《圆锥曲线》单元测试题

1、圆锥曲线单元测试题班级 姓名 学号 分数第1卷（选择题共60分）、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）22若双曲线1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为B. 5D. 22、圆锥曲线y- +上;=1的离心率e=1,则a的值为（）9 a 十 825 一 5A.4B.4C.4或一4D ,以上均不正确3、以椭圆的右焦点 F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点 M、N,椭圆的左焦点为F1,且直线 MF1与此圆相切，则椭圆的离心率6为（）22224、已知双曲线a10 , a2b0,刃B么以上71与椭圆力71的离心率

2、互为倒数，其中a1、a2、b为边长的三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形5、设椭圆+ yj= 1（m0, n0）的右焦点与抛物线 y2=8x的焦点相同，离心率为 2,则此椭圆的方程为（=1+=1+48=1226、已知椭圆e：yr1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与l: y=kx+ 1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是（A . kx+ y + k= 0B. kx- y- 1 =0C . kx+ y k= 0D . kx+y-2=0cy27、过双曲线M: x2-点=1的左顶点A作斜率为1的直线l,l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点 B、C,且|AB|

3、=|BC|,则双曲线M的离心率是8、设直线l : 2x+y+ 2=0关于原点对称的直线为l ,若l与椭圆1的交点为A、1 一B,点P为椭圆上的动点，则使 PAB的面积为2的点P的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4229、设Fi、F2分别是椭圆 $+ #=1（ab0）的左、右焦点，与直线y=b相切的。F2交椭圆于点E,且E是直线EF1与OF2的切点，则椭圆的离心率为 （）10、如图所示，从双曲线x2-y2-= 1(a0, b0)的左焦点 F 引 a b圆x2+y2 = a2的切线，切点为 T,延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|- |MT|与ba的大

4、小关系为()A. |MO|-|MT|b-aB. |MO|MT|二b aC. |MO|MT|0)的离心率为 亚,过原点O斜率为1的直线与椭圆C相交于 a b2M, N两点，椭圆右焦点 F到直线l的距离为/2.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于 M, N外的一点，当直线 PM, PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为卜，直线PN的斜率为k2,试探究k1 k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.19、过点M(1,1)作直线与抛物线x2 = 2y交于A、B两点，该抛物线在 A、B两点处的两条切线交于点P.求点P的轨迹方程;求 ABP的面积的最小值.20、已知菱形 ABCD的顶

5、点A, C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为 1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线 AC的方程；(2)当/ ABC = 60 时，求菱形 ABCD面积的最大值.21、如图，在由圆 O: x2+y2=1 和椭圆 C: W+ y2=1(a1) a构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为坐,3直线l与圆。相切于点M,与椭圆C相交于两点A,B.求椭圆C的方程;- - 1 - C，.，、一一一 一 ,、一 ，、“I_.，.，(2)是否存在直线l,使得OAOB=；OM2,右存在，求此时直线 l的万程；右不存在,请说明理由.22、已知椭圆的两个焦点Fi(- V3, 0), F2O/

6、3, 0),过Fi且与坐标轴不平行的直线1i与椭圆相交于M, N两点，如果 MNF2的周长等于8.(1)求椭圆的方程；若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,试问在x轴上是否存在定点E(m,0),使PE QE恒为定值？若存在，求出 E的坐标及定值；若不存在，请说明理由.圆锥曲线单元测试题答案选择题:题号123456789101112答案ACABBDDBABDD二、填空题：X2 , 21。13、5 + y2=114、-215、3016、三、解答题：17、解析设 C、D 点坐标分别为 C(xo, yo), D(x, y),则 AC = (Xo+ 2, yo), AB =(4,0), 则

7、AB+AC =1 t* xo 八 yo(xo+6, yo),故 AD = 2(AB+AC)= 万+3，万.xox + 3=x+2,又AD = (x+2, y),故y0=y.解得xo= 2x 2, yo= 2y.代入 |A C|=. xo+2 2+y2=2得x2+y2= 1,即为所求点 D的轨迹E的方程.易知直线l与x轴不垂直，设直线 l的方程为y=k(x+ 2)22又设椭圆方程为 $+a2匕=1 (a24)4)x2+ 4a2k2x因为直线l与圆x2+ y2=1相切，故答=1,解得k2 = ：将代入整理得(a2k2+ a2/k2+13+ 4a2k2 a4 + 4a2= 0,2aa2一 3.a 3

8、而 k2 = 3,即(a23)x2+a2x：a4+4a2= 0,设 M(x1，y1), N(x2, y2),则 Xi+X2 =2422由题意有六=2x5,求得a2= 8.经检验，此时A。故所求的椭圆方程为 金=1.18、解析(1)设椭圆的焦距为2c(c0),焦点F(c,0),直线l: x-y=0,F至ij l的距离为卷=也，解得c=2，又 e= Q= 2,a = 2yJ2,b= 2.22椭圆C的方程为?51.22-十匕=1, 由8 4解得 x= y = 23& 或 x=y=一y=x,不妨设M乎,早乎平，),2 62 6- y-3 y+ 3-kPM kPN = 尸 s L2 -. 62 -. 6

9、X 3X+ 3,x2 y21由三十：= 1 ,即x2= 8 2y2,代入化间得 ki k2= kPM kpN = 一1为值.84219、解析(1)设直线AB方程为y=k(x1)+1,代入 x2=2y 中得，x2-2kx+2k- 2 = 0其中 A=(-2k)2-4(2k- 2) = 4(k- 1)2+ 10、x2x2_.记 A x1，万，B x2, 2，则x1 + x2=2k, x1x2= 2k 2.x2对y=-求导彳导,y =x则切线PA的方程为y = x(xx1)+葭，rrx2 即 y = x1x 3一 E ,x2_同理，切线PB的方程为y=x?x2由、两式得点P的坐标为x1 + x2x1

10、x22 2x= k于是得 P(k, k- 1),设 P(x, y),则，y= k 1消去参数k,得点P的轨迹方程为xy1 = 0.(2)由(1)知|AB|=41+ k2 |x1-x2|= 1 + k2 x + x2 2-4x1x2=2弋 1 + k2 k22k+2 .点P到直线AB的距离|k k1 +1 k1 | k2 2k+2d：1 + k2-1+k2 ABC的面积1c33S=21AB| d= (k2- 2k+ 2= (k-1)2+ 1万.当k= 1时，S有最小值1.20、解析(1)由题意得直线 BD的方程为y=x+1.因为四边形 ABCD为菱形，所以 ACXBD.于是可设直线 AC的方程为

11、y= -x+n.x2+3y2 = 4,由得 4x2-6nx+3n2-4=0.y= x+ n因为A, C在椭圆上，所以 A= 12n2+640,解得4-3n4-3.设A, C两点坐标分别为 的，y1), (x2, y2),则 红、，对4x1 + x2= 2 , x1x2=4 ,y1 = 一x1+n, y2= x2+n.所以y1 + y2 = 2,所以AC的中点坐标为 3n, 4 .由四边形ABCD为菱形可知，点 半，?在直线y = x+ 1上，所以-=+ 1 , 444 4解得n = - 2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即 x+y+2 = 0.(2)因为四边形 ABCD为菱形，且/ ABC

12、 = 60 , 所以 |AB|= |BC|= |CA|.所以菱形ABCD的面积S=乎|AC|2 , c , c -3n2+16由(1)可彳导 |AC|2= (x x2)2+ (y1一 y2)2=2,所以 S=3(-3n2+16) 433n竽.所以当n = 0时，菱形ABCD的面积取得最大值 4Pc 也 o o .2 a2 -121、解析(1).飞=宁，c2=a21, . 3 = -o,解得：a2 =3,所以所求椭圆 C的方程为x2+y2=1. 2(2)假设存在直线l,使得OA OB = 20M 2易得当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y= kx+b,由直线l与圆。相切可得，b2

13、=k2+12把直线y=kx+b代入椭圆C： x+y2=1中，整理得:3(1 + 3k4k2+1 要使上式为定值须4m2:-1 = 4,解得m=17,m2 418)x2+ 6kbx+ 3b2 3= 0则 Xi + X26kb1 + 3k2Xi X2 =3b2-31 + 3k2OA OB = Xi X2+ yi y2= xi X2+ (kxi+ b)(kx2+ b) = (1 + k2)xi X2+ kb(xi + X2) + b2(1 + k2)3b2-3_ . 21 + 3k26k2b2,2 4b2-3k2-3 11+ 3k2 + 1+ 3k2 万匹由两式得k2= 1, b2= 2,故存在直线

14、l,其方程为y=女比2.22、解析(1)由题意知 c= V3, 4a=8,.a = 2, b=1, 椭圆的方程为/+y2=1.4当直线l的斜率存在时，设其斜率为k,则l的方程为y=k(x1),x22 “-+ y2= 1由 f f33 PE QE为值 77，64 当直线l的斜率不存在时 P 1 手，Qi,-呼， 由E 0可彳#PE= 9 狙 QE= 9炎 8282PE QE = 81_3=3消去 y 得(4k2+1)x2-8k2x+ 4k2 4=0,y = k x 1设 P(xi, yi), Q(X2, y2)则由韦达定理得Xi+X2 =8k24k2 44k2+1，XiX2=4k2+1，则 pE=(mXi,