大连理工的研究生考试资料之第6章控制系统的稳定性分析

1、跨越华盛顿州塔科马跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开峡谷的首座大桥，开通于通于1940年年7月月1日。日。只要有风，这座大桥只要有风，这座大桥就会晃动。就会晃动。1940年年11月月7日，一日，一阵风引起了桥的晃动，阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。直到整座桥断裂。稳定性的定义：稳定性的定义：控制系统在控制系统在外部拢动外部拢动信号信号作用作用下偏离其原来的平下偏离其原来的平衡状态，当拢动作用消失后，系统能衡状态，当拢动作用消失后，系统能以足够的精以足够的精度度恢复恢复到原来的到原来的平衡状态平衡状态图图6-1所示系统所示系统1在扰动消失后，它的输出能回

2、到在扰动消失后，它的输出能回到原来的平衡状态，该系统稳定。而系统原来的平衡状态，该系统稳定。而系统2的输出的输出呈等幅振荡，系统呈等幅振荡，系统3的输出则发散，故它们都不的输出则发散，故它们都不稳定。稳定。图图 6-1 系统稳定性示意图系统稳定性示意图稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位

3、脉冲脉冲x(t)= (t)，这时系统的输出增量为，这时系统的输出增量为y(t)。这相当。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若作点的问题。若t时，脉冲响应时，脉冲响应 即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是稳定的。即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是稳定的。 lim0ty t 设线性定常系统输入为设线性定常系统输入为x(t) ，输出为，输出为y(t) ，线性定，线性定常系统的动态特性，可用如下的常系数线性微分方常系统的动态特性，可用如下的常系数线性微分方程来描述：程来描述： nn 1nn 110nn 1mm 1mm 110

4、mm 1d y tdy tdy taaaa y tdtdtdtd x tdx tdx tbbbb x tdtdtdt 式中，式中，nm; an、bm均为系统结构参数所决定的定均为系统结构参数所决定的定常数常数 。（。（n，m=0、1、2、3） 11101110( )( )mmmmnnnnb sbsb sbY sX sa sasa sa (t)1110111012211( )()()(2)mmmmnnnnmiiqrjknknkjkb sbsb sbY sa sasa saKsZspss rknknkkkkqjjjssCsBpsAsY12212)( 11( )cossinjknkqrp ttkkn

5、kkjkdkdkjkdkCBy tA eeBtt 11101110( )( )mmmmnnnnb sbsb sbY sX sa sasa sa 0 01-1-1 asasasannnnG( )(1)Kss Ts 2( )( )1( )G sKsG sTssK20TssK1,21142TKsT )()(1)()()()(sHsGsGsXsYs G(s) H(s) X(s) Y(s) + - 图图 6-2 系统的框图系统的框图 )()()( )()(1)()(1sAsBsAsAsBsHsG )()()()(sAsBsHsG -1-110-1-10112( )( )( ) 0 nnnnnnnnnnn

6、nnD sA sB sa sasa saaaaasssaaaassssss -112-212131-3123124210123421nnnnnnnnnnnnnnnnasssaas ss sssaas s ss s ssssaas s s ssssa 将式（将式（6-4）的因式乘开，由对应系数相等，）的因式乘开，由对应系数相等，可求得根与系数的关系为可求得根与系数的关系为从式（从式（6-5）可知，要使全部特征根）可知，要使全部特征根s1， s2，sn-1，sn均具有负实部，就必须满足以下两个条件：均具有负实部，就必须满足以下两个条件：（1）特征方程的各项系数）特征方程的各项系数ai(i=0，1，

7、2， ，n)都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式（才能满足式（6-5） 。此时系统为临界稳定（根。此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。特征方程的各项系数特征方程的各项系数ai的符号都相同，才的符号都相同，才能满足式（能满足式（6-5），按着惯例，），按着惯例， ai一般取正值一般取正值（如果全部系数为负，可用（如果全部系数为负，可用-1乘方程两边，使它乘方程两边，使它们都变成正值）。们都变成正值）。上

8、述两个条件可归结为系统稳定的一个必要上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即条件，即ai0。1011213-3212-7-5-3-1-1 6- 4-2-esdsccsbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnn141713176131315121541212131113211bbaabcaaaaabbbaabcaaaaabbbaabcaaaaabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 劳斯稳定判据的必要且充分条件是劳斯稳定判据的必要且充分条件是：（1）系统特征方程的各项系数皆大于零，即）系统特征方程的各项系数皆大于零，即ai0；（2）劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统稳定。）

9、劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统稳定。否则系统不稳定。否则系统不稳定。第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。右根数目。61717746)()(1)()()(234 ssssssHsGsGsXsY0617177)()(1234 sssssHsG 614.12614.5801776171 01234sssss)2)(1()( sssKsGKsssKsGsGsXsY 23)(1)()()(2302323 Ksss 363210123KsKsKss 0360KK60 K 1613)(sssKsG0)1018(3623 Kuuu 10-183

10、91410-186310123KsKsKss 0)818(6323 Kuuu劳斯判据判断系统的相对稳定性。劳斯判据判断系统的相对稳定性。0122234 ssss 1 22 1 0 0 2 2 1 1 1 s0234ssss 22 大小相等符号相反的实根大小相等符号相反的实根 -a a j 0 对称于实轴的两对共轭复根对称于实轴的两对共轭复根 -a a j 0 -jb jb 共轭共轭虚虚根根 j 0 -ja ja 0161620128223456 ssssss 0 0 8 6 1 )16 12 (2 8 6 1 ) 16 12 (2 16 20 8 1 s344556sssss8 6)(24 s

11、ssA取出全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程为取出全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程为ssdssdA124)(3 8 1/3 8 3 3 1 ) 12 (4 8 6 1 8 6 1 16 20 8 1 0233456ssssssss08 624 sss2;24,32, 1jsjs )(sR 32121K ssass )(sC 321 +(2+) +(1+)C sK sR ssasK sK 0 1 0 1)(2 1 2 1 0123KsKKsKsKs 0 1)(2 KK0 )1( 2 Ks 212, 1jKjs 21 K0 1)(2 KK75.02 K)()(1)()()(sHsGsGs

12、XsY G(s) H(s) X(s) Y(s) + - 图图 6-2 系统的框图系统的框图 21591( )( )(1)(21)(31)ssG s H ssss 21591( )( )(1)(21)(13 )ssG s H ssss 11123( )(1)(1)(1)KG sT sT sT s 22123( )(1)(1)(1)KGsT sT sT s 例例6-7 四个单位负反馈系统的开环系统奈氏曲线四个单位负反馈系统的开环系统奈氏曲线如图如图6-6ad所示。并已知各系统开环不稳定特所示。并已知各系统开环不稳定特征根的个数征根的个数P，试判别各闭环系统的稳定性。，试判别各闭环系统的稳定性。 0

13、000 图图6-6 例例6-7图图图图6-7 半次穿越半次穿越正穿越一次，对应着奈氏曲线正穿越一次，对应着奈氏曲线G(j )H(j )绕点绕点(-1，j0) 逆时针转动一圈；负穿越一次，对应着奈氏逆时针转动一圈；负穿越一次，对应着奈氏曲线曲线 G(j )H(j )绕点绕点(-1，j0)顺时针转动一圈。顺时针转动一圈。4.5( )( )(21)(1)G s H ssss -3图图6-8 例例6-8图图图图6-9 极坐标图与之对应的响应曲线极坐标图与之对应的响应曲线图图6-10 表示稳定性裕度的奈奎斯特图表示稳定性裕度的奈奎斯特图()( 180 )()180cc 1()()gggKG jH j 图

14、图6-11 表示稳定裕度的波德图表示稳定裕度的波德图1(dB)20lg20lg()()20lg()()ggggggKKG jH jG jH j 根据奈奎斯特判据和此种对应关系，波根据奈奎斯特判据和此种对应关系，波德图数判据可表述如下：德图数判据可表述如下：例例6-9 试用波德图的稳定判据判断图试用波德图的稳定判据判断图6-12所示系统的所示系统的稳定性。稳定性。2p2pa） b) 图图6-12 开环波德图开环波德图( )( )(1)(0.21)KG s H ss ss 图图6-13 不同不同K值的波德图值的波德图22222(j)(j)j (1j)(10.2j)1.2(0.21)j(1)(10.04)(1)(10.04)KGHKK 22(j)(j)110.04KGH (j)(j)90arctanarctan0.2GH 22(j)(j)1110.04ccccKGH 64220.041.040cccK(j)(j)90arctanarctan0.2180gggGH 2(0.21)0g 2.236g 2220lg110.04ggggKK 18090arctanarctan0.2cc20( )( )(0.5