数学培优竞赛新方法(九级)-第17讲-直线与圆

1、庞加莱第17讲直线与圆对数学之美的感受，对数与形之和谐的感受，对几何学之优雅的感受，这是一种所有数学家都深知的真正的美感。知识纵横直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，即可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到 直线的距离与圆的半径的大小比拟来考察。讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定力、弦切角的概念和性质、切线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下根本图形、根本结论:例题求解【例1】如图， ABC，AC BC 6, C 90 . O是AB的中O O与AC、BC分别相切于点 D与点E 点F是O O与AB的一个交 连DF并延长交CB的

2、延长线于点 G贝U CG=杭州市中考题思路点拨 连OD ,BG BF，先求出OD、BF的长。【例2】如图，在等腰三角形 ABC中，0为底边BC的中点，以0为圆心作半圆与 AB、AC相切，切M、N 那么BM CNBC2-的值等于111A. -B.C. 一D .1842天津市竞赛题点分别为D、E 过半圆上一点F作半圆的切线，分别交 AB、AC于思路点拨 分别从M、N点看，可运用切线长定理， 作出相应辅助线，探寻 BMO与 CNO的关系式关键。【例3】如图，直线 PA交O 0于A、B两点，AE是O 0的直径，点C为O 0上一点，且AC平分PAE ,过C作CD PA，垂足为D 1求证：CD为O 0的切

3、线;2丨假设DC DA 6, O 0的直径为10，求AB的长度.2022芜湖市中考题思路点拨 对于2，在1的根底上，设 DA x，那么CD 6 x，由角平分线性质或垂径定理建立x的方程。【例4】如图，O O的半径为6cm，射线PM经过点0 , OP 10cm,射线PN与O O相切于点 Q . A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/ s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/ s的速度沿 射线PN方向运动设运动时间为 ts .1丨求PQ的长；2丨当t为何值时，直线 AB与O O相切。南京市中考题 思路点拨 对于2，把相关线段用t的式子表示，寻找相似三角形，而动态思考、分类讨论是解题的关 键。J

4、DE / BC交AC于E ,连接EO并延长交BC于F F,求证：BF FC太原市竞赛题分析 要证明BF FC，只需证明OF BC即可，连OA,OB,OD，将问题转为证明DAO EFC动态思维【例6】如图，点 M(6 3,0)，N(0,6)，经过M、N两点的直线1以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，分别交 x轴、y轴于A、B两点，与此同时，点 P从点N出发，在直线1上以每秒1个单位的1丨用含t的代数式表示点 P的坐标;2丨过O作OC AB于C，过C作OC x轴于D，问：t为何值时,直线OC相切？并说明此时O P与直线CD的位置关系.分析 问题涉及平移点的运动， 把相关线段用t的式子表示是解题

5、的根底,以P为圆心、1为半径的圆与无锡市中考题而化动为静画出相切时图形分类讨论O P在左侧与0C相切是解题的关键。60D/TSr 、£学历训练根底夯实1.如图，AB与O O相切于点B ,A0的延长线交O O于点C，连接BC 假设 A 36，那么 C河北省中考题C0*第2题2如图，O M与x轴相交于A(2,0), B(8,0)，与y轴相切于点C，那么圆心M的坐标是沈阳市中考题3.如图，PA、PB切O O于点A、B，点C是O O上一点，且 ACB 65，那么P=度.河南省中考题4.如图，直线AB、CD相交于点O, A0C 30，半径为1cm的O P的圆心在射线OA上，开始时,P0 6cm

6、 .如果O P以1cm/秒的速度沿由 A向B的方向移动，那么当O P的运动时间t秒满足条件时，O P与直线CD相交.甘肃省中考题5，AB、AC与O 0相切于B、C , A 50，点P是圆上异于B、C的一动点，贝U BPC的度数是A. 65B. 115C. 65。和15D. 130 。禾506.如图， A、B两点的坐标分别为2,0,0,1, O C的圆心坐标为0, 1，半径为1假设D是O C 上的一个动点，射线 AD与y轴交于点E，贝U ABE面积的最大值是A.2B. 1C. 2-匹D. 2-后202A 5第6题苏州市中考题-1第7题01x7.如图.O 0的半径为2，点A的坐标为2,23.直线A

7、B为O O的切线，B为切点，那么点 B的坐标为威海市中考题8：如图，AB为O O的直径，CD、CB为O O的切线，D、B为切点，0C交O O于点E , AE的延长线交BC于点F ,连接AD、BD .以下结论：AD /0C ；点E为 CDB的内心；FC FE ；CE FB AB CF 其中正确的只有A .B .C .D .9.如图，直线yx 4交x轴与B点，交y轴于A点，O 0过两A、O两点。3(1) 如图，假设O o'交AB于点C,当o'在OA上时，求弦AC的长。(2) 如图，当O O'与直线丨相切于A点时，求圆心O'的坐标。(3) 当O'A平分 AOB

8、的外角时，请画出图形，并求O O'的半径长。DB10.如图，在 Rt ABC 中， C 90 ,BC 9, AC 12 , ABC 的平分线 BD 交 AC 与点 D , DE交AB于点E .1丨设O O是 BDE的外接圆，求证：AC是O O的切线;2丨设O O交BC于点F ,连接EF，求的值.AC芜湖市中考题第10题能力拓展11.如图，AB为半O O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半O O的切线交于点 P，假设第11题AB的长是2a，贝U PA的长是浙江省竞赛题12.如图，在 Rt ABC中， A 90 , O O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，假设AB

9、a、AC b，那么O O的半径等于13.如图，P是圆D的直径AB的延长线上的一点， PC与圆D相切于点C , APC的平分线交 AC于点四川省竞赛题14.如图，正方形 ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，M,N为切点，CE, DF交于点P 贝U AE=, PMN的面积是第14题2O D第15题15.如图，直线I的解析式是y 4x 4，并且与x轴、y轴分别交于 A、B两点一个半径为1.5的3OC,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当O C与直线I相切时，那么该 圆运动的时间为衡州市中考题16.如图在边长为2的正方形ABCD

10、中，E,F,0分别是AB,CD,AD的中点，以O为圆心，以OE为半径 画弧EF P是弧EF上的一个动点，连接 OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作O O的切线,BG分别交射线 AB于点M，交直线BC BC于点G G.假设 3，那么BK =BM金华市中考题17.如图， AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线，在弧 AB上任取一点C点C与A,B不重合，过点C作CD AB于D , E是CD的中点，连接 BE并延长交AP于点F，连接CF 1丨当点C是弧AB的中点时如图1，求证：直线CF是半圆O的切线;2丨当点C不是弧AB的中点时如图2，试猜测直线 CF与半圆O的位置关系，并证明你的猜测.苏

11、州市中考题4C:图1A图218.如图，/ BAC=90 °,AC=AB，直线I与以AB为直径的圆相切于点 B,点E是圆上异于 A、B的任意一 点.直线AE与I相交于点D .1丨如果 AD=10 , BD=6，求DE的长；2丨连接CE,过E作CE的垂线交直线 AB于F.当点E在什么位置时，相应的 F位于线段AB上、位于 BA的延长线上、位于 AB的延长线上写出结果，不要求证明无论点 E如何变化，总有 BD=BF .请你 就上述三种情况任选一种说明理由.河北省中考题19.如图，在等腰 ABC中，AB AC, C的平分线与边 AB交于点P , S、M分别为 ABC的内切圆I与边AB、BC的切点，作 MD /AC,交圆I于点D证明：PD是圆I的切线。全国初中数学竞赛题综合创新20.如图，AB是O O的直径，AB=d，过A作O O的切线并在其上取一点 C,使AC=AB，连接0C叫O0于点D , BD的延长线交AC于E.1求证：CD=AE ;2丨求AE的长.四川省竞赛题21.如图，O O的半径为1，点P是O O上