二重积分的概念及计算

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10111 1第第10章章 重积分重积分10.1 二重积分二重积分一、引例一、引例二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算五、利用直角坐标计算二重积分五、利用直角坐标计算二重积分六、利用极坐标计算二重积分六、利用极坐标计算二重积分七、二重积分换元法七、二重积分换元法Page 2解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),(yxfz底：

2、底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求求 极限极限” D),(yxfz Page 3D),(yxfz 1)“大化小大化小”用用任意曲线网任意曲线网分分D为为 n 个区域个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个k, ),(kk3)“近似和近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则则中中任取一点任取

3、一点小曲顶柱体小曲顶柱体k),(kkPage 44)“取极限取极限”k 定定义义的的直直径径为为 1212()maxkkP PP ,P 令令 1max()kk n 01lim(,)nkkkkVf ),(yxfz ),(kkfk),(kkPage 52. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为),(),(常数若yx设设D 的面积为的面积为 , 则则M若若),(yx非常数非常数 , 仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代变常代变,近似和近似和, 求求 极限

4、极限” 解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域,21n相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域 .DyxPage 62)“常代变常代变”中中任取任取一点一点k在每个),(kk3)“近似和近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第则第 k 小块的质量小块的质量yxPage 7两个问题的两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和

5、近似和,取极限取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: Page 8二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域),2,1(nkk任取任取一点一点,),(kkk若存在一个常数若存在一个常数 I , 使使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在在D上的上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和积分和Dyxfd),(积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元

6、素面积元素记作记作是定义在是定义在有界区域有界区域 D上的上的有界函数有界函数 , Page 9DyxfVd),(引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,),(yxf也常也常d,ddyx二重积分记作二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时这时分区域分区域D , 因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(Page 10二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上

7、可在则Dyxf),(证明略证明略)定理定理1.在在D上可积上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续, 则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在在D :10 x10 y上二重积分存在上二重积分存在 ;yxyxf1),(但在在D 上上 y1xo1D二重积分不存在二重积分不存在 . Page 11三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyx

8、fyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为为D 的面积的面积, 则则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(Page 12特别特别, 由于由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在若在D上上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为的面积为 ,MyxfmDd),(则有则有Page 137.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质由性质6 可知可知

9、,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理由连续函数介值定理, 至少有一点至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积 ,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因此因此Page 14例例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与它与 x 轴交于点轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域而域 D 位位, 1 yx从而从而d)(d)(32D

10、Dyxyx于直线的上方于直线的上方, 故在故在 D 上上 1y2xo1DPage 15例例2. 判断积分判断积分2222341ddxyxyxy 的正负号的正负号.解解: 分积分域为分积分域为,321DDD则则原式原式 =12231ddDxyxy 22231d dDxyxy 32231ddDxyxy 1ddDxy 3331d dDxy 32 (43) 23D32D11Dyxo3(12)0 猜想结果为负猜想结果为负但不好估计但不好估计 .舍去此项舍去此项Page 16220yx 0)ln(22 yx例例3. 判断判断的正负的正负.)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx当当时，时，故故0

11、)ln(22 yx又当又当时，时，1 yx于是于是2)(yx 10dd)ln(122yxyxyx1111xyoDPage 17例例4. 估计下列积分之值估计下列积分之值22ddI:10100coscosDxyDxyxy 解解: D 的面积为的面积为50()4200 三三角角形形面面积积由于由于221100coscosxy积分性质积分性质5200200I102100 即即: 1.96 I 210101010D11001102xyoPage 185 . 04 . 0I例例5. 估计估计 的值的值, 其中其中 D 为为DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: 被积函数被积函数16)(1),

12、(2yxyxf2D 的面积的面积41)0 , 0( fM的最大值的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最小值的最小值,4252 I故yox2D1Page 19xyo D8. 设函数设函数),(yxfD 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称, 函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时, 仍仍1D在在 D 上上d),(21Dyxf在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则

13、有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分, 则有则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0Page 20 xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xDPage 21ydcxo)(2yx)(1y

14、xyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样同样, 曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydPage 22例例6. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222R

15、zx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDPage 23内容小结内容小结1. 二重积分的定义二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质二重积分的性质 (与定积分性质相似与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算二次积分法二次积分法Page 24被积函数被积函数相同相同, 且且非负非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知312III11xyo1. 比较下列

16、积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:Page 252. 设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 则则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示提示: 因因 0 y 1, 故故;212yyyD故在故在D上有上有, 03x又因323321xyxyxyyox1DPage 263. 计算计算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind22000

17、2Page 274. 证明证明:221(sincos)d2,Dxy 其中其中D 为为01, 01.xy 解解: 利用题中利用题中 x , y 位置的对称性位置的对称性, 有有22(sincos)dDxy 222212(sincos)d(sincos)dDDxyyx 212222(sin)d(sin)dcoscosDDxxyy 22(sincos)dDxx 242sin()dDx 2214201,sin()1,xx 又又 D 的面积为的面积为 1 , 故结论成立故结论成立 .yox1D1Page 28五、利用直角坐标计算二重积分五、利用直角坐标计算二重积分且在且在D上连续时上连续时, ( , )

18、0f x y 当当被被积积函函数数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知由曲顶柱体体积的计算可知, 若若D为为 X 型区域型区域 则则)(1xy)(2xyxboyDax若若D为为Y 型区域型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则则Page 29当被积函数当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在在D上

19、上变号变号时时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于由于Dyxyxfdd),(2Page 30oxy说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便为计算方便,可可选择积分序选择积分序, 必要时还可以必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域

20、 , 321DDDD则则 Page 31xy211xy o221d y例例7. 计算计算,dDyxI其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及yx 所围的闭区域所围的闭区域. x解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 则则:DI21dxyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 则则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 yPage 32例例8. 计算计算,dDyx其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便

21、, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线及直线则则 Page 33例例9. 计算计算,ddsinDyxxx其中其中D 是直线是直线 ,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X 型域型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对先对 x 积分不行积分不行, 说明说明: 有些二次

22、积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.Page 34例例10. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为视为Y型区域型区域 , 则则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dyPage 35例例11. 计算计算,dd)1ln(2yxyyxID其中其中D 由由,42xy1,3xxy所围成所围成.oyx12

23、4xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示如图所示)显然显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224Page 36axy2解：解：原式原式ay0daay2d22xaxy22yaax例例12. 给定给定改变积分的次序改变积分的次序.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aoxyPage 37xyokkkrrkkkkkkrrsin,

24、cos对应有对应有六、利用极坐标计算二重积分六、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下在极坐标系下, 用同心圆用同心圆 r =常数常数则除包含边界点的小区域外则除包含边界点的小区域外,小区域的面积小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点内取点kkkrr221)(及射线及射线 =常数常数, 分划区域分划区域D 为为krkrkkkrPage 38kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即即Drrf)sin,cos(drrddrdPage 39Do)(1r)(2r)(

25、1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设设,)()(:21rD则则Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别, 对对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roDPage 40若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积d)(21202Dd思考思考: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)22)2(Page 41例例13. 计算计算,dd22Dyxyxe其中其中.:22

26、2ayxD解解: 在极坐标系下在极坐标系下,200:arD原式原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角故本题无法用直角2reddrr20d由于由于故故坐标计算坐标计算.Page 42注注: 利用例利用例13可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式2d02xex事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例利用例7的结果的结果, 得得)1 (limd42220aaxexe故故式成立式成立

27、 .Page 43例例14. 求球体求球体22224azyx被圆柱面被圆柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 解解: 设设由对称性可知由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2Page 443261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx例例15. 计计算算其中其中D 为由圆为由圆所围成的所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy

28、及直线及直线30,xy 解：解：平面闭区域平面闭区域.03 xysin2 roxy2436dPage 45baxxfd)() )(txtttfd)()(定积分换元法定积分换元法七、二重积分换元法七、二重积分换元法 ( , ):( , )xx u vTyy u v DDvu),(满足满足(1)( , ),( , )x u vy u vD 在在上上一阶偏导数连续一阶偏导数连续;雅可比行列式雅可比行列式(2)D 在在上上( , )( , )0;( , )x yJ u vu v (3) 变换变换:TDD 则则( , )ddDf x yxy ( ( , ), ( , )Df x u vy u v 定理定

29、理:( , ),f x yD设设在在闭闭域域上上连连续续变换变换:是一一对应的是一一对应的 ,( , ) d dJ u vu vovuDoyxDTPage 46oyxDovuD证证: 根据定理条件根据定理条件(2)(3)可知变换可知变换 T 可逆可逆. 用平行于坐标轴的用平行于坐标轴的 ,uo v 在在坐坐标标面面上上直线分割区域直线分割区域 ,D任取其中一个小矩任取其中一个小矩T形形, 其顶点为其顶点为),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通过变换通过变换T, 在在 xoy 面上得到一个四边面上得到一个四边形形, 其对应顶点为其对应顶点为)4, 3, 2, 1(),

30、(iyxMiii1M4M3M2M22,hk 令令则则12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuuxPage 4714xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得同理得14yy )(),(okvuvy当当h, k 充分小时充分小时,曲边四边形曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四近似于平行四 边形边形, 故其面积近似为故其面积近似为4121MMMM2121414100ijkxxyyxxyykhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(Page 48vuvuJdd),(d因此面积元

31、素的关系为因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式从而得二重积分的换元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(Page 49例例16. 计算计算其中其中D 是是 x 轴轴 y 轴和直线轴和直线2 yx所围成的闭域所围成的闭域. 解解: 令令,xyvxyu则则2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211

32、201ee2 yxDxoy2121212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuovPage 50ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例17. 计算由计算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所围成的闭区域所围成的闭区域 D 的面积的面积 S .解解: 令令Duvopqab则则bvaqupD :D),(),(vuyxJ31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpqPage 51例例18. 试计算椭球体试计算椭球体1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由对称性由对称性, 1:2222byaxD取令令,sin,cos