复旦大学大学物理力学课件Ch4_part_I-1

1、牛顿第二定律牛顿第二定律外力的作用，质点产生加速度，运动外力的作用，质点产生加速度，运动状态发生变化。状态发生变化。力的作用需要持续一段时间，或者需要持续一段距离，力的作用需要持续一段时间，或者需要持续一段距离，这就是这就是力对时间的累积作用力对时间的累积作用和和力对空间的累积作用力对空间的累积作用。第四章第四章 质点系质点系 动量动量 角动量角动量动量变化定理动量变化定理和和动量守恒动量守恒1动量和冲量的概念动量和冲量的概念2动量定理动量定理 3平均冲力的计算平均冲力的计算 4质点系的动量定理质点系的动量定理5动量守恒定律动量守恒定律 6变质量体系运动方程变质量体系运动方程动量变化定理和动量

2、守恒动量变化定理和动量守恒一、冲量一、冲量冲量是表征力持续作用一段时间冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；的累积效应； 矢量：矢量： 大小和方向；大小和方向；过程量过程量1, 若质点受恒力的作用， 在t 时间内所受的冲量为：tFItFFt1t2)(tFt2t1tn2, 若质点受变力的作用， 在t1t2 时间内所受的冲量为：21ttnntFI21ttdtFI积分形式微分形式dtFId2、动量、动量 定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量 vmP 动量是矢量，大小为动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向；，方向就是速度的方向； 表征了物体的运

3、动状态表征了物体的运动状态, 是个瞬时量。是个瞬时量。 dtPdvmdtddtvdmamF)(牛顿第二定律牛顿第二定律amF牛顿第二定律的另外一种表示方法牛顿第二定律的另外一种表示方法 dtPdF3、动量定理、动量定理2 21 12 21 1 t tt tP PP PI IF Fd dt t 在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于该质点在此时间内动量的增量该质点在此时间内动量的增量动量定理动量定理 2121ttPPdtFPddtFPd dtPdF t1t2)(tF1v2v说明说明冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与动量增冲量的方向不是

4、与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同量的方向相同动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因素，即冲量决定的时间两个因素，即冲量决定的动量定理的分量表示动量定理的分量表示zztzzyytyyxxtxxmvmvdtFImvmvdtFImvmvdtFI121212 动量定理的成立条件动量定理的成立条件惯性系。惯性系。 利用动量定理计算平均冲力利用动量定理计算平均冲力 12vm-vm PdtFI tPF 应用：应用： 利用冲力：利用冲力： 增大冲力，减小作用时间增大冲力，减小作用时间 冲床冲床 避免冲力：避免冲力： 减小冲力，增大作用时间减

5、小冲力，增大作用时间 轮船靠岸时的缓冲轮船靠岸时的缓冲 dtFttF)(12例例1、质量为质量为2.5g的乒乓球以的乒乓球以10m/s的速率的速率飞来，被板推挡后，又以飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为且它们与板面法线的夹角分别为45o和和30o，求：（求：（1）乒乓球得到的冲量；（）乒乓球得到的冲量；（2）若撞）若撞击时间为击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的求板施于球的平均冲力的大小和方向。大小和方向。45o 30o nv2v145o 30o nv2v1Oxy解：取挡

6、板和球为研究对象，由于作用解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为的冲力为F则有：则有：12vmvmdtFI tFmvmvdtFItFmvmvdtFIyyyxxx 45sin30sin45cos)(30cos12122.5g m/s20 m/s10 0.01s21 m vvtN14. 6 N7 . 0 N1 . 622 yxyxFFFFF 为为 I 与与x方向的夹角。方向的夹角。 1148.0tg xyII Ns1014. 6222 yxIIINs007. 0 Ns061. 0 yxII6.54 质点系的动量定理质点系的动量

7、定理1、两个质点的情况、两个质点的情况 20222212101111212121vmvmdtFFvmvmdtFFtttt )()(20210122112112212121vmvmvmvmdtFFdtFFtttt 2112FF )()(20210122112121vmvmvmvmdtFFtt 作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量，即系统动量的增量。点动量之和的增量，即系统动量的增量。2、多个质点的情况、多个质点的情况iFjFijFjiF0jiijFF211tniitIFdt外外221111()0ttnnijiiiit

8、tIFdtFFdtj内内2、多个质点的情况、多个质点的情况 niiiniiittniittniivmvmdtFdtF101112121内内外外 niiF00内内 niiiniiittvmvmdtF10121外力外力0PPI作用在系统的合外力的冲量等于作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量系统动量的增量质点系的动质点系的动量定理量定理000zzzyyyxxxPPIPPIPPI牛顿定律牛顿定律动量定理动量定理力的效果力的效果 力的力的瞬时瞬时效果效果力对时间的力对时间的积累积累效果效果关系关系牛顿定律是动量定理牛顿定律是动量定理的的微分微分形式形式动量定理是牛顿定律的动量定理是牛顿定律的积分积

9、分形式形式适用对象适用对象 质点质点质点、质点、质点系质点系适用范围适用范围 惯性系惯性系惯性系惯性系解题分析解题分析必须研究必须研究质点在每时质点在每时刻刻的运动情况的运动情况只需研究质点（系）只需研究质点（系）始始末两状态末两状态的变化的变化动能定理和动量定理的比较动能定理动量定理kEWPI力对时间的累积作用力对时间的累积作用力对空间的累积作用力对空间的累积作用标量矢量惯性系惯性系内力作功不一定为零内力冲量为零合外力为零， 作功不一定为零合外力为零， 总的冲量一定为零都是从牛顿定律推出都是从牛顿定律推出动量守恒定律动量守恒定律当系统所受合外力为零时，即当系统所受合外力为零时，即F外外=0时

10、，系统的动量的增量时，系统的动量的增量为零，即系统的总动量保持不变为零，即系统的总动量保持不变0 0 0 zzizizyyiyiyxxixixFCvmpFCvmPFCvmP恒矢量恒矢量 niiivmP1PvmvmdtFniiiniiitt10121外力0外力F0P动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方向为零）动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方向为零）说明说明守恒的意义：守恒的意义：动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变，动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变，而不是指某一个质点的动量不变。而不是指某一个质点的动量不变。守恒的条件：守恒的条件：系统所受的合外力为零。系统所受的合外力为零。

11、 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）往可忽略外力（外力与内力相比小很多） - 近似守恒条件近似守恒条件。内力的作用：内力的作用：不改变系统的总动量，但可以引起系统内动不改变系统的总动量，但可以引起系统内动量分布的变化量分布的变化动量守恒定律动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 虽然是由牛顿定律导出，但是比牛顿定律更普遍。虽然是由牛顿定律导出，但是比牛顿定律更普遍。解题步骤：解题步骤：1选好系统，分析要研究的物理过程；选好系统，分析要研究的物理过程；

12、2进行受力分析，判断守恒条件；进行受力分析，判断守恒条件；3确定系统的初动量与末动量；确定系统的初动量与末动量；4建立坐标系，列方程求解；建立坐标系，列方程求解；5必要时进行讨论。必要时进行讨论。注意：注意： 动量守恒是相对于同一个惯性系而言的，动量守恒是相对于同一个惯性系而言的， 因此所有的因此所有的物理量都要转化为同一个惯性系里的量。物理量都要转化为同一个惯性系里的量。例题：水平光滑铁轨上有一车，长度为例题：水平光滑铁轨上有一车，长度为l，质量为质量为m2，车的一端有一人（包括所骑，车的一端有一人（包括所骑自行车），质量为自行车），质量为m1，人和车原来都静，人和车原来都静止不动。当人从车

13、的一端走到另一端时，止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？人、车各移动了多少距离？ 解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。建立如图所示的坐标系，有建立如图所示的坐标系，有m1v1-m2v2=0 或或 v2=m1v1/m2人相对于车的速度人相对于车的速度 u=v1+v2=(m1+m2)v1/m2设人在时间设人在时间t 内从车的一端走到另一端，则有内从车的一端走到另一端，则有 tttdtvmmmdtvmmmudtl01221012210在这段时间内人相对于地面的位移为在这段时间内人相对于地面的位移为 l

14、mmmdtvxt212011小车相对于地面的位移为小车相对于地面的位移为 lmmmxlx21112 例例 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点 h19.6 m 处炸裂成处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后质量相等的两块。其中一块在爆炸后 1 秒钟落到爆炸点正下方秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离的地面上，设此处与发射点的距离S1100米米, 问另一块落地点问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，g = 9.8m/s2)解：解：已知第一块方向竖直向下已知第一块方向竖直向下2112hvtgt st

15、1为第一块落地时间为第一块落地时间1114.7/yvvm s v2yhxv1hS1爆炸中（爆炸中（忽略重力忽略重力）系统动量守恒）系统动量守恒炮炮弹弹发发射射后后到到最最高高点点用用时时为为t2211211022xxyymvmvmvmvmv1/2mv2/2mvx22100/xxvvm s2114.7/yyvvm s v2yhxv1hS11xSv t50/xvm s12100tsSm第二块作斜抛运动第二块作斜抛运动mv1/2mv2/2mvx可得第二块碎片落地点的水平位置：可得第二块碎片落地点的水平位置：2500 xm21222222212xyxSv tyhv tgt落地时落地时，2220,42y

16、tsts （舍去舍去） 例 质量为M的人，手里拿着质量为m的物体，此人用与地平线成 的速度v0 向前跳去，当他到达最高点时，把物体以相对于自己以速度u向后抛出，问由于物体的抛出，他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？m MRR+RxyuVO人不向后抛出物体，所跳过的距离：解 取地面坐标系，用动量守恒定律求解 人在最高点向后抛出物体的过程动量守恒定律：202sincosvRg0()()cosMVm VumM vm MRR+RxyuVO抛出物体后人的速度： 0cosmuVvmM比不抛出物体时速度增加了：muVmM抛出物体后多跳过的距离：0sinvmumMg2TRV tV 例长 L、质量 M 的平

17、板放在光滑水平面上，质量 m 的小木块以水平初速 v0 滑入平板上表面，两者间摩擦系数为，试求小木块恰好未能滑离平板上表面的条件。mv0M, L小木块运动到平板右端时与平板速度相同0)(mvvmM过程中 m 与 M 间一对摩擦力作功mgLW地面惯性系中动能定理2021221)(mvvmMWgLMmMv220解：解：变质量体系问题变质量体系问题2007年年10月月24日，嫦娥一号日，嫦娥一号2010年年10月月1日，嫦娥二号日，嫦娥二号2011年年9月月29日天宫一日天宫一号号一、火箭运动的微分方程一、火箭运动的微分方程在在t 时刻，时刻，火箭与燃料的总质量火箭与燃料的总质量为为M，速度为，速度

18、为v；在在tt+t时间间隔内，有质量为时间间隔内，有质量为m的燃料变为气体，并以速度的燃料变为气体，并以速度u相对火箭喷射出去。相对火箭喷射出去。在时刻在时刻t+t火箭相对选定的惯性参火箭相对选定的惯性参考系的速度为考系的速度为v+v，而燃烧气体，而燃烧气体粒子相对选定的惯性参考系的速度粒子相对选定的惯性参考系的速度则为则为v-u。 vMtp p p t tt tM Mm mv vv vm m v vu u p pp p t tt tp p t tM Mv vu um m dtdmudtvdMdtpd dtdMdtdm dtdMudtvdMdtpd dtdMudtvdMdtpdF dtdMuF

19、dtvdM dtdMu叫作火箭发动机的推力叫作火箭发动机的推力 p pp p t tt tp p t tM Mv vu um m 二、火箭运动的速度公式二、火箭运动的速度公式对于在远离地球大气层之外，星际空间中飞行的火箭，可对于在远离地球大气层之外，星际空间中飞行的火箭，可以认为系统不受外力作用，即以认为系统不受外力作用，即F=0dMuvMddtdMudtvdM MMvvMdMuvd00MMuMMuvv000lnln MMuvv00lnM0/M叫做质量比叫做质量比dtdMuFdtvdM 三、多级火箭三、多级火箭nnnNuvvNuvvNuvlnlnln121211 质量比质量比Ni =M0/M)

20、ln )lnlnln2121nnnNNNuNNNuv（ 但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭。但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭。变质量体系运动方程变质量体系运动方程mdmvvdtFtmdmvdvtdt动量定理：动量定理：PddtF)()(vdmvmvdvdmmdmvdmvvmddtdmvvFdtvmd)(dtdmuFdm0，表示质量增加。d0，表示质量降低。vvu()()()()d mvmdvvdmd mvmdvvdmd mvdmd mvdmFvFvdtdtdtdt 例 一柔软链条长为l，单位长度的质量为。链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围。由于

21、某种扰动,链条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距离之间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且认为链条软得可以自由伸开。 解 考虑竖直悬挂的链条m1m2Oyy()()()()0 0d mvdyvdyd mvdyvdydtdydtdtdydtdmdmFygFygdtdt ()()d mvdmd mvdmFvFvdtdtdtdt 22232223112112()()233233yvd yvy gdyy vgyvgyyvd yvy gdyy vgyvgy例 柔体的提升桌面上有一段柔软的绳子，被匀速地提升，试求提升力。设绳质量线密度为（kg/m），上升速度为v0。OyFv0解：变质量系统，离开桌

22、面部分动量改变率为：2 2000000()()()()d mvddyd mvddyyvvvyvvvdtdtdtdtdtdt垂直线段y受外力有：提升力F和重力-yg()()d mvdmd mvdmFvFvdtdtdtdt 变质量运动方程：2 20 02 20 000 v vvFFygvFFygFygvFygv 例 一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，其下端刚与地面接触.此时放开绳子，从静止状态开始下落.已知绳子质量为M,长为l，求下落到所剩长度为z时，地面对这段绳子的作用力.zOzzl 22 ()3 ()MMFvg lzllMFNmgNlzglMNg lzlzOzzl 绳子上端的下落速

23、度为 2 2v vg gl lz z 以地面上的绳子为研究对象：v=0 M Mm ml lz zl ld d m mM Mv vd d t tl l dtdmvvFdtvmd)(变质量体系运动方程变质量体系运动方程0mdvdt接触阶段：接触阶段： 两球对心接近运动两球对心接近运动形变产生阶段：形变产生阶段：两球相互挤压，最后两球速度相同两球相互挤压，最后两球速度相同动能转变为势能动能转变为势能形变恢复阶段：形变恢复阶段：在弹性力作用下两球速度逐渐不同而分在弹性力作用下两球速度逐渐不同而分开运动开运动势能转变为动能势能转变为动能分离阶段：分离阶段： 两球分离，各自以不同的速度运动两球分离，各自以

24、不同的速度运动两两体碰撞体碰撞碰撞符合动量守恒定律的适用条件碰撞符合动量守恒定律的适用条件完全弹性碰撞：完全弹性碰撞： 系统动能守恒系统动能守恒非弹性碰撞：非弹性碰撞： 系统动能不守恒系统动能不守恒完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞： 系统以相同的速度运动系统以相同的速度运动分类：分类：由动量守恒守恒和总动能守恒：弹性碰撞弹性碰撞如图所示这是 弹性碰撞所应遵循的两个一般关系12121122m vm vm vm v2211221122m vm v2211221122mvm vm22v1vm11 v2 v一维弹性碰撞一维弹性碰撞两球两球m1，m2对心碰撞，碰撞对心碰撞，碰撞前速度分别为前速度分别为v1

25、0 、v20，碰撞，碰撞后速度变为后速度变为v1、v2由上面两式可得由上面两式可得(3) 22021011vvmvvm(4) 222202210211vvmvvm动量守恒动量守恒(1) 2021012211vmvmvmvm(2) 2121212122022101222211vmvmvmvm动能守恒动能守恒(4)/(3)得得(5) 122010202101vvvvvvvv碰撞前两球相互趋近的相对速度（碰撞前两球相互趋近的相对速度（v10-v20 ）等于碰撞后两球相）等于碰撞后两球相互分开的相对速度（互分开的相对速度（v2-v1 ）由（由（3）、（）、（5）式可以解出）式可以解出 21101201

26、22212021021122mmvmvmmvmmvmvmmv 若若v20=021101221102112mmvmvmmvmmv讨论讨论若若m m1 1=m=m2 2，则，则v v1 1=v=v2020，v v2 2=v=v1010，两球碰撞时交换速度两球碰撞时交换速度。若若m m2 2mm1 1，且，且v v2020= =0 0，则，则v v1 1vv1010，v v2 22v2v1010，即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很小的球却以近似于两倍于大球体的速度

27、运动量很小的球却以近似于两倍于大球体的速度运动。若若v v2020= =0 0，m m1 1mm2 2，则，则v v1 1 - v - v1010，v v2 2= =0 0，m m1 1反弹，反弹，即质量很大且原来静止的物体，在碰撞后仍保持即质量很大且原来静止的物体，在碰撞后仍保持不动，质量小的物体碰撞后速度等值反向不动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。完全弹性碰撞完全弹性碰撞（五个小球质量全同）（五个小球质量全同）完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞碰撞后系统以相同的速度运动碰撞后系统以相同的速度运动 v1 1= =v2 2= =v动量守恒动量守恒 vmmvmvm21202101 21202101m

28、mvmvmv 动能损失为动能损失为 220102111221220221012 212121vvmmmmvmmvmvmE 非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞恢复系数恢复系数牛顿提出碰撞定律：碰撞后两球的分离牛顿提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速度速度v2-v1与碰撞前两球的接近速度与碰撞前两球的接近速度v10-v20之比为一定值，比值由两球材料得性质之比为一定值，比值由两球材料得性质决定。该比值称为决定。该比值称为恢复系数恢复系数。201012vvvve 21101201222120210211)1()1(mmvmevemmvmmvmevemmv 完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：e=0，v2=v1完全

29、弹性碰撞：完全弹性碰撞：e=1， v2-v1 = v10-v20 非完全弹性碰撞：非完全弹性碰撞：0e1动量守恒动量守恒 例例 通常用冲击摆来测量通常用冲击摆来测量 高速高速运动物体的速度运动物体的速度。MlM+m碰撞前后，水平方向动量守恒：碰撞前后，水平方向动量守恒：细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功；细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功；只有重力作功只有重力作功机械能守恒！机械能守恒！入射物体的速度：入射物体的速度：只需测量复摆所摆动的最大角度即可。只需测量复摆所摆动的最大角度即可。2()sin(/ 2)mMvglM21()()(1cos)2mMumMglumMmv)( uvm碰撞后，两

30、者一起运动，速度为碰撞后，两者一起运动，速度为umvmhMk 例例 考察如图示两考察如图示两物体间的完全非弹性碰撞碰物体间的完全非弹性碰撞碰撞撞，求弹簧对地面的最大压力。，求弹簧对地面的最大压力。(注意势能零点选择注意势能零点选择)mhMkM+m解：解：由于竖直方向上有重力、弹性力的作用，动量由于竖直方向上有重力、弹性力的作用，动量 不严格守恒。不严格守恒。 由于碰撞过程时间很短，与冲击力相比，上述由于碰撞过程时间很短，与冲击力相比，上述作用力的冲量可忽略不计。则作用力的冲量可忽略不计。则碰撞时竖直碰撞时竖直方向近似动量守恒方向近似动量守恒碰撞后的机械能守恒碰撞后的机械能守恒势能零点势能零点1xMkl0mhMkM+m2x竖直方向动量守恒竖直方向动量守恒对地面压力：对地面压力：2()Nfkx00()2mvMm Vvgh碰撞后的机械能守恒碰撞后的机械能守恒2()1()hkNMm gmgMm g2211222111()()() ()2210()() ()2()Mm V