专题：简单的线性规划

1、高考复习专题：简单的线性规划专题要点简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决 实际问题的能力。线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视，另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化，在复习时也应是注意。考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。考纲要求了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线

2、性规划的意义并会简单应用。典例精析线性规划是高考热点之一，考查内容设计最优解，最值，区域面积与形状等，通常通过画可行域，移线, 数形结合等方法解决问题。考点1:求给定可行域的最优解x y 1例1. （2012广东文）已知变量x、y满足约束条件 x y 1,则z x 2 y的最小值为 （）x 1 0A. 3B. 1C. 5D. 6x 1x1解析：C.回出可行域，可知当代表直线过点A时，取到最小值.联立，解得，所以y x 1 y2z x 2 y的最小值为 5.例2. （2009天津）设变量x, y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A） 6（B） 7（C） 8（D） 23解析：画出

3、不等式表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B.发散思维：若将目标函数改为求 z义的取值范围；或者改为求 z 一的取值范围； xx 3或者改为求z x2 y2的最大值；或者或者改为求 z x 1 2 y2的最大值。方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确， 整点问题要验证解决。2x y 2 0练习1. （2012天津）设变量 x, y满足约束条件 x 2y 4 0,则目标函数z 3x 2y的最小值为A.5B

4、.4C.2D. 3【解析】做出不等式对应的可行域如图 ，由z 3x 2y得y，一 一一 ，,一3过点C（0,2）时，直线y 3x 2z的截距最大，而此时z2-x *,由图象可知当直线 y223x 2 y最小为z 3x 2y三经24,选 B.0< x< 1,练习2.在约束条件 0WyW2,下，苗x1一军7的最小值为 .2y-x>i,解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到x1 2+y2可视为该区域内的点（x, y）与点（1,0）之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点（1,0）到直线2yx=1的距离，即为醇答案芈巧55练习3、（2011广东文、理数）已知平

5、面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若 M （x, y）为D上的动点，点 A的坐标为，则z=?的最大值为（）A 3B、4 C 、3D> 4解答：解：首先做出可行域，如图所示：z=?=,即y= - x+z 做出l0： y= - x,将此直线平行移动，当直线 y= - x+z经过点A时，直线在y轴上 截距最大时，z有最大值.因为A（, 2）,所以z的最大值为4故选Bx+y>2,练习4. （2011福建）已知。是坐标原点，点 A（ 1,1）,若点M（x, y）为平面区域 x< 1,上的y<2一个动点，则oA- OM的取值范围是（）A. -1,0 B . 0,1 C .

6、 0,2 D , -1,2 x + y>2,【分析】由于OA-OM= x+y,实际上就是在线性约束条件x<1,下，求线性目标函数z =y<2-x + y的最大值和最小值.【解析】 画出不等式组表示的平面区域（如图），又OA,OM= x+y,取目标函数z= x+y,即y= x + z,作斜率为1的一组平行线.当它经过点 C（1,1）时，z有最小值，即zmin = 1+1=0;当它经过点 B（0,2）时，z有最大值，即 zmax= 0+ 2=2.z的取值范围是0,2,即OAOM勺取值范围是0,2,故选C.考点2:求给定可行域的面积例3.在平面直角坐标系中，不等式组3y 4表示的平

7、面区域的面积为(3x y 4A. 32答案cxy 2>0,xy 2>0,表木的x& t考点3:给出最优解求目标函数(或者可行域)中参数例4. (2012广州一模文数)在平面直角坐标系中，若不等式组平面区域的面积为4,则实数t的值为A. 1B. 2C. 3D. 4答案B练习5. (2009福建卷文)在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则的值为A. -5 B. 1 C. 2 D. 3解析解析 如图可得黄色即为满足的直线恒过(0, 1),故看作直线绕点(0, 1)旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1; a=2时，面

8、积是；当a=3时，面积恰好为2,故选D.练习6.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M使函数y=ax(a>0, a1)的图象过区域 M的a的取值范围是c(A) 1,3(B)2,(C) 2,9(D),9x+ 2y>0练习7.设z = x+ y,其中x、y满足x-y<o0< y w kA. - 3C. 2解析 如图所示，作出不等式组所确定的可行域4,若z的最大值为6,则z的最小值为8. 3D. -2OAB目标函数的几彳S意义是直线x+ y-z = 0在x y= 0,y轴上的截距，由图可知，当目标函数经过点A时，取得最大值，由解得A(k, k),故最y=k，x+ 2y= 0,

9、 大值为z= k+k = 2k,由题意，得2k=6,故k= 3.当目标函数经过点B时，取得最小值，由y=3,解得B( 一 6,3),故最小值为z= 6+ 3= 3.故选A.答案 A练习8. (2012课标文)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3), 顶点C在第一象限，若点(x, y)在4ABC内部，则z x y的取值范围是()A. (1-3,2) B, (0,2)C. ( 3-1,2)D, (0,1+3)【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题.【解析】有题设知C(1+J3,2)，作出直线l0: x y 0,平移直线l0,有图像知，直线l :z x y过 B 点时，zma

10、x=2，过 C时，zmin = 1 73, z x y 取值范围为(1-，3,2),故选 A.x y 3 0练习9. （2012福建文）若直线y 2x上存在点（x, y）满足约束条件x 2y 3 0,则实数m的最大值x m为（）A. -1B. 1C.D. 2【答案】B【解析】x y 3 0与y 2x的交点为（1,2），所以只有m 1才能符合条件，B正确.【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域，考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力.x y 3 0练习10. （2012福建理）若函数y 2x图像上存在点（x, y）满足约束条件 x 2y 3 0,则实数m的x m最大值为（）A. -

11、B. 1C. 3D. 222【答案】B【解析】x y 3 0与y 2x的交点为（1,2），所以只有m 1才能符合条件，B正确.【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域，考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力 考点四：实际应用与大题例5 （2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用 A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利7闰3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D

12、. 27 万元解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。练习11. （2012四川理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是 300元，每桶乙 产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A. 1800 元B. 2400 元C. 2800 元D. 3100 元答案C 解析设公司每天

13、生产甲种产品X桶，乙种产品丫桶，公司共可获得 利润为Z元/天，则由已知，得Z=300X+400丫X 2Y 122X Y 12且X 0Y 0画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为丫= 3x 这是随Z变化的一族平行直线4400Z 1200 1600 2800 max2x y 12x 4解方程组即A（4,4）x 2y 12y 4点评解决线性规划题目的常规步骤:一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、三作（作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).练习12.(2012广州二模文数)甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示:食物类型甲乙丙维生素C (单位/ kg )300

14、500300维生素D (单位/ kg )700100300成本(元/ kg )543某工厂欲将这三种食物混合成100kg的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为xkg、ykg、zkg.(1)试以x, y表示混合食物的成本 P ;(2)若混合食物至少需含 35000单位维生素C及40000单位维生素 D ,问x, y,z取什么值时，混合食 物的成本最少(本小题主要考查线性规划等知识，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识 )(1)解：依题意得X y Z 100, 2分P 5x 4y 3z.由 x y z 100 ,得 z 100 x y,代入 P 5x 4y 3z, 得 P 300 2x y. 3 分x 0, y 0, z 0,(1)解：依题意知x、y、z要满足的条件为300x 500y 300z 35000, 6分700x 100y 300z 40000.x 0, y 0,-100 x y 0, 把z 100 x y代入方程组得y ,9分2x y 50, y 25.如图可行域(阴影部分)的一个顶点为A 37.5,25 . 10分让目标函数2x y 300P在可行域上移动，由此可知P 300 2x y在A 37.5,25处取得最