平移运

7、动，点作平移运动，点M与点与点B有相同的速度和加速有相同的速度和加速 度。度。刚体的定轴转动刚体的定轴转动 当刚体运动时，如其上或者扩展部分有两点保持不动当刚体运动时，如其上或者扩展部分有两点保持不动，这种运动称为，这种运动称为刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动。通过这两个固定点的。通过这两个固定点的一条不动的轴线称为刚体的一条不动的轴线称为刚体的转轴转轴或者或者轴线，轴线，简称简称轴轴。 当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。 刚

8、体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点一、一、 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 这就是这就是刚体的定轴转动运动刚体的定轴转动运动方程方程。 如已知这个方程，则刚体在如已知这个方程，则刚体在任一瞬时的位置就可以确定。任一瞬时的位置就可以确定。)(tf 刚体的位置可由角刚体的位置可由角完全确定。角完全确定。角也称为也称为转角转角，当刚，当刚体转动时，体转动时，随时间随时间t t而变化，因而可表示为时间而变化，因而可表示为时间t的单值连的单值连续函数续函数三、转动规律三、转动规律1 1、转动方程、转动方程)(ddtft 转角转角对时间的导数，称为对时间的导数，称为刚体的角速度刚体的角速度，以，以表示。表示

9、。故有故有2. 角速度角速度工程中常用单位：工程中常用单位： n = 转转/分分(r / min)则则n与与 的关系为的关系为:)nnn(rad/s1030602)(:tf 则单位单位 rad/s 和和正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作加速转动；反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随体作加速转动；反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚体作减速转动。时间而减小，即刚体作减速转动。 )(dddd22tftt 角速度角速度对时间的导数，称为对时间的导数，称为角加速度角加速度，以以表示，表示，故有故有它表示单位时间内角速度的变化

10、。它表示单位时间内角速度的变化。3. 角加速度角加速度 其中积分常数其中积分常数0 和和0 是在初瞬时刚体的转角是在初瞬时刚体的转角和角速度角速度之值之值。 t020021tt)(20202 匀变速转动公式匀变速转动公式定轴转动刚体内各点的速定轴转动刚体内各点的速度和加速度度和加速度刚体内在平行于转轴刚体内在平行于转轴z的任一直线上，各点具有相等的速的任一直线上，各点具有相等的速度和相等的加速度，又各点的轨迹为同样大小的圆周，其圆心度和相等的加速度，又各点的轨迹为同样大小的圆周，其圆心都在转轴都在转轴z上。上。1 定轴转动刚体内各点的速度定轴转动刚体内各点的速度tRtsdddd 由于点由于点M

11、绕点绕点O作圆周运动，用自然法表示。点作圆周运动，用自然法表示。点M的弧坐弧坐标标 s=R，式中的式中的s和和取相同的正负号。对时间求导数，得取相同的正负号。对时间求导数，得xsyRMOvM0考虑到考虑到tvtsdd ,ddRv 故有定轴转动刚体内故有定轴转动刚体内 M 点的速度点的速度即即定轴转动刚体内任一点的速度定轴转动刚体内任一点的速度，等于等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积。该点的转动半径与刚体角速度的乘积。Rv xsyRMOvM0 在任一瞬时，定轴转动刚体内各点在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的速度与各点的转动半径成正比。平面的速度与各点的转动半径成正比。平面上各点的速度分布如图。上

12、各点的速度分布如图。即即，定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动半定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动半径与刚体角加速度的乘积径与刚体角加速度的乘积。式中。式中和和at具有相同的正负号具有相同的正负号。tRRttvadd)(ddddtRa t 点点M的加速度包含两部分：的加速度包含两部分：切向分量和法向分量。切向分量和法向分量。或或OaMvanat切向加速度切向加速度2.2.定轴转动刚体内各点的加速度定轴转动刚体内各点的加速度不难看出，当不难看出，当和和正负相同时，切向加速度正负相同时，切向加速度at和速度和速度v有相有相同的指向，这相当于加速转动；当同的指向，这相当于加

13、速转动；当和和正负不相同时，则正负不相同时，则at与与v有相反的指向，这相当于减速转动。有相反的指向，这相当于减速转动。 OaMvanatOaMvanat即，定轴转动刚体内任一点的法向加速度，等于该点转动半即，定轴转动刚体内任一点的法向加速度，等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积。法向加速径与刚体角速度平方的乘积。法向加速an恒向轨迹的曲率中恒向轨迹的曲率中心即圆心心即圆心O，因此也称为，因此也称为向心加速度向心加速度。 RRva22n)(2nRa 法向加速度法向加速度OaMvanat或或42222n2tRRaaa42 Ra总加速度总加速度它与半径它与半径MO的夹角的夹角（恒取正值恒取正值）

14、可可按下式求出按下式求出2nttanRRaa2tan或OaMvanat 但是，总加速度但是，总加速度a与转与转动半径所成的偏角，却与转动半径所成的偏角，却与转动半径无关，即动半径无关，即在任一瞬时，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速定轴转动刚体内各点的加速度对其转动半径的偏角度对其转动半径的偏角 都都相同相同；平面上各点加速度的；平面上各点加速度的分布如图。分布如图。 , 42 Ra 由上式可见，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的切向加由上式可见，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的切向加速度、法向加速度和总加速的大小都与各点的转动半径成正比。速度、法向加速度和总加速的大小都与各点的转动半径成正比

15、。2tan加速度的分布规律加速度的分布规律一一. .齿轮传动齿轮传动齿轮传动比齿轮传动比EFEFFEEFZZrriEFvv EEFFrr1.1.内啮合内啮合轮系的传动比轮系的传动比DCvv CDCDDCCDZZrri2.外啮合外啮合DDCCrr成正比2121 602nnn从动轮主动轮即121221212, 1:zzrrnni二二.皮带轮系传动皮带轮系传动BAvv BBAArrABBAABrri轮系的传动比轮系的传动比用矢积表示刚体上点的速度用矢积表示刚体上点的速度与加速度与加速度 沿刚体的转轴沿刚体的转轴z画出一个矢画出一个矢量量=k （其中其中k为轴为轴z的单位的单位矢矢），称为刚体的角速度

16、矢称为刚体的角速度矢。角速度矢角速度矢 定轴转动刚体的角速度矢定轴转动刚体的角速度矢被认为是滑动矢量，可以从转被认为是滑动矢量，可以从转轴上的任一点画出。轴上的任一点画出。 它的作用线表示出转轴的位它的作用线表示出转轴的位置，而它的模则以某一比例表示置，而它的模则以某一比例表示出角速度出角速度的绝对值。的绝对值。的指向的指向由右手规定决定。由右手规定决定。1. 用矢量表示角速度与角加速度 同样，可以用矢量同样，可以用矢量=k 表示刚体的角加速度，它也是表示刚体的角加速度，它也是滑动矢量，沿转轴滑动矢量，沿转轴z画出。它的画出。它的大小表示角加速度的模，它的大小表示角加速度的模，它的指向则决定于

17、指向则决定于的正负。的正负。kktddttddddkk角加速度矢角加速度矢 定轴转动刚体内任一点定轴转动刚体内任一点M的速度的速度v 的大小为的大小为 。由。由于于 ，因而，因而 Rv sinrR 。 sinrRv根 据 矢 积 的 定 义 ， 矢 积根 据 矢 积 的 定 义 ， 矢 积 r 的模也等于的模也等于 ，它的方向也，它的方向也与速度与速度v v的方向一致，故有矢积表达的方向一致，故有矢积表达式式sinrrv 定轴转动刚体内任一点的速度，定轴转动刚体内任一点的速度，可以由刚体的角速度矢与该点的矢径可以由刚体的角速度矢与该点的矢径的矢积来表示。的矢积来表示。2. 用矢积表示刚体上点的

18、速度 将上式左右两边对时间求矢导数。左端的导数为点将上式左右两边对时间求矢导数。左端的导数为点M的加的加速度，而右端的导数为速度，而右端的导数为 vrrrttddddtsinaRrr式中第一个矢积式中第一个矢积r的模为的模为rvO13. 用矢积表示刚体上点的加速度速度的矢积表达式速度的矢积表达式逐项分析逐项分析 这矢积垂直由转轴这矢积垂直由转轴z和转动和转动半径半径O1M决定的平面决定的平面 OO1M，它的指向与图中自点它的指向与图中自点O 画出的画出的矢量一致。可见，矢积矢量一致。可见，矢积r 按大小和方向都与点按大小和方向都与点M的切向的切向加速度加速度at相同相同。ratsinaRrr故有矢积表达式故有矢积表达式O1 这矢积同时垂直于刚体的转轴这矢积同时垂直于刚体的转轴和点和点M的速度的速度v，即沿点即沿点M的转动的转动半径半径R，并且按照右手规则它是由并且按照右手规则它是由点点M指向轴心指向轴心O1。可见，矢积。可见，矢积v 表示了点表示了点M的法向加速度的法向加速度an ，即有矢积表达式，即有矢积表达式vann2aRv第二个矢积第二个矢积v 模为模为O1于是，得点于是，得点M的总加速