竞赛课件：波的几何描述与特征现象

1、12 波的几何描述波的几何描述在波传播的介质中作出的某时刻振动所传播到达的各在波传播的介质中作出的某时刻振动所传播到达的各点的轨迹称为波前点的轨迹称为波前. 振动在介质中传播时，振动步调相同的点的轨迹，称为振动在介质中传播时，振动步调相同的点的轨迹，称为波面波前是各点振动相位都等于波源初相位的波面波面波前是各点振动相位都等于波源初相位的波面 方向处处与该处波的传播方向一致的线，叫波线方向处处与该处波的传播方向一致的线，叫波线球面波球面波平面波平面波波面波面o波线波线波面波面波线波线波前波前波前波前介质中波动到达的各点，都可以看作是发射子介质中波动到达的各点，都可以看作是发射子波的波源，在其后的

2、任一时刻，这些子波的包迹就波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波前决定新的波前 34反射定律反射定律MNABABirA BvtABRt AA BRt ABB ir 两种介质界面上的波现象两种介质界面上的波现象5折射定律折射定律MNABABirri12sinsinv tv tABir 1212sinsinvinrv 1v2v6A1BA2B2irMMAB1NNCC緃緃tan3vtivt 橫橫i60i 一平面波遇到两种介质的界面时发生反射，设入一平面波遇到两种介质的界面时发生反射，设入射波与反射波的振动方向相同如果入射波是一纵波，要使反射波射波与反射波的振动方向相同如果入射波是一纵波

3、，要使反射波是一横波，设纵波在介质中的传播速度是横波传播速度的倍问入是一横波，设纵波在介质中的传播速度是横波传播速度的倍问入射角为多少？射角为多少？ 7ABvt 子子ACB弹道波的几何描述如示弹道波的几何描述如示:m m5ACVt 波波1sin2Vv 波波子子30 设人在设人在C处处:子弹与人的距离即为子弹与人的距离即为CB=10 m 子弹在离人子弹在离人5 m处以速度处以速度680 m/s水平飞过，当人水平飞过，当人听到子弹之啸声时，子弹离人多远？设声速为听到子弹之啸声时，子弹离人多远？设声速为340 m/s. 8飞机超音速飞行，引起飞机超音速飞行，引起圆锥面波，故飞机速度圆锥面波，故飞机速

4、度 vV/sin37 站在地面上的观测者发现一架飞机向他飞来，但站在地面上的观测者发现一架飞机向他飞来，但听不到声音，一直到看见飞机的方向和水平成听不到声音，一直到看见飞机的方向和水平成37角时，才听到轰角时，才听到轰呜声，若飞机沿水平直线飞行，当时声速为呜声，若飞机沿水平直线飞行，当时声速为336 m/s，飞机的速度，飞机的速度是多少？是多少？ =560 m/s9依据惠更斯原理求解依据惠更斯原理求解: :MNr0rO00Ncvrn Mcvrn 0 0ccr nrn 则则 000011r rcaraer 即即001r rcrrec 取取 00000rrarrrrarc 得得011arc 得得0

5、r实际的地表大气密度满足实际的地表大气密度满足001an 0000111rnc 故故 4.58 倍倍 假设大气折射率假设大气折射率n与空气的密度有关系与空气的密度有关系 式中式中a为常数，为常数，0为地球表面的大气密度，为地球表面的大气密度，r06400 km，c=8772 m，大气折射率随，大气折射率随高度的增加而递减为使光线能沿着地球表面的圆弧线弯曲传播，地表的空气高度的增加而递减为使光线能沿着地球表面的圆弧线弯曲传播，地表的空气密度应是实际密度的多少倍？已知地表空气的实际折射率密度应是实际密度的多少倍？已知地表空气的实际折射率n0=1.0003 001r rcnae 10依据惠更斯原理求

6、解依据惠更斯原理求解:MNh0hO0 hhhcch nhn 由由000000()()ccnahnaRhRhhhh 000000nahR hnaha hR hh 000nahha h R h 0012nhRa R 某行星上大气的折射率随着行星表面的高度某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照按照nn0ah的规律而减小，行星的半径为的规律而减小，行星的半径为R，行星表面某一高度，行星表面某一高度h0处有光波道，它始处有光波道，它始终在恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播，试求高度终在恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播，试求高度h0 11 驻波驻波两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波两列沿相

7、反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时，形成驻波叠加时，形成驻波 静止不动的波节和振幅最大的波腹相间，但波形静止不动的波节和振幅最大的波腹相间，但波形不向任何方向移动，不向任何方向移动， 从驻波的成因来看，驻波是一种干涉现象：波节与波从驻波的成因来看，驻波是一种干涉现象：波节与波腹分别是振动抵消与振动最强区域，它们的位置是不腹分别是振动抵消与振动最强区域，它们的位置是不变的；变的；从驻波上各质点的振动情况来看，实际上是有限从驻波上各质点的振动情况来看，实际上是有限大小的物体上有相互联系的无数质点整体的一种大小的物体上有相互联系的无数质点整体的一种振动模式振动模式 弦线或空气柱以驻波的模式振动

8、，成为声源，并弦线或空气柱以驻波的模式振动，成为声源，并将这种振动形式在周围空气中传播，形成声波将这种振动形式在周围空气中传播，形成声波 12 拍拍两个同方向的简谐运动合成时，由于频两个同方向的简谐运动合成时，由于频率略有差别，产生的合振动振幅时而加率略有差别，产生的合振动振幅时而加强时而减弱的现象叫拍在单位时间内强时而减弱的现象叫拍在单位时间内合振幅的极大值出现的次数叫做拍频合振幅的极大值出现的次数叫做拍频 12222ffT 121ffT 13tT/4t0,TtT/2t3T/414t0tT/2tT/4t3T/4tT返回返回1516 如图所示，一端固定在台上的弦线，用支柱支撑其如图所示，一端固

9、定在台上的弦线，用支柱支撑其R点点和和S点，另一端通过定滑轮吊一个点，另一端通过定滑轮吊一个1.6 kg的重物，弹拨弦的的重物，弹拨弦的RS部分，使其振动，部分，使其振动，则则R、S点为波节，其间产生三个波腹的驻波，这时，如在弦的附近使频率为点为波节，其间产生三个波腹的驻波，这时，如在弦的附近使频率为278 Hz的音叉发音，则的音叉发音，则5 s内可听到内可听到10次拍音，换用频率稍大的音叉，则拍音次拍音，换用频率稍大的音叉，则拍音频率减小测得频率减小测得RS75.0 cm，求该驻波的波长、频率及弦线的线密度，求该驻波的波长、频率及弦线的线密度 由驻波成因知该波波长为由驻波成因知该波波长为:m

10、 m250.03L 弦振动频率与音叉振动频率差产生弦振动频率与音叉振动频率差产生拍拍:12fff 1102785f 1280f Tv 由由mgk kg g/ /m m21.6 9.8140 k kg g/ /m m30.8 10 RS17 问题问题 一个脉冲波在细绳中传播，一个脉冲波在细绳中传播，若绳的线密度为若绳的线密度为，绳中张力为，绳中张力为T试求试求脉冲波在绳上的传播速度脉冲波在绳上的传播速度 vv rvTTmr 22 sin2vTmr vT 返回返回18 将一根长为将一根长为100多厘米的均匀弦线沿水平的多厘米的均匀弦线沿水平的x轴放置，拉紧并使两端固定现对离固定的右端轴放置，拉紧并

11、使两端固定现对离固定的右端25 cm处（取该处处（取该处为原点为原点O，如图，如图1所示）的弦上施加一个沿垂直于弦线方向（即所示）的弦上施加一个沿垂直于弦线方向（即y 轴轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图2所示该扰动将沿所示该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）已知该波在弦线中的传播弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）已知该波在弦线中的传播速度为速度为2.5 cm/s，且波在传播和反射过程中都没有能量损失，且波在传播和反射过程中都没有能量损失 试在图试在图1中准确地画出自中准确地画出自O点沿弦线向右传播的波在点沿弦线向右传播的波在t2.5 s时时

12、的波形的波形 该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播反该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播反射点总是固定不动的这可看成是向右传播的波和向左传播的波射点总是固定不动的这可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为零由此观点出发，试在图相叠加，使反射点的位移始终为零由此观点出发，试在图1中准中准确地画出确地画出t12.5 s时的波形图时的波形图图13-12-2图图1图图2192.5T s s6.25vT m m6.25波到达右端经波到达右端经再经再经2.5S,即即t=12.5s时时y/cmx/cm5101520250.100.05-0.10-0.05018.

13、75再经再经0.5S,即即t=10.5s时时18.756.25y/cmx/cm5101520250.100.05-0.10-0.050252.105t s s脉冲波形成经脉冲波形成经2.5tT s s23.7520 一列横波在弦线上传播，到固定端时被反射，一列横波在弦线上传播，到固定端时被反射，反射波在弦线上沿反方向传播而形成驻波反射时波长、频率、反射波在弦线上沿反方向传播而形成驻波反射时波长、频率、振幅均不变，但反射波与入射波使反射点的振动相差半个周期，振幅均不变，但反射波与入射波使反射点的振动相差半个周期，相当于原波损失半个波再反射在图中已画出某时刻入射波相当于原波损失半个波再反射在图中已

14、画出某时刻入射波B，试，试用虚线画出反射波用虚线画出反射波C，用实线画出驻波，用实线画出驻波A BCA21当声波频率当声波频率f7 Hz时，波长时，波长 :347.2m49.6m7vf 那么井深至少为波长四分之一即那么井深至少为波长四分之一即12.4 m时，空气柱与音叉可发生共鸣时，空气柱与音叉可发生共鸣 这样一个井的深度，还可能与频率大这样一个井的深度，还可能与频率大于于7Hz、波长短于波长短于49.6 m、但波长的但波长的214n 倍恰等于倍恰等于12.4 m的某些声波发生共鸣的某些声波发生共鸣! 有一口竖直井，井底有水，它可与有一口竖直井，井底有水，它可与fHz的某的某些频率发生共鸣若声

15、波在该井里的空气中的传播速度为些频率发生共鸣若声波在该井里的空气中的传播速度为347.2 m/s，试问这口井至少有多深？试问这口井至少有多深？ 22标准声频率为标准声频率为250 Hz250 Hz，拍频，拍频1.5 Hz1.5 Hz，粘上橡皮后音，粘上橡皮后音叉频率减小，与标准声的拍频增大，可知音叉原频叉频率减小，与标准声的拍频增大，可知音叉原频率为比标准声频率低，为率为比标准声频率低，为248.5 Hz248.5 Hz 由共鸣时空气柱长度知由共鸣时空气柱长度知 1.030.342 1.38m 343m/sVf 則則 音叉与频率为音叉与频率为250 Hz的标准声源同时发音，产生的标准声源同时发

16、音，产生1.5 Hz的拍音当音叉叉股粘上一小块橡皮泥时，拍频增大了将的拍音当音叉叉股粘上一小块橡皮泥时，拍频增大了将该音叉放在盛水的细管口，如图所示，连续调节水面的高度，当该音叉放在盛水的细管口，如图所示，连续调节水面的高度，当空气柱高度相继为空气柱高度相继为0.34 m和和1.03 m时发生共鸣求声波在空气中的时发生共鸣求声波在空气中的声速，画出空气柱中的驻波波形图声速，画出空气柱中的驻波波形图 23VVfTfV (1)VvVvvfVfVT VVfVTuTVfVu VvfVTuVvfuTV 设定：设定： 波源相对于介质的速度波源相对于介质的速度u；观察者相对于介质的速度观察者相对于介质的速度

17、v；波在介质中速度波在介质中速度V；观察者接收到的频率观察者接收到的频率f；波源频率波源频率f 波源固定，观察者以波源固定，观察者以v向着波源或背离波源运动向着波源或背离波源运动 波源以速度波源以速度u相对于介质向着或背离观察者运动，观察者静止相对于介质向着或背离观察者运动，观察者静止uT 如图，此时相当于波如图，此时相当于波长缩短或增长为长缩短或增长为，故，故 波源与观察者同时相对介质运动波源与观察者同时相对介质运动 此时相当于波以速度此时相当于波以速度Vv通过观察者，故通过观察者，故 波源与观察者相对介质静止波源与观察者相对介质静止 多普勒效应多普勒效应u uT24设设“哆哆”音频率为音频

18、率为f1；低；低“咪咪”音频率为音频率为f2，有有10VvffVu 20VvffVu 12(120080)(1200)8(1200)(120080)5fufu 由由k km m/ /h h200u 得得对相向而行的乘客：对相向而行的乘客：对静止的路旁观察者：对静止的路旁观察者：VfVuVuVfVuVu 前前后后由由 VvfVvVuVuVvfVvVuVu 超超前前超超后后由由75 对同向而行的乘客：对同向而行的乘客：4940 车以车以80 km/h速度行驶，从对面开来超高速列车，向背后速度行驶，从对面开来超高速列车，向背后奔驶而去此间超高速车所发出的汽笛声开始若听取奔驶而去此间超高速车所发出的汽

19、笛声开始若听取“哆哆”音，后来听到的则音，后来听到的则是降低的是降低的“咪咪”音（假定音（假定“哆哆”音和音和“咪咪”音的频率之比为音的频率之比为8/5）设声速为）设声速为1200 km/h，则超高速列车的时速是多少？这时，对站在路旁的人而言，超高，则超高速列车的时速是多少？这时，对站在路旁的人而言，超高速列车通过他前后声音的频率之比是多少？而对与超高速列车同向行驶、车速速列车通过他前后声音的频率之比是多少？而对与超高速列车同向行驶、车速为为80 km/h的车上乘客而言，他被超高速列车追过前后所闻汽笛声音的频率之的车上乘客而言，他被超高速列车追过前后所闻汽笛声音的频率之比又是多少？比又是多少？

20、 25观察者接收到的频率先高后低，观察者接收到的频率先高后低，说明声源与观察者先接近后远说明声源与观察者先接近后远离！作出示意图离！作出示意图:cosAuv AMBhvuAvuBcosBuv 10cosVffVv 20cosVffVv 11cos40 33cos80 由几何关系：由几何关系： cotcotvth 代入数据后得代入数据后得m m1096h cotcotvth 飞机在上空以速度飞机在上空以速度v200m/s做水平飞行，发出频率为做水平飞行，发出频率为f02000 Hz的声波静止在地面上的观察者测定，当飞机越过观察者上空时，的声波静止在地面上的观察者测定，当飞机越过观察者上空时，观察

21、者观察者s内测出的频率从内测出的频率从f12400 Hz降为降为f21600 Hz已知声波在空气中速已知声波在空气中速度为度为V330 m/s试求飞机的飞行高度试求飞机的飞行高度 26这是测定宇宙中双星的一种方法这是测定宇宙中双星的一种方法 (1) 由于由于B星发出的光波波长在星发出的光波波长在P点位点位比比Q点位短，可知在点位短，可知在P点位光源是朝着地点位光源是朝着地球运动的，故球运动的，故B星公转的方向为沿图中星公转的方向为沿图中逆时针方向逆时针方向 PQABPQBA0vT vc 可得可得v42 km/s 88 40 10 kmvtR 有有A、B两个星球两个星球B星以星以A星为中心做匀速

22、圆周运动，如星为中心做匀速圆周运动，如图由于星球离地球非常远，而且地球位于图由于星球离地球非常远，而且地球位于B星的轨道平面上，所以从地球星的轨道平面上，所以从地球上看过去，上看过去，B星好象在一条直线上运动测得星好象在一条直线上运动测得B星从星从P点移动到点移动到Q点需要点需要6.28107 s由于多普勒效应，在测定由于多普勒效应，在测定B星发出的光的波长时发现，当星发出的光的波长时发现，当B星星位于位于P点时比位于点时比位于A点时短点时短0.6810-10 m，位于，位于Q点时则比点时则比A点长同样的点长同样的值若位于值若位于A点时的波长测量值为点时的波长测量值为4861.3310-10

23、m，光速，光速c3.0108 m/s求求B星公转的方向星公转的方向; B星的公转速度是多少星的公转速度是多少km/s？ 圆周轨道的半径圆周轨道的半径 27设人造卫星朝地面接收站方向运动的速度设人造卫星朝地面接收站方向运动的速度为为u，此即波源移动速度，由于波源向着观，此即波源移动速度，由于波源向着观察者运动，接收到的频率变大，由察者运动，接收到的频率变大，由 cfffcu 可得可得 8824003.0 10 m/s102400cfucff 7200m/s 某人造地球卫星发出频率为某人造地球卫星发出频率为10 8 Hz的无线电讯号，的无线电讯号，地面接收站接收到的讯号频率增大了地面接收站接收到的

24、讯号频率增大了2400 Hz已知无线电讯号已知无线电讯号在真空中的传播速度为在真空中的传播速度为c3.0108 m/s，试估算人造卫星朝地，试估算人造卫星朝地面接收站方向的运动速度面接收站方向的运动速度 28接收到来自乐队的频率接收到来自乐队的频率103305330ffu 来自广播声的频率来自广播声的频率 203305330ff 3353354() 4403303303u 則則U1 m/s 在单行道上，交通川流不息，有一支乐队沿同一在单行道上，交通川流不息，有一支乐队沿同一方向前进乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近，这时，方向前进乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近，这时，乐队正同时奏出

25、频率为乐队正同时奏出频率为440 Hz的音调在乐队前面街上有一固的音调在乐队前面街上有一固定广播设施做现场转播旅行者发现从前面乐队直接听到的声定广播设施做现场转播旅行者发现从前面乐队直接听到的声音和从广播中听到的声音相结合产生拍，并测出三秒钟有四音和从广播中听到的声音相结合产生拍，并测出三秒钟有四拍利用测速计可测出车速为拍利用测速计可测出车速为18 km/h试计算乐队行进的速试计算乐队行进的速度已知在这个寒冷的天气下，声速为度已知在这个寒冷的天气下，声速为330 m/s 29 一波源振动频率为一波源振动频率为2040 Hz，以速度，以速度vs向墙壁接近，向墙壁接近，如图，观测者在如图，观测者在

26、A点所得的拍频点所得的拍频 =3 Hz，设声速为，设声速为340m/s，求，求波源移动的速度波源移动的速度vs如波源没有运动，而以一反射面代替墙壁，如波源没有运动，而以一反射面代替墙壁，以速度以速度=0.2 m/s向观察者向观察者A接近，所得到的拍频为接近，所得到的拍频为 =4 Hz，求波，求波源的频率源的频率 A点从声源直接接收到的声波频率点从声源直接接收到的声波频率 10sVffVv 经墙反射后的声波频率经墙反射后的声波频率 20sVffVv 则则00ssVVffV vV v 观测者观测者 波源波源AS30代入题给数据代入题给数据 222 34032040340ssvv 222680340

27、0,ssvv =0.25m/ssv 若反射面移动，则若反射面移动，则A点点从声源直接接收到的声波频率从声源直接接收到的声波频率1ff 反射面接收到的波频率反射面接收到的波频率 2VvffV 反射到反射到A接收到的波频率接收到的波频率 22VvVfffVvVv 则则2 0.24340 0.2V vfffV v 3398Hzf 31uR声源移动速度为声源移动速度为R，相对观，相对观察者接近或背离速度设为察者接近或背离速度设为u， 0sin()VffVR 有有2sinsin()rr 又又()90 当当时时f 有最值有最值,此时此时60或或300 554Hzf 最最大大456Hzf 最最小小 如图，音

28、叉如图，音叉P沿着半径沿着半径r8m的圆以角速度的圆以角速度=4rad/s做匀速圆周运动音叉发出频率为做匀速圆周运动音叉发出频率为f0500 Hz的声波，的声波，声波的速度为声波的速度为v330 m/s观察者观察者与圆周共面，与圆心与圆周共面，与圆心的距的距离为离为d2r 试问当角试问当角为多大时，观察到的频率为最高或最低，并求其数为多大时，观察到的频率为最高或最低，并求其数值值 32 到了晚上，地面辐射降温使空气层中产生温度梯到了晚上，地面辐射降温使空气层中产生温度梯度，温度随高度递增，这导致声速度，温度随高度递增，这导致声速v随高度随高度y变化，假定变化规律变化，假定变化规律为：为： 式中

29、式中v0是地面（是地面（y处）的声速，处）的声速，a为比例为比例系数今远方地面上某声源发出一束声波，发射方向与竖直成系数今远方地面上某声源发出一束声波，发射方向与竖直成角假定在声波传播范围内角假定在声波传播范围内 ，试求该声波在空间传播的，试求该声波在空间传播的轨迹，并求地面上听得最清晰的地点与声源的距离轨迹，并求地面上听得最清晰的地点与声源的距离S 220(1)vva y ay由于声速沿由于声速沿y轴轴递增，折射角递增，折射角i逐渐增大，开始逐渐增大，开始一段声传播的径一段声传播的径迹大致如图迹大致如图! 夜间夜间寂静区寂静区白天白天y i xy0v0 第第i层层1 2第第i层层x 根据折射

30、定律根据折射定律: 1122001111sinsinsin,sinsinsiniiiivvvvvv 00sinsiniivv 可可得得声波波线即声传播轨声波波线即声传播轨迹迹! ! 1 33第第i层声波波线视为直线层声波波线视为直线,有有21cot1siniiyx 202201sinivv 22220111sina y 2022011sinsin12a y 22200112sinsina y 220200cos21sincosay 220202cot1cosay 2sinx 222202sincosayx 由由0cossin2yxa 可得波线方程为可得波线方程为340cossin2yxa 对待定方程对待定方程求斜率求斜率2 002cossincos22lim2xxxxxxa 0000sinsincoslimlim2xxyxxxyxxa 0coscos2xa 0cotcosx 02sina 于是得声传播轨迹方程于是得声传播轨迹方程:00cos2sinsin2axya 可知地面上听得最清点距声源可知地面上听得最清点距声源002sinax 01sin2xSa 35 在海洋中声速随深度、温度和含盐量变化已知