晶体所有可能的对称组合

1、3232点群点群推导推导1 具有不多于一个高次轴的对称组合2 具有一个以上高次轴的对称组合3 具有一个以上高次轴的对称轴与对称面组合3232点群点群 在有限数目的晶体对称元素间存在着严格的组合规律，这将预示着晶体对称元素的可能组合数目也是有限的。 研究晶体多面体中晶面之间的关系，只需要研究在投影球面研究晶体多面体中晶面之间的关系，只需要研究在投影球面上一群点内部点与点之间的关系就足够了上一群点内部点与点之间的关系就足够了。因此，几何晶体学中每一个对称类型可以由具有特定对称关系的一群点所代替，这一群点充分表达了相应的对称类型的对称特征。从这个意义上，我们更习惯于将32个对称类型称为32个点群。

2、上一章我们讨论了有关对称元素组合的规律，这一章我们讨论晶体中一切可能点群的推导。10 unique 3-D symmetry elements: And possible combinations of these elementsTotally, point groups6, 4, 3,2,1 6; 4, 3, , 2 , 1mi3232点群点群晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体的对称类型 或 点群。一般来说，当强调对称要素时称对称类型，强调对称操作时称点群。因为对称类型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且操作时有一点不动，所以称为点群(与空间群对应)。（点群中，每一

3、个操作可作为一个群元素，操作的复合就相当于群元素与群元素的乘积，这样就可对点群中的操作进行运算）3232点群点群群是一组元素的集合,这些元素满足4个条件: (1)封闭性: a,b,c,d. ab=c, ac=b, bd=a. (2)结合律: (ab)c=a(bc) (3)单位元: ea=ae=a (4)逆元素: a的逆元素a-1, aa-1=e例如：所有的整数构成一个群-3,-2,-1,0,1,2,3。所对应的乘法为加和.对应对应到点群中，一个群元素就是一个对称操作。所对应的乘法到点群中，一个群元素就是一个对称操作。所对应的乘法是操作的复合是操作的复合. .例: 点群2/m (L2PC), 里

4、面有4个群元素: 验证封闭性:2/ 2, , 1, 1mm21, 2 1, 12mmm= = =因此A A类：只具有一个对称元素的组合类：只具有一个对称元素的组合(10(10个个) )极射赤平投影图请参考第四章B B类：一个类：一个2 2次轴与次轴与A A类的对称元素垂直相交（类的对称元素垂直相交（8 8个）个）B B类对称类型各点群的极射赤平投影图（类对称类型各点群的极射赤平投影图（8 8个）个）点群的推导点群的推导D D类：一个对称面与类：一个对称面与A A类的对称元素垂直相交（类的对称元素垂直相交（2 2个）个）D D类对称类型各点群的极射赤平投影图（类对称类型各点群的极射赤平投影图（2

5、 2个）个）E E类：两个对称面（一个垂直，一个平行）与类：两个对称面（一个垂直，一个平行）与A A类的对称元类的对称元素垂直相交（素垂直相交（3 3个）个）F F类：一个以上高次轴的组合（类：一个以上高次轴的组合（2 2个）个）按照晶体对称性原理，当体系内部有2个以上高次轴时，为了满足组合的封闭性（有限性），（即必须让对称轴的相交角度为一些特殊值，使得派生出的新对称轴的数目是有限的），对称轴的数目和相交夹角就具有一定的限制。可能存在的高次轴的组合只有下述2种： 1. L1. L4 4、L L3 3、L L2 2 2. L 2. L3 3、L L3 3、L L2 24次轴与3次轴夹角54448

6、，4次轴与2次轴夹角45，3次轴与2次轴的夹角351552,这种组合的最终对称元素为3L44L36L2，点群符号为43；由于4个三次轴的存在，此点群必须处于正交坐标系中，3个四次轴与坐标轴重合。点群点群4343立体图立体图一个一个4 4次轴、一个次轴、一个3 3次轴和一个次轴和一个2 2次轴的组合次轴的组合点群的推导点群的推导2. 2. 两个两个3 3次轴和一个次轴和一个2 2次轴的组合次轴的组合三次轴和三次轴夹角703144，三次轴与2次轴夹角54448，这种组合的最终具有对称元素为3L24L3，点群国际符号为23；（注意和点群32的区别）由于4个三次轴的存在，此点群必须处于正交坐标系中，3

7、个二次轴与坐标轴重合。点群点群2323空间立体图空间立体图两个两个3 3次轴和一个次轴和一个2 2次轴的组合次轴的组合G G类：一个以上高次轴与对称面的组合（类：一个以上高次轴与对称面的组合（3 3个）个）1.对称面和点群43的对称轴的组合： 对称面与同一个大圆上2个四次轴和2个二次轴同时平行相交，或者与2个三次轴、一个四次轴及1个二次轴同时平行相交，组合结果都派生出9个对称面；mm3这种组合的最终对称元素为3L44L36L29PC，点群符号为点群 空间立体图mm3 （1）点群23中两个2次轴与一个对称面平行相交：其结果是派生出3个对称面，组合的对称元素为3L24L33PC，点群符号为：m3点群点群 空间立体图空间立体图3m（2）点群23中2个三次轴、1个二次轴与一个对称面平行相交：结果是派生出6个对称