第1讲中值定理和有关方程的根问题

1、第一讲：中值定理和有关方程根的问题中值定理在竞赛中具有特殊的地位，它是高数中不多的一种逻辑证明类的问题，分析味道足，综合性强，对数学逻辑推理能力要求较高，很多同学对此比较畏惧，主要是因为我们平时学习中没有引起足够重视，训练不够。主要内容：1、闭区间上连续函数的性质（有界性，最值性、零点定理、介值定理）2、微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日，柯西中值定理，泰勒中值定理（公式）方程根的问题，属于微积分应用的范畴。1.1基本理论综述一、涉及函数( )f x的中值定理设( )f x 在a,b上连续，则定理1、有界性( ),(0)f xkk定理2、最值性( )mf xM定理3、介值定理：当 , ,( )m

2、uMa bfu 时，使得定理4、零点定理：当( ). ( )0( , ),( )0f a f ba bf 时，使得二、涉及导数（微分）( )fx的中值定理定理5、费马定理( )f x设满足在0 x处(1)可导，（2）取极值，则0()0fx可导点为极值点的必要条件 拉格朗日中值定理 )()(bfaf 罗尔定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)

3、(!10n定理6-9罗尔，拉氏，柯西，泰勒共有条件：闭区间连续，开区间可导补充：导数零点定理，导数介值定理定理10、设( ) , f xa b在上可导，当( ).( )0( , ),( )0fa fba bf 时，使定理11、设( ) , f xa b在上可导，当( )( )( )( )( , ),( )fafbfafba bf ，介于与之间，则使三、涉及积分( )baf x dx的中值定理定理12则至少存在一点, ,ba)(d)(abfxxfba( ) , f xa b在上连续1.2思路与例题解析一、有关思路总结1、根据欲证结论的形式大致确定需要用哪一个或哪几个定理，一般来说（1）如果结论中

4、的中值属于闭区间，则优先考虑介值定理（2）若结论中的中值属于开区间，则优先考虑微分中值定理（比如拉氏定理）等（3）若结论比较简单，如( )( )0nF，则优先考虑罗尔定理,或利用费尔马定理（都是对n-1阶导数用）（4）若结论中有两个中值，则优先考虑应该大区间分为若干小区间，在各个小区间多次使用拉氏定理，或者直接考虑柯西中值定理（5）若结论中含有高阶导数，则优先考虑泰勒公式（6）若结论中含有函数及其各阶导数，则优先考虑拉格中值定理或者泰勒公式将其联系起来若不满足，则（2）改令*( )( )F xFx一次积分0c 令( )F x，验证( )F x是否满足罗尔定理，若不满足，则（3）改令*( )(

5、)FxFx两次积分0,0cd令( )F x，将大区间分为小区间各个小区间多次使用中值定理，二、例题解析2、若结论中的中值属于开区间，且需要做辅助函数，（1）将结论中的中值改写为x，通过整理使等式一端为0，另一端记为*( )Fx，令*( )( )F xFx验证( )F x是否满足零点定理，满足则命题成立，分析: 所给条件可写为1)3(, 13)2() 1 ()0(ffff想到找一点 c , 使3)2() 1 ()0()(fffcf证证: 因 f (x) 在0, 3上连续, 所以在0, 2上连续, 且在0, 2上有最大值 M 与最小值 m, 故Mfffm)2(),1 (),0(Mmfff3)2()

6、 1 ()0(由介值定理, 至少存在一点 使, 2, 0c3)2() 1 ()0()(fffcf1, 1)3()( fcf,)3,(,3,)(内可导在上连续在且ccxf由罗尔定理知, 必存在 . 0)(, )3, 0()3,(fc使设函数 f (x) 在0, 3 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0(. 0)(f例8、证明存在例9、设( )f x 在0,1上具有一阶连续导数，且(0)0f证明，至少存在一点0,1，使得10( )2( )ff x dx分析，本题结论中的中值属于闭区间，优先考虑介值th(1)由于( )fx在0,1上

7、连续，故( )fx在0,1上必取最大值M,和最小值m，则对0,1,( )xmfxM （2）建立( )( )fxf x与的关系，用拉氏定理( )(0)( )(0)(0)( )( )f xffxxf xxf于是，111111000000( )( )( )22( )2mfMmxxfMxmxdxf x dxMxdxmxdxf x dxMxdx即，10112 .2( )2.22mmf x dxMM由介值定理，至少存在一点0,1，使得10( )2( )ff x dx例10、 设上有连续的二阶导函数，(0)0f，证存在一点分析（1）闭区间，优先用介值定理（2）, f f 可考虑用泰勒公式2( )( )(0)

8、(0).2!ff xffxx对展开式两端积分得22( )( )(0)(0)2!( )2!aaaaaaaaaaff x dxfdxfxdxx dxfx dx,)(aaxf在 aadxxfafaa)(3)(,3有由于( ), fxa a在上连续，故( ),mfxM则mf ( )M2223( )3( )2!2!2!aaaaaaaamfMx dxx dxx dxmf x dxMa由介值定理，存在33 ,( )( )aaaaff x dxa有例11、已知( )0,1f x 在上连续，(0,1)内可导，且(0)0,(1)1ff证明：（1）(0,1),( )1f 使（2）两个不同的, ,( )( )1ff

9、使证明(1)( )( ) 1,F xf xx (0)(0) 1 010(1)(1) 1 110FfFf 所以有(0). (1)0FF，由零点定理即证（2）用把0,1分成两个小区间，0, , ,1并分别用拉氏定理有，( )(0)( )(0),(0, )(1)( )( )(1),( ,1)ffffff ( )(0)1(1)( )( ),( )11ffffff所以，( )( )1ff例12，设函数)(xf 1 , 0) 1 , 0 (在上连续，在内可导，且1) 1 (, 0)0(ff证明：存在2)(1)(1),1 , 0(,2121ff使得证明：用将 1 , 0划分为 1 , 0，在这两个区间上分别

10、对)(xf使用拉格朗日中值定理，得)()(1)0)()0()(11fffff)(11)(1)1)()() 1 (22fffff和要证的等式比较，得2)(11)(ff即可于是取21)(f，命题得证注意：本题采用了反推思想，1.3泰勒中值定理（公式） 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒中值定理泰勒中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数 ,),(bax时, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx公式 称为

11、的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到称为麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx则有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf

12、10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn则有误差估计式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 1

13、2(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRnkxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n特别地（5）211()1nn

14、xxxo xx 佩亚诺余项（6）211( 1)()1nnnxxxo xx ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差1! ) 1()(nnxnMxRM 为)() 1(xfn在包含 0 , x 的某区间上的上界.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(常用的泰勒展开式33sin()3!xxxo x33t

15、an()3xxxo x33arcsin()3!xxxo x33arctan()3xxxo x22ln(1)()2xxxo x2331()2!3!xxxexo x 22(1)(1)1()2!aa axaxxo x 由此，可得333tansin(tansin()22xxxxxxo x333sin,tan,arcsin636xxxxxxxxx)(! 4! 21cos442xoxxx2. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo2x用泰勒公式将分子展到项,x3421)1 (243x220 li

16、mxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 例例1. 求.43443lim20 xxxx用洛必塔法则不方便 !32arctan,ln(1)32xxxxxx例2、求0arcsinarctanlimsintanxxxxx分析，0 x 时，3333111arcsinarctan()()()632xxxo xxo x故31arcsinarctan2xxx同理31sintan2xxx所以原极限=30312lim112xxx 例30,( )(sin )cosxf xxaxbxx当与3x是等价无穷小，求常数a,b分析，33sin()3!xxx

17、o x22cos1()2xxo x 33223311( )()(1()3!22(1 ()()()32f xxaxb xxo xxo xbaab xxo x由题设，21 ()0,1,32baab于是2,3ab 问题：用泰勒公式究竟要展开到几阶？注意一个要点就可以，叫做上下同阶例4、求2240coslimxxxex分析：分母是4次的，所以用泰勒公式时分子只需要展开到4阶就可以了22424442cos(1()(1()2!4!22!4xxxxxxeo xo x所以24244001cos112limlim12xxxxxexx 例1、设3sinyxx，求(6)(0)y分析：所求阶数不高，可以直接求，但是如

18、果将sin x展开至3阶，设( )3334660(0)11,()()!66nnnyyxyxxxo xxxo xn故(6)(6)(0)16!,(0)1206!66yy 例2、设2(2012)cos2 ,(0)yxxy求析：20cos( 1)()(2 )!nnnxxxn 3、利用泰勒公式计算函数的高阶导数2222200(2 )2( 1)( 1)(2 )!(2 )!nnnnnnnxyxxnn又由麦克劳林公式( )0(0)!nnnyyxn令2220121005nn(2012)20101005(2012)20102010(0)22012!( 1)(0)( 1).2.2012!2010!2010!2.20

19、12.2011yy 4、用于逻辑推理证明问题例1、设( )f x 在0,1上具有二阶导数，且满足条件( ),( ), ,f xa fxb a b为非负常数，证明，对任意的(0,1),( )22bxfxa有证明：( )f x 在0,1上有二阶导数，展开为泰勒公式为2( )( )( )( )()() ,2!ff uf xfx uxuxxu在 与 之间分别令0,1uu得211222( )(0)( )( )()() ,012!()(1)( )( )(1)(1) ,012!fff xfxxxxfff xfxxxx两式相减得，22211( ) (1)(0)()(1)()2fxfffxfx上式两端取绝对值，并放大22212211( )(1)(0)() (1)( )221(1)2fxfffxfxaabxx在01x 时，有22(1)1,( )22bxxfxa故例2，若,)(limAxfx)(lim, 0)(limxfxfxx 求0 x其中A为非零任意常数，且解：由题设知，存在足够大,使得) (xf在),(0 x内存在二阶导数，由于结论要求是带自变量x的)