材料力学第十三章能量方法

1、第十三章第十三章 能量方法能量方法目目 录录13-1 13-1 概述概述13-2 13-2 杆内的应变能杆内的应变能13-3 13-3 卡氏定理卡氏定理13-4 13-4 超静定问题超静定问题13-5 13-5 单位力法单位力法13-6 13-6 功的互等定理功的互等定理13-7 13-7 虚功原理虚功原理13-1 13-1 概述概述 弹性体在静荷载作用下发生变形的同时，荷载所弹性体在静荷载作用下发生变形的同时，荷载所做的功将以应变能的形式储存于弹性体内部。荷载撤做的功将以应变能的形式储存于弹性体内部。荷载撤去后，弹性体所积蓄的应变能完全转换成其他形式的去后，弹性体所积蓄的应变能完全转换成其他

2、形式的能量释放出来。应用功、能的概念和能量守恒定律，能量释放出来。应用功、能的概念和能量守恒定律，推导出一系列求解变形固体的位移、变形和内力的方推导出一系列求解变形固体的位移、变形和内力的方法，统称为法，统称为能量方法能量方法。Fll 能量方法作为固体力学的一个重要基础，广泛地用于能量方法作为固体力学的一个重要基础，广泛地用于求解各类力学问题。例如，通用性很强的一种数值计算方求解各类力学问题。例如，通用性很强的一种数值计算方法法有限元方法，其理论基础之一就是能量原理。本章有限元方法，其理论基础之一就是能量原理。本章仅介绍能量方法中的部分内容。首先介绍杆件应变能的计仅介绍能量方法中的部分内容。首

3、先介绍杆件应变能的计算；然后导出求线弹性结构位移的算；然后导出求线弹性结构位移的卡氏定理卡氏定理，并用它来解，并用它来解超静定问题。超静定问题。Fll1dF1FFl1l)(1ld OFl11dWFdl所以，拉力所以，拉力F所做的功：所做的功：一、拉（压）杆的应变能一、拉（压）杆的应变能变形固体在外力作用下发变形固体在外力作用下发生弹性变形的同时，内部生弹性变形的同时，内部将积蓄能量。外力撤去后，将积蓄能量。外力撤去后，变形随之消失，弹性体内变形随之消失，弹性体内积蓄的能量也同时释放出积蓄的能量也同时释放出来。来。弹性体伴随其弹性变弹性体伴随其弹性变形而积蓄的能量称为应变形而积蓄的能量称为应变能

4、（变形能）能（变形能），以，以V表示。表示。利用功能原理求拉（压）杆利用功能原理求拉（压）杆的应变能，略去能量损失的应变能，略去能量损失（外力功）（外力功）W数值上数值上V(应变能）应变能）荷载荷载F1在位移增量在位移增量d(l1)上作元功上作元功:（阴影图形面积）（阴影图形面积）110()lWF dlAB13-2 13-2 杆内的应变能杆内的应变能110()lEAl dll 12Fl12VWF l故应变能为：故应变能为：110()lWF dl2()2EAllOABS12FlFEA22NF lEA22EA ll应变能的国际单位：焦耳应变能的国际单位：焦耳1J=1N mFll（13-1）1dF1

5、FFl1l)(1ld OFlABVVv 22122EE2F lAl12oAB（13-2）应变能密度的国际单位：焦耳应变能密度的国际单位：焦耳/米米3（J/m3）Fll 因为在因为在l长度内各横截面上所有点的正应力长度内各横截面上所有点的正应力 和线应变和线应变均分别均分别相同，故杆内各处单位体积内积蓄的应变能亦应相同。每单位体相同，故杆内各处单位体积内积蓄的应变能亦应相同。每单位体积内的应变能称为积内的应变能称为应变能密度应变能密度，用，用v表示。表示。则则E二、等直圆杆扭转时的应变能二、等直圆杆扭转时的应变能eMlABeMeMAOB与计算拉（压）杆的应变能类似，仍与计算拉（压）杆的应变能类似

6、，仍采用功能原理来推导，即外力功就等采用功能原理来推导，即外力功就等于应变能。于应变能。当杆在线弹性范围内工作时，即最大切当杆在线弹性范围内工作时，即最大切应力未超过材料的剪切比例极限时，扭应力未超过材料的剪切比例极限时，扭转角转角 与与外力偶矩外力偶矩Me成正比，如图所示。成正比，如图所示。外力偶矩外力偶矩Me所做的功为所做的功为12eWM所以杆内的应变能为所以杆内的应变能为12eVWMppeM lTlGIGI又 故故2p2T lVGI（13-3a）或或2p2GIVl（13-3b）三、弯曲应变能三、弯曲应变能(a)纯弯曲纯弯曲eMeMlEIeMeMAOB图示表示一等截面简支梁，在两端受外图示

7、表示一等截面简支梁，在两端受外力偶矩力偶矩Me作用，使梁发生纯弯曲，各截作用，使梁发生纯弯曲，各截面的弯矩面的弯矩M都等于外力偶矩都等于外力偶矩Me。当材料。当材料在线弹性范围内工作时，由（在线弹性范围内工作时，由（5-1）式可）式可知，梁的轴线将弯成曲率为知，梁的轴线将弯成曲率为M/EI的圆弧，的圆弧，而两端截面之间的相对转角而两端截面之间的相对转角为为leM lMlEIEI外力偶矩外力偶矩Me所做的功为所做的功为12eWM所以梁内的应变能为所以梁内的应变能为12eVWM即即22M lVEI22EIl（13-4）(b)横力弯曲横力弯曲lxFw M x M xdM x sFx sFxdxd在横

8、力弯曲时，梁的横截面上既有弯矩又在横力弯曲时，梁的横截面上既有弯矩又有剪力，且均为截面位置有剪力，且均为截面位置x的函数，此时梁的函数，此时梁内应变能应包含两部分：与弯曲变形相应内应变能应包含两部分：与弯曲变形相应的弯曲应变能和与剪切变形相应的剪切应的弯曲应变能和与剪切变形相应的剪切应变能。但对于常用的细长梁，剪切应变能变能。但对于常用的细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比很小，可略去不计。在与弯曲应变能相比很小，可略去不计。在计算弯曲应变能时，可从梁内取出长为计算弯曲应变能时，可从梁内取出长为dx的微段来研究，如图。的微段来研究，如图。微段弯曲应变能微段弯曲应变能 2dd2MxxVEI全梁的弯

9、曲应变能全梁的弯曲应变能 2d2lMxxVEI横力弯曲时梁的应变能横力弯曲时梁的应变能 20d122lMxxVWFwEI（13-5）求出杆件的应变能后，可使用功能原理来求出结构在一些特殊位求出杆件的应变能后，可使用功能原理来求出结构在一些特殊位置的位移置的位移BAC12F30例例13-1 图示三角架，图示三角架，AB杆为圆截面钢杆，杆为圆截面钢杆， 长度长度l1=1m，直径，直径d=30mm，弹性模量，弹性模量 E1=200GPa。BC杆为正方形截面木杆，边杆为正方形截面木杆，边长长a=150mm ，弹性模量，弹性模量 E2=10GPa，荷载，荷载 F=30kN 。试求三角架的应变能，并求节点

10、。试求三角架的应变能，并求节点B的铅垂位移。的铅垂位移。解：解：160k N ()NF拉力252k N ()NF压力BF301NF2NF（1）求）求1、2杆轴力杆轴力210, cos300 xNNFFF10, sin300yNFFF解得：解得：BAC12F30l1=1m，d=30mm， E1=200GPaa=150mm ， E2=10GPa，F=30kN160k N ()NF拉力252k N ()NF压力(2) 求结构的应变能和求结构的应变能和B节点位移节点位移1222N1N2112222F lF lVE AE A223329329360 10152 101 cos302 10 10150 1

11、02 200 1030 10417.93N m 节点节点B的铅垂位移与荷载的铅垂位移与荷载F的方向相同，由弹性体的功能原的方向相同，由弹性体的功能原理，荷载理，荷载F所作的功在数值上应等于三角架内的应变能，即所作的功在数值上应等于三角架内的应变能，即12yFV 2yVF 32 17.93N m30 10 N31.195 10 m 1.195mm例例13-2 图示图示AB、CD为等直圆杆，为等直圆杆， 其扭转刚度均为其扭转刚度均为GIp，BC为刚性为刚性块，在块，在D截面处作用外力偶矩截面处作用外力偶矩Me。试利用外力偶矩所做的功在数值。试利用外力偶矩所做的功在数值上等于储存在杆内的应变能这一关

12、系，求上等于储存在杆内的应变能这一关系，求D截面的扭转角截面的扭转角 D。ABCDl/2l刚性块刚性块eM解：利用截面法可求出解：利用截面法可求出AB、CD杆的扭杆的扭矩分别为矩分别为1eTM 2eTMAB、CD杆扭转时的应变能分别为杆扭转时的应变能分别为12ep2MlVGI222eepp/224MlM lVGIGI整个系统的应变能为整个系统的应变能为12222eeeppp3244M lM lM lVVVGIGIGI外力偶矩外力偶矩Me所做的功为所做的功为e12DWM令令WV即即2ep3124eDM lMGIp32eDM lGI(转向和外力偶矩转向和外力偶矩Me的转向一致的转向一致)四、三向应

13、力状态下的应变能密度四、三向应力状态下的应变能密度1.关于应变能的进一步讨论关于应变能的进一步讨论2 3126BF lVWFwEI可见可见V与与F不成线性关系，故应变能不能用叠加法不成线性关系，故应变能不能用叠加法 。33BFlwEI1FEI2l2l2F211FEI111wEI2F222w1V2 3148F lEI2V2 326F lEIV11112Fw22212F w2 32 31212486F lF lVVVEIEI根据能量守恒可知，应变能取决根据能量守恒可知，应变能取决于外力（或变形）的最终值，而于外力（或变形）的最终值，而与加载顺序无关。与加载顺序无关。FEIlBw1）设）设F1和和F

14、2同时作用在梁上，且按同一比例由零逐渐增加到最终同时作用在梁上，且按同一比例由零逐渐增加到最终值值简单加载简单加载用叠加法，求用叠加法，求F1和和F2共同产生的共同产生的 和和 。2w1w332222125 , 348F lF lwwEIEI331111215 , 2448FlFlwwEIEI33121111252448FlF lwwwEIEI11221122VWFwF w1FEI2l2l2F211w2w21w1FEI111w212wEI2F222w13321222215348F lFlwwwEIEI122 32 3312548648F lF lFF lEIEIEI2）先加）先加F1再加再加

15、F2123VWWWEI1F122F11w12w111112WFw222212WF w3112WFw122 32 3312548648F lF lFF lEIEIEI12 348F lEI22 36F lEI312548FF lEI所以所以22w2.应变能密度应变能密度单位体积内积蓄的应变能称为单位体积内积蓄的应变能称为应变能密度应变能密度，用，用v表示。表示。单向应力状态下的应变能密度：单向应力状态下的应变能密度：oABE12v22122EE三向应力状态下的应变能密度：三向应力状态下的应变能密度：132312采用简单加载方式，即设主应采用简单加载方式，即设主应力力 1 1、 2 2、 3 3同

16、时作用并且按同时作用并且按同一比例由零逐渐增加到最终同一比例由零逐渐增加到最终值，主应变由三个主应力共同值，主应变由三个主应力共同产生的。产生的。132312设材料是各向同性且在线弹性范围内工作，则设材料是各向同性且在线弹性范围内工作，则由广义胡克定律（由广义胡克定律（9-8a）得）得33121vE11231vE22311vE(9-8a)222123122331122vE 故三向应力状态下的应变能密度为：故三向应力状态下的应变能密度为：1 1223 312v (13-6)3.形状改变能密度（歪形能密度）形状改变能密度（歪形能密度）132（a）mmm（b）m12313132（c）11m22m 3

17、3m 形状不变形状不变体积改变体积改变形状改变形状改变体积不变体积不变312体积改变能密度体积改变能密度vvvv形状改变能密度形状改变能密度vdvdv为叙述方便，对图（为叙述方便，对图（b）、（）、（c）所示的两种应力状态，分别称为）所示的两种应力状态，分别称为第一状态和第二状态。第一状态和第二状态。先作用第一状态的应力，再作用第二状态的应力，则原单元体先作用第一状态的应力，再作用第二状态的应力，则原单元体的应变能密度为的应变能密度为v vvvdvv 而而m1m2m3 0132mmm132（a）（b）（c）m1231311m22m 33m 形状不变形状不变体积改变体积改变形状改变形状改变体积不

18、变体积不变312vvvdvvdvvv即即这样，图（这样，图（a）所示的单元体的形状改变能密度就可通过（）所示的单元体的形状改变能密度就可通过（c）所示的单元体来求得。所示的单元体来求得。 由（由（13-6）式）式222d123122331122vE 22212233116E（13-7）例例13-3 按照依次作用主应力按照依次作用主应力 1 1、 2 2和和 3 3的顺序，求图（的顺序，求图（a a）所示）所示三向应力状态下的应变能密度。三向应力状态下的应变能密度。11223313E 11E 12E 23E 21vE 22E 33E31E 32E 132（a）解：解：先作用先作用 1 1时时1v

19、2112E再作用再作用 2 2时时2v2212 1 1 221212EE 最后作用最后作用 3 3时时3v3312 1 1 22 23233112EEE 1 112 112233132（a）2v2212 1 1 221212EE 3v3312 1 1 22 23233112EEE 1v2112E1 112 所以所以123vvvv222123122331122vE 例例13-4 试证明各向同性材料的三个弹性常数试证明各向同性材料的三个弹性常数E、G 、v 之间存在之间存在如下关系如下关系2 1EGv证明：设单元体处于纯剪切应力状态证明：设单元体处于纯剪切应力状态图图(a)，在线弹性范围内，在线弹

20、性范围内切应力和切应变成正比的剪切胡克定律是切应力和切应变成正比的剪切胡克定律是dxdydzxy(a)xyxxyG在小变形的条件下，单元体左右两个面的相对在小变形的条件下，单元体左右两个面的相对错动量为错动量为 xydx，单元体内积蓄的应变能在数值，单元体内积蓄的应变能在数值上等于切向力上等于切向力 xdydz在位移在位移 xydx上所作的功。上所作的功。因为因为 x与与 xy成线性关系，故积蓄的应变能为成线性关系，故积蓄的应变能为12xxydVdydzdx2122xxxydxdydzdxdydzG 从而得到应变能密度为从而得到应变能密度为22xdVvdxdydzG(1)22212312233

21、1122vE 令（令（1）=（2）2 1EGvx4513xydxdydzxy(a)xy22xdVvdxdydzG(1)由（由（13-6）可知，应变能）可知，应变能密度又可用主应力表示。密度又可用主应力表示。1x203x 2221=02002 xxxvE21xvE(2)2212xxvGE五、五、 组合变形时杆件内的应变能组合变形时杆件内的应变能基本变形时杆件的应变能：基本变形时杆件的应变能：拉（压）杆：拉（压）杆：Fll2122NF lVWF lEA 圆杆扭转：圆杆扭转：2ep122T lVWMGIeMlAB纯弯曲：纯弯曲：2e122M lVWMEIeMeMlEI横力弯曲：横力弯曲： 20d12

22、2lMxxVWFwEIlxFw细长梁，剪切应变能细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比很与弯曲应变能相比很小，可略去不计。小，可略去不计。杆件在基本变形时的应变能计算公式可以统一写成杆件在基本变形时的应变能计算公式可以统一写成12VWF（13-8）F广义力：广义力： 集中力、集中力偶、一对大小相等、方向相反的集中力、集中力偶、一对大小相等、方向相反的集中力、一对大小相等、转向相反的集中力偶等。集中力、一对大小相等、转向相反的集中力偶等。广义位移：广义位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移线位移、角位移、相对线位移、相对角位移如果杆件上受有多个荷载，例如承受两个集中力作用的简支梁，采如果杆件上

23、受有多个荷载，例如承受两个集中力作用的简支梁，采用按比例加载的方式用按比例加载的方式(通常称为简单加载通常称为简单加载)，即在加载过程中两个力，即在加载过程中两个力保持固定的比值保持固定的比值BA1F2F12载荷由零增至最终值载荷由零增至最终值F1、F2时，力的时，力的作用点的位移亦达到最终值作用点的位移亦达到最终值 1、 2。12FkF（常数）（常数） 1、 2是是F1、F2共同产生的共同产生的112212aFbFcFdF 式中，式中，a、b、c、d为比例常数。将为比例常数。将k代入有代入有1122baFkckd F 左式表明，简单加载时各力与其对应的左式表明，简单加载时各力与其对应的位移成

24、正比。因此此梁内的应变能为位移成正比。因此此梁内的应变能为11221122VWFF 22121122bVaFckd Fk把上式中的位移用力表示有把上式中的位移用力表示有由上式可知：可将应变能表示成外力（或位移）的二次函数，由上式可知：可将应变能表示成外力（或位移）的二次函数，因此求应变能是不能用叠加法的。因此求应变能是不能用叠加法的。BA1F2F1212FkF推广到推广到n个力：个力：BAiF12nF1F2Fin1122111112222nnniiiVWFFFF 其应变能的计算公式为其应变能的计算公式为（13-9）该式通常称为该式通常称为克拉比隆定理克拉比隆定理，它表明线弹性体内的应变能等于每

25、，它表明线弹性体内的应变能等于每一外力与其相应位移乘积之半的总和。式中的一外力与其相应位移乘积之半的总和。式中的Fi、 i都应是广义都应是广义力及其相应的广义位移。力及其相应的广义位移。组合变形时杆件的应变能组合变形时杆件的应变能 M x dM xM xdx NFx NFx T x T x sFx sFx小变形：每种力只在它自身引起的小变形：每种力只在它自身引起的位移上做功。略去内力增量做的功位移上做功。略去内力增量做的功和剪切应变能。和剪切应变能。222NP( )d( )d( )dd222FxxTxxMxxVEAGIEI微段的应变能为微段的应变能为杆件内的应变能则为杆件内的应变能则为222(

26、 )( )( )222NlllPFx dxTx dxMx dxVEAGIEI上式表明，受力杆件内的应变能是内力的二次函数。再一次强上式表明，受力杆件内的应变能是内力的二次函数。再一次强调，当杆件受到一组引起同一种基本变形的外力作用时，杆的调，当杆件受到一组引起同一种基本变形的外力作用时，杆的应变能不等于各外力单独作用时的应变能之和。应变能不等于各外力单独作用时的应变能之和。 M x dM xM xdx NFx NFx T x T x sFx sFx222NP( )d( )d( )dd222FxxTxxMxxVEAGIEI（13-10）当杆件受到一组引起不同基本变形的外力作用时，在小变形时，当杆

27、件受到一组引起不同基本变形的外力作用时，在小变形时，杆的应变能等于各力单独作用时的应变能之和，即可用叠加法求杆的应变能等于各力单独作用时的应变能之和，即可用叠加法求应变能。应变能。eMFFeM12VVV练习：练习：l. 各构件受力如图所示。设构件在力（或力偶）单独作用时各构件受力如图所示。设构件在力（或力偶）单独作用时的应变能，分别用的应变能，分别用V（F）、）、 V（Me）、）、 V（T）、）、 V（F1）、）、 V（F2）表示，则下列与各图对应的构件应变能的表达式中，正确的）表示，则下列与各图对应的构件应变能的表达式中，正确的为（为（ ）。）。 FeM A1F2F BeMT C1F2F D

28、 e AVVFVM 12 BVVFVF e CVVMV T12 DVVFVFBC、2. 一简支梁在一简支梁在F和和Me分别作用下的挠度和转角如图所示。若在分别作用下的挠度和转角如图所示。若在F和和Me共同作用下，梁的应变能共同作用下，梁的应变能V为（为（ ）。）。F11w1221eM12w1222 11e2211 22AFwM 1112e22111 222BFwFwM 11e22e21111 222CFwMM 11e22e2111 22EFwMM11e221211 22DFwMFwDE、3. 试分别利用克拉比隆定理和（试分别利用克拉比隆定理和（13-10）式计算图示悬臂梁的应变）式计算图示悬臂

29、梁的应变能。梁的弯曲刚度为能。梁的弯曲刚度为EI。FeMABC/2l/2l（a）利用克拉比隆定理求应变能）利用克拉比隆定理求应变能32e/2/232CF lMlwEIEI23e248M lFlEIEI2e/22BF lM lEIEI2e8M lFlEIEIe1122CBVFwM222 3ee4882FM lM lF lEIEIEI（b）利用（）利用（13-10）式求应变能）式求应变能1x2x22/2/212120022llMxMxVdxdxEIEI22/2/2e2e120022llMFxMdxdxEIEI222 3ee2848M lFM lF lEIEIEI两者计算结果相同两者计算结果相同13

30、-3 13-3 卡氏定卡氏定理理引例：引例： 222 3200dd226llMxFF lVxxxEIEIEI M xFx FEIlBwxABVFBw33FlEI(这不是巧合这不是巧合) 图（图（a）所示的线弹性简）所示的线弹性简支梁，承受支梁，承受n个相互独立的广个相互独立的广义力义力F1，F2，Fn，与其对，与其对应的广义位移为应的广义位移为 1， 2， n，采用简单加载的方式，则，采用简单加载的方式，则梁内的应变能为梁内的应变能为BAiF12nF1F2Fin（a）112niiiVF12,nVVF FF 由于力与位移呈线性关系，由于力与位移呈线性关系，将上式中的位移用力来替代，将上式中的位移

31、用力来替代，则应变能为力的二次齐次函数，则应变能为力的二次齐次函数，写成一般的函数式为写成一般的函数式为BAidFidnF1F2FiF（b） 上式表明应变能是上式表明应变能是n个相个相互独立的广义力的函数，当互独立的广义力的函数，当任一力任一力Fi有一微小增量有一微小增量dFi，而其它力保持不变而其它力保持不变(图图b)，根，根据偏微分的概念，应变能增据偏微分的概念，应变能增量是量是BAiF12nF1F2Fin（a）112niiiVFdiiVdVFF此时梁的应变能变为此时梁的应变能变为diiVVVFFiFnF1F2Fi 如果加力的顺序为先加如果加力的顺序为先加dFi，然后再加这组力，然后再加这

32、组力(图图c)，梁的应变能为梁的应变能为V 根据应变能和加载顺序无关，根据应变能和加载顺序无关，应有应有 。在略去二阶微量。在略去二阶微量后，得到后，得到VViiVF 上式称为上式称为卡氏第二定理卡氏第二定理，简称，简称卡氏定理卡氏定理。卡氏定理表明：卡氏定理表明：线弹性结构内的应变能对作用于其上的某一线弹性结构内的应变能对作用于其上的某一广义力之偏导数，就等于该力作用点沿其作用方向的位移。广义力之偏导数，就等于该力作用点沿其作用方向的位移。diiVVVFF（13-11）iidF12iidFdVBA(c)idFdiBAiF12nF1F2FiniiVF （13-11）具体应用：具体应用： 弯曲弯

33、曲212inNiiF lVEA2( )2lMx dxVEIiiVF 1dliM xM xxEIF 扭转扭转2( )2lPTx dxVGIiiVF p1dliT xT xxGIF 桁架节点位移桁架节点位移iiVF 11iinNNiiiFFlEAF（卡氏定理）（卡氏定理）例例13-5 图示梁的弯曲刚度为图示梁的弯曲刚度为EI，试求，试求A截面的挠度和转角截面的挠度和转角(不计剪不计剪力对位移的影响力对位移的影响)。解解: 梁的梁的弯矩方程及其偏导数为弯矩方程及其偏导数为( ) 0eM xMFxxl01leMFxx dxEIAVwF01( )( )lM xM xdxEIF36FlEI结果为正，说明挠

34、度的方向与结果为正，说明挠度的方向与F的指向相同的指向相同01leMFx dxEIeAVM0e1( )( )dlM xM xxEIM26FlEI 结果为负，说明转角的转向与结果为负，说明转角的转向与Me的转向相反的转向相反xF3eFlM lBA注意：此时（求偏导之前）不能将注意：此时（求偏导之前）不能将 代入代入e3FlM ( )M xxF e( )1M xM ( )例例13-6 悬臂梁受力如图所示，在两个悬臂梁受力如图所示，在两个F力共同作用下，力共同作用下，A、B两截两截面的挠度分别为面的挠度分别为wA和和wB。试证明：。试证明：ABVwwFFEIFABBwAwAFBF证明：证明：设作用在

35、设作用在A、B两截面上的外力为两截面上的外力为FA和和FB，且且FA=FB=F，则梁的应变能为，则梁的应变能为V= V （FA、FB ）。根据复合函数求）。根据复合函数求导法则，有导法则，有VFAAVFFFBBVFFFABwwABVVFF当只求当只求wA时，可将时，可将A、B截面处的截面处的F力区分开，令力区分开，令A截面处的截面处的F力为力为FA ，则，则AAVwFAFF 若结构上不同的外力用同一字母表示，当求某个力的作用点若结构上不同的外力用同一字母表示，当求某个力的作用点沿其作用方向的位移时，应将该力与其它力区分开，应用卡氏定沿其作用方向的位移时，应将该力与其它力区分开，应用卡氏定理后，

36、再令该力等于原来值。理后，再令该力等于原来值。例例13-7 图（图（a）所示刚架各杆的弯曲刚度）所示刚架各杆的弯曲刚度EI相同，试求相同，试求A截面截面的水平位移的水平位移 Ax和铅垂位移和铅垂位移 Ay(不计剪力和轴力对位移的影响不计剪力和轴力对位移的影响)。解：解： (1)A截面的铅垂位移截面的铅垂位移 用卡氏定理求位移时，结构用卡氏定理求位移时，结构上的外力是独立的自变量，上的外力是独立的自变量，因此需要将因此需要将A处的处的F力和力和C处处的的F力区分开，分别以力区分开，分别以FA和和FC表示表示(图图b)AB段段( )AM xF x ( )AM xxF BC段段1()AM yF l

37、1()AM ylF CD段段22()ACM yF lF y 2()AM ylF 各段的弯矩方程及其对各段的弯矩方程及其对FA的偏导数是的偏导数是FlllFBACD(a)BACD(b)AFFCFFxy1y2A截面的铅垂位移是截面的铅垂位移是AyAVF111002220()1( )( )()()()llAAlAM yM xM xdxM ydyEIFFM yM ydyF将将FAFCF代入上式，得到代入上式，得到2221220001lllAyFx dxFl dyFlFlydyEI3333132FlFlFlFlEI 317 6FlEIBACD(b)AFFCFFxy1y2(2)A截面的水平位移截面的水平位

38、移 既然结构上的外力视为既然结构上的外力视为独立的自变量，因此它的值独立的自变量，因此它的值等于零也是可以的。在求等于零也是可以的。在求A截截面的水平位移时，于此处添面的水平位移时，于此处添加一水平集中力加一水平集中力F0（图（图c），），应用卡氏定理后，令其等于应用卡氏定理后，令其等于零，即可得到零，即可得到A截面的水平位截面的水平位移。移。AB段段( )M xFx 0( )0M xFBC段段101()M yFlF y 110()M yyF CD段段2202()M yF lyF ly 220()M ylyF 各段的弯矩方程及其对各段的弯矩方程及其对F0的的偏导数是偏导数是FlllFBACD(

39、a)0FBACD(c)FFxy1y2A截面的水平位移为截面的水平位移为0AxVF将将F00代入上式，得到代入上式，得到211220010llAxFly dyF lydyEI3333123FlFlFlFlEI317 6FlEI结果为正，说明位移方向与虚设外力结果为正，说明位移方向与虚设外力F0的指向一致。的指向一致。0FBACD(c)FFxy1y2111000022200()1( )( )()()()lllM yM xM xdxM ydyEIFFM yM ydyF练习：练习：1. 用卡氏定理求图示简支梁用卡氏定理求图示简支梁A截面的挠度和截面的挠度和B截面的转角。截面的转角。梁的弯曲刚度为梁的弯

40、曲刚度为EI。Fe2MFl/3l/3l/3lABe3MFle23MFl1x2x3x解解：求支座反力：求支座反力e11( )3MFM xxl11()3M xxF11e()M xxMl e22e()3MFM xxMl22()3M xxF12e()1M xxMl e332()3MFM xxl33()23M xxF31e()xM xMlFe2MFl/3l/3l/3lABe3MFle23MFl1x2x3xAVwF/3211015d9lFxxEI2 /32222/352+d93llFlFxxx/3233016d9lFxx319 243FlEI eBVM/32 /3/3222112222330/301555

41、8d223333llllFFFFxxxxFxFl dxx dxEIlll241 162FlEI( )2. 图示刚架各杆的弯曲刚度图示刚架各杆的弯曲刚度EI相同，试求相同，试求A截面的水平位移截面的水平位移Ax和和B截面的转角截面的转角B。解解：（：（1）求）求Ax各段的弯矩方程及其各段的弯矩方程及其对对FA的偏导数为的偏导数为将将A处的处的F力用力用FA表示，表示，然后求支座反力然后求支座反力FlllFBACD（先区分，再求反力）（先区分，再求反力）AFFFBACDx1y2y( )2AM xFFx( )2AM xxF11()2AAM yFFlF y11()2AM ylyF22()AM yFFy

42、22()AM yyFAFF2AFF2AFFAFFFBACDx1y2y( )2AM xFFx( )2AM xxF11()2AAM yFFlF y11()2AM ylyF22()AM yFFy22()AM yyF211122000132d322lllFxxxFlFylydyFy dyEIAxAVFAFF3132FlEI3331232263FlFlFlEI（2）求）求BFlllFBACD在在B处虚加一力偶处虚加一力偶M0，然后求支座反力然后求支座反力（先虚加，再求反力）（先虚加，再求反力）0MFFBACDx1y2y2F03MFl03MFl各段的弯矩方程及其各段的弯矩方程及其对对M0的偏导数为的偏导数

43、为0( )3MM xFxl0( )M xxMl0110()3MM yFlFyMl22()2M yFy13FlFy10()0M yM20()0M yM0MFFBACDx1y2y0( )3MM xFxl0( )M xxMl22()2M yFy1()M y13FlFy10()0M yM20()0M yM0BVM00M 013dlxFxxEIl2FlEI( )例例13-8 用卡氏定理用卡氏定理求求C截面的挠度截面的挠度wC。梁的弯曲刚度为。梁的弯曲刚度为EI。qBAC2l2l0Fx解：在解：在C截面虚加竖直力截面虚加竖直力F0(先虚加，再求支反力先虚加，再求支反力) 20 02222FqlqxlM x

44、xx 02M xxF0CVwF00F 2/202d222lqlqxxxxEI421281616qllqlEI 45384qlEIx022Fql022Fql（利用对称性）（利用对称性）例例13-9 用卡氏定理用卡氏定理求求B截面的转角截面的转角B。eMBAC2l2lEI4EI1x2xeMleMl解：求支座反力，如图解：求支座反力，如图各段的弯矩方程及其对各段的弯矩方程及其对Me的偏导数为的偏导数为e11MM xxl11eM xxMle2e2MM xMxl22e1M xxMl eBVM/2211201dleMxxEIl2/22e2011d4lxMxEIl3e212442424eMMllllEIlE

45、Ie1196M lEI( )e1724424eM lMlEIEI例例13-10 图示桁架在节点图示桁架在节点B受水平集中力受水平集中力F作用，各杆的拉伸和压作用，各杆的拉伸和压缩刚度缩刚度EA相等，试求节点相等，试求节点B的水平位移的水平位移Bx以及以及B、D节点间的相对节点间的相对线位移线位移BD。FABCD12345ll解：解：1.求求Bx根据桁架整体的平衡条件，求得支反力根据桁架整体的平衡条件，求得支反力AxAyDyFFFFFFF由节点由节点B、D、C的平衡条件的平衡条件(如图如图)，依次求得各杆的轴力，依次求得各杆的轴力FB2NF1NFDF3NF4NFC2NF3NF5NF10NF2NF

46、F 3NFF 40NF52NFFFABCD12345ll10NF2NFF 3NFF 40NF52NFF桁架内的应变能为桁架内的应变能为2512iNiiF lVEA511iiNNiiFFlEAF节点节点B的水平位移为的水平位移为BxVF3522352351NNNNNNFFFFlFlFlEAFFF111222FlFlFlEA 2 12 FlEA12 2FlFlFlEAFABCD12345ll在在B、D节点处虚加一对力节点处虚加一对力F00F0FFFFC2NF3NF5NFFB2NF1NF0FDF3NF4NF0F2. 求求BD14022NNFFF 23022NNFFFF 502NFFF021,2,3,

47、42iNFiF 501NFF5101iiNNiiFFlEAF0BDVF00F 122222FlFlEA22 FlEA（ ）例例13-11 圆截面钢折杆的直径为圆截面钢折杆的直径为d，材料的弹性常数，材料的弹性常数G=0.4E，试求，试求A端的铅垂位移和角位移。（不计剪力对位移的影响）端的铅垂位移和角位移。（不计剪力对位移的影响）ABCFl/2lxzxyoz解：该题为平面刚架，受垂直于刚架解：该题为平面刚架，受垂直于刚架平面的荷载平面的荷载F作用，其中作用，其中AB杆产生弯杆产生弯曲变形，曲变形，BC杆为弯扭组合变形。杆为弯扭组合变形。1. 求求AyAB段：段： M xFx M xxF BC段：

48、段： M zFz M zzF 2FlT z 2T zlF AyVF/222000p11ddd22lllFllFxxFzzzEIGI333112430.424FlFlFlEIEI 31116FlEI2. 求求A的角位移的角位移ABCFl/2lxyoz 绕绕z轴转轴转角角A在在A截面虚加绕截面虚加绕z轴的力偶轴的力偶M00MxzAB段：段： 0M xFxM 01M xM BC段：段： M zFz 00M zM 02FlT zM 01T zM 0AVM00M /200p11dd2llFlFx xzEIGI22p/222F lFlEIGI2282 0.42FlFlEIEI234FlEIz（ ）ABCF

49、l/2lxyoz 绕绕x轴转轴转角角 A在在A截面虚加绕截面虚加绕x轴的力偶轴的力偶M00MAB段：段： M xFx 00M xMBC段：段： 0M zFzM 01M zM 0T xM 01T xMxz0AVM00M 01dlFz zEI22FlEI（ ）x 2FlT z 00T zM例例13-12 弯曲刚度为弯曲刚度为EI的一小曲率等截面开口圆环，于开口处受的一小曲率等截面开口圆环，于开口处受一对大小相等、指向相反的力一对大小相等、指向相反的力F作用，试求圆环开口处的张开量。作用，试求圆环开口处的张开量。RFF解：解： 圆环所受的等值而反向的一对集中力，圆环所受的等值而反向的一对集中力，可视

50、为一广义力，与其对应的广义位移是两可视为一广义力，与其对应的广义位移是两施力点间的相对线位移施力点间的相对线位移 。该。该 值就是圆环开值就是圆环开口处的张开量。口处的张开量。 圆环横截面上的内力一般应有弯矩、圆环横截面上的内力一般应有弯矩、剪力和轴力剪力和轴力(右图右图)，相应的应变能包括弯，相应的应变能包括弯曲应变能、剪切应变能和拉压应变能。曲应变能、剪切应变能和拉压应变能。 分析表明，当圆环的半径分析表明，当圆环的半径R与圆环截面与圆环截面高度高度h之比大于之比大于5时时(通常称为小曲率曲杆通常称为小曲率曲杆)，在求位移时可以不计轴力和剪力的影响，在求位移时可以不计轴力和剪力的影响，而且

51、可以近似用直梁弯曲应变能的计算公而且可以近似用直梁弯曲应变能的计算公式。式。SFFMNF 用用 表示圆环横截面的位置，并规定表示圆环横截面的位置，并规定使曲率增大的弯矩为正使曲率增大的弯矩为正(即内侧纤维受压即内侧纤维受压时的弯矩为正时的弯矩为正)，则弯矩方程及其对，则弯矩方程及其对F的的偏导数为偏导数为( )1 cosMFR ( )(1 cos )MRF 利用结构和受力的对称性，计算半个圆环的应变能，然后乘利用结构和受力的对称性，计算半个圆环的应变能，然后乘以以2，即得圆环内的应变能。应用卡氏定理，可得开口处的相对，即得圆环内的应变能。应用卡氏定理，可得开口处的相对线位移为线位移为VF 02

52、( )( )MMRdEIF3202(1 cos )FRdEI 结果为正，表示广义位移与广义力的指向一致，即开口处结果为正，表示广义位移与广义力的指向一致，即开口处两侧相对远离。两侧相对远离。323sin22sin024FREI33 FREI SFF1 cosRMNF若将上题变化如下：若将上题变化如下：由弯曲刚度为由弯曲刚度为EI薄钢条制成的开口圆环，开口薄钢条制成的开口圆环，开口量为量为 。求欲使开口量。求欲使开口量刚好闭合，则需加力刚好闭合，则需加力F为多大？为多大？ RFFABCDE120F0F解：解：（1）在在A、E截面上虚加一对力截面上虚加一对力F0（2）写弯矩方程并求偏导数（考虑左半

53、圆）写弯矩方程并求偏导数（考虑左半圆）AB段：段：1M011 cosF R1101 cosMRF102BC段：段：2M02sinFRR2sinFR2201 sinMRF202324EIFR（3）求）求FRFFABCDE120F0F0VF 00F 222202sin1 sinFRRRdEI32222202sinsinFRdEI3214FREI1M011 cosF R1101 cosMRF2M02sinFRR2sinFR2201 sinMRF例例13-13 位于水平平面内的小曲率曲杆，其轴线为位于水平平面内的小曲率曲杆，其轴线为1/4圆弧，圆弧圆弧，圆弧的平均半径为的平均半径为R，杆的直径为，杆的

54、直径为d，G=0.4E。B端固定，在端固定，在A端受铅垂端受铅垂荷载荷载F作用，求作用，求A端的铅垂位移端的铅垂位移 Ay（不计剪力对位移的影响）。（不计剪力对位移的影响）。解：解： 截面的弯矩方程、扭矩方程及其对截面的弯矩方程、扭矩方程及其对F的偏导数分别为的偏导数分别为( )sinMF AaFR ( )sinMRF ( )1 cosTFabFR ( )1 cosTRF BAORF（a）abORABF（b）A端的铅垂位移为端的铅垂位移为AyVF2323220011sin1 cosPFRdFRdEIGI 3322001111cos21 2coscos22222PFRFRddEIGI333240

55、.424FRFREIEI31.23 FREI 3425.06FREd练习：练习： 用卡氏定理求图示结构上点用卡氏定理求图示结构上点A、B间的相对线位移和间的相对线位移和C点两点两侧截面的相对角位移。各杆的侧截面的相对角位移。各杆的EI相同。相同。FFll2l2lABCyx1. 求求AB M yFy M yyF0yl M xFl M xlF02xlABVF222002ddllFyyFlxEI3143FlEI2. 求求CFFll2l2lABC0M0Myx 0M yFyM 01M yM 0M xFlM 01M xM0CVM00M 2002ddllFy yFl xEI25FlEI（ ） 13-4 13

56、-4 超静定问题超静定问题eMBAC1X(c)BA(b) 一次超静定梁如图一次超静定梁如图a所示，梁的弯所示，梁的弯曲刚度为曲刚度为EI。 若将支座若将支座B作为多余约束解除，得到作为多余约束解除，得到梁的基本系统如图梁的基本系统如图(b)所示。在基本系统所示。在基本系统上施加力偶矩上施加力偶矩Me和多余未知力和多余未知力X1，得到，得到原超静定梁的相当系统如图原超静定梁的相当系统如图(c)所示。所示。Me和和X1可看作相当系统上相互独立的外力，可看作相当系统上相互独立的外力，梁内的应变能为梁内的应变能为Me和和X1的函数的函数1,eVVMX 由于多余未知力由于多余未知力X1处的挠度为零，用卡

57、处的挠度为零，用卡氏定理求氏定理求X1处的线位移时，应有处的线位移时，应有10VX从而得到解超静定梁的补充方程。再利用梁的平衡条件，便可从而得到解超静定梁的补充方程。再利用梁的平衡条件，便可求出其余支反力。求出其余支反力。eMBAC(a)/2l/2leMBAC1X1x2xBC段段11 1()M xX x111( )M xxXCA段段212()()2elM xXxM221()2M xlxX1ByVX122211220011()()1()()llM xM xM xdxM xdxEIXX由已知条件得由已知条件得解得解得结果为正，说明所设多余未知力结果为正，说明所设多余未知力X1的指向是正确的。的指向

58、是正确的。2221 111222001122llellX x dxXxMxdxEIEI231338eM lX lEIEI2313038eM lX lEIEI198eMXl 上述用卡氏定理解超静定问题的方法，适合于任何线弹上述用卡氏定理解超静定问题的方法，适合于任何线弹性超静定结构。性超静定结构。归纳起来，其步骤是：归纳起来，其步骤是： 首先解除超静定结构的多余约束，得到静定的基本系统，必首先解除超静定结构的多余约束，得到静定的基本系统，必须注意它不能是几何可变的结构；须注意它不能是几何可变的结构； 其次，结构的应变能必须表示为原荷载其次，结构的应变能必须表示为原荷载F1，F2，Fn和多余和多余

59、未知力未知力X1，X2，Xm的函数，即的函数，即V V (F1,F2,Fn;X1,X2,Xm)；最后，利用多余约束处的位移为零的条件和卡氏定理，得到最后，利用多余约束处的位移为零的条件和卡氏定理，得到120 , 0 , 0mVVVXXX若在若在Xi方向的已知位移是常值方向的已知位移是常值C，则位移条件为，则位移条件为iVCX由此便可解出多余未知力。由此便可解出多余未知力。例例13-14 求图求图(a)所示刚架的支反力，已知两杆的弯曲刚度均为所示刚架的支反力，已知两杆的弯曲刚度均为EI。（不计剪力和轴力对位移的影响）。（不计剪力和轴力对位移的影响）解：这是一次超静定问题，取固定铰支解：这是一次超

60、静定问题，取固定铰支座座C的铅垂方向的约束为多余约束，解的铅垂方向的约束为多余约束，解除该约束并以支反力除该约束并以支反力X1替代，得到原超替代，得到原超静定刚架的相当系统，如图静定刚架的相当系统，如图(b)所示。所示。AxFAyFCxF1x1yqAllBC a1XqABC b应变能必须表示为荷载与多余未知力的应变能必须表示为荷载与多余未知力的函数，即函数，即V= V（q，X1），因此支座反），因此支座反力也要用力也要用q和和X1表示。表示。0BM2102AxqlF lX l12AxqlFX各段的弯矩方程和对各段的弯矩方程和对X1 的偏导数为的偏导数为211 111( )2M xX xqx11