同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(26)

1、. 习题12-2 1. 求下列微分方程的通解: (1)xy¢-yln y=0; 解 分离变量得 , 两边积分得 , 即 ln(ln y)=ln x+ln C,故通解为y=eCx . (2)3x2+5x-5y¢=0; 解 分离变量得 5dy=(3x2+5x)dx, 两边积分得 , 即 , 故通解为, 其中为任意常数. (3); 解 分离变量得 , 两边积分得 即 arcsin y=arcsin x+C, 故通解为y=sin(arcsin x+C). (4)y¢-xy¢=a(y2+y¢); 解 方程变形为(1-x-a)y¢=ay2, 分离

2、变量得 , 两边积分得 , 即 , 故通解为, 其中C=aC1为任意常数. (5)sec2x tan ydx+sec2y tan xdy=0; 解 分离变量得 , 两边积分得 , 即 ln(tan y)=-ln(tan x)+ln C, 故通解为tan x tan y=C . (6); 解 分离变量得 10-ydy=10xdx, 两边积分得 , 即 , 或 10-y=10x+C,故通解为y=-lg(C-10x). (7)(ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0; 解 方程变形为ey(ex+1)dy=ex(1-ey)dx, 分离变量得 , 两边积分得 ,即 -ln(e y)=ln(ex

3、+1)-lnC, 故通解为(ex+1)(ey-1)=C . (8)cos x sin ydx+sin x cos ydy=0; 解 分离变量得 , 两边积分得 ,即 ln(sin y)=-ln(sin x)+ln C, 故通解为sin x sin y=C . (9); 解 分离变量得 (y+1)2dy=-x3dx, 两边积分得 ,即 , 故通解为4(y+1)3+3x4=C (C=12C1). (10)ydx+(x2-4x)dy=0. 解 分离变量得 , 两边积分得 , 即 ln y4=ln x-ln(4-x)+ln C , 故通解为y4(4-x)=Cx . 4444 2. 求下列微分方程满足所

4、给初始条件的特解: (1)y¢=e2x-y, y|x=0=0; 解 分离变量得 e ydy=e2xdx, 两边积分得 , 即 , 或 . 由y|x=0=0得, , 所以特解. (2)cos x sin ydy=cos y sin xdx, ; 解 分离变量得 tan y dy=tan x dx, 两边积分得 , 即 -ln(cos y)=-ln(cos x)-ln C, 或 cos y=C cos x . 由得, , 所以特解为. (3)y¢sin x=yln y, ; 解 分离变量得 , 两边积分得 , 即 , 或 . 由得, C=1, 所以特解为. (4)cos ydx

5、+(1+e-x)sin ydy=0, ; 解 分离变量得 , 两边积分得 , 即 ln|cos y|=ln(ex+1)+ln |C|, 或 cos y=C(ex+1). 由得, , 所以特解为. (5)xdy+2ydx=0, y|x=2=1. 解 分离变量得 , 两边积分得 ,即 ln y=-2ln x+ln C, 或 y=Cx-2. 由y|x=2=1得C×2-2=1, C=4, 所以特解为. 3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm, 顶角为60°, 漏斗下面有面积为0. 5cm2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间. 解 设t时该已流出的水的体积为V,

6、高度为x, 则由水力学有 , 即. 又因为, 故 , 从而 , 即 , 因此 . 又因为当t=0时, x=10, 所以, 故水从小孔流出的规律为 . 令x=0, 得水流完所需时间约为10s. 4. 质量为1g(克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t=10s时, 速度等于50cm/s, 外力为4g cm/s2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？ 解 已知, 并且法t=10s时, v=50cm/s, F=4g cm/s2, 故, 从而k=20, 因此. 又由牛顿定律, F=ma, 即, 故v dv=20tdt . 这就是速度与时间应满足的微分

7、方程. 解之得 , 即. 由初始条件有, C=250. 因此 . 当t=60s时, . 5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R0的一半. 试求镭的量R与时间t的函数关系. 解 由题设知, , 即, 两边积分得 ln R=-lt+C1, 从而 . 因为当t=0时, R=R0, 故R0=Ce0=C, 即R=R0e-lt. 又由于当t=1600时, , 故, 从而. 因此 . 6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程. 解 设切点为P(x, y), 则切线在x轴, y轴的截距分别为2x, 2y, 切线斜率为 , 故曲线满足微分方程: , 即, 从而 ln y+ln x=ln C, xy=C . 因为曲线经过点(2, 3), 所以C=2´3=6, 曲线方程为xy=6. 7. 小船从河边点O处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a, 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h, 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k). 求小船的航行路线. 解 建立坐标系如图. 设t时刻船的位置