导数与不等式证明(绝对精华)

1、WORD格式二轮专题十一导数与不等式证明【学习目标】1. 会利用导数证明不等式 .2. 掌握常用的证明方法 .【知识回忆】一级排查：应知应会1. 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比方要证明对任意 x a,b 都有f ( x)g (x) ，可设 h(x) f ( x) g( x) ，只要利用导数说明 h( x) 在 a,b 上的最小值为 0 即可二级排查：知识积累利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：1利用给定函数的某些性质一般第一问先让解决出来，如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式 .2多用分析法思考 .3对于给出的不等式直接证明

2、无法下手，可考虑对不等式进展必要的等价变形后，再去证明 . 例如采用两边取对数 指数，移项通分等等 . 要注意变形的方向： 因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式 .4常用方法还有隔离函数法，f (x)ming( x) max，放缩法常与数列和根本不等式一起考查，换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精华还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.5建议有能力同学可以了解一下罗必塔法那么和泰勒展开式， 有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来 .三极排查：易错易混用导数证明数列时注意定义域.专业资料整理WORD格式1专业资料整

3、理WORD格式【课堂探究】一、作差商法例 1、证明以下不等式： exx 1 ln x x 1 ln x 1 - 1x ln x2(x -1) (x 1) sin x2x , x (0, )x 12二、利用 f ( x) ming( x) max证明不等式例 2、函数f ( x)ax1b(a1) ln x, (a,bR), g ( x)2 x e.xe21假设函数 f (x)在x2 处取得极小值 0，求a, b的值；2在 1的条件下，求证：对任意的x1,x2 ,2 ，总有f (x1 ) g ( x2 ) .e e专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式变式：证明：对一切 x (0,)

4、，都有 ln x12成立.exex三、构造辅助函数或利用主元法例 3、m,n为正整数，且1mn, 求证：(1m) n(1n) m .变式：设函数f (x)ln x ， g( x)2x2 x1.(1) 试判断( )(x21)()()在定义域上的单调性；F xf xg x2当0 ab 时，求证 f (b)f (a)2a(ba)a2b2 .专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式四、分析法证明不等式例 4、设a 1，函数f x(1x2)exa . 假设曲线y = f ( x)在点P处的切线与x轴平行，( )且在点 M (m, n) 处的切线与直线OP平行O是坐标原点,证明：m321.ae变

5、式：函数f ( x)x2 ln x 求函数f (x) 的单调区间；证明：对任意的 t0 ，存在唯一的s ，使t f ( s)设中所确定的s关于 t 的函数为sg(t ) ，证明：当 te2时，有2ln g (t)1.5ln t2专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式五、隔离函数例 5、函数 f ( x)exln( xm) .设 x0是 f ( x) 的极值点，求m并讨论 f (x) 的单调性；当 m2 时，证明: f ( x)0 .变式：函数f (x)nxx n , xR, 其中nN ，且 n2 .1讨论f (x)的单调性；设曲线 y f ( x)与x 轴正半轴的交点为P，曲线在点

6、P处的切线方程为yg( x) ，求证：2对于任意的正实数x ，都有f ( x)g( x) ；a3假设关于 x 的方程 f ( x)a(a为实数 )有两个正实数根 x1 ,x2，求证：x2x12.1 n专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式六、与数列结合例 6、函数f ( x)aln xax3 ( aR) .1求函数f (x)的单调区间；2求证： ln 2 . ln 3 . ln 4ln n1 (nN ， n 2)2 34nn变式：1x (0,) ，求证：1ln xx11 ；x1x2求证：1111ln n1111(n N ， n 2) .234n23n1专业资料整理WORD格式6专业

7、资料整理WORD格式【稳固训练 】1. 函数f (x)1x 2ln x, 求证：在区间 (1,) 上，函数 f ( x) 的图像在函数 g( x)2x3的23图像的下方 .2. 函数f xln 1x 1x求曲线 yf x在点 0 ， f 0处的切线方程；求证：当 x0，1时， f x2 xx3；3设实数 k 使得f xx3对 x0 ，1 恒成立，求 k 的最大值k x3专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式x2，求证：x1nx2nx1 x2n3. 0 x1.224. 设函数f (x)ln(1 x) ( x 0).x1判断f (x)的单调性；2证明：(11 )ne( e为自然对数，

8、n N *).n专业资料整理WORD格式8专业资料整理WORD格式5. 函数 f ( x)e*.1求函数f (x)的最小值；2设不等式f ( x) ax的解集为 P，且0,2P ，*数a的取值X围；nnnn3设nN ，证明：123ne .nnnne 16. f (x)ln(1x 2 )ax( a0) .(1) 讨论 f (x) 的单调性；1 111e ( e 为自然对数，n*， n 2).2证明：124134n 4N专业资料整理WORD格式9专业资料整理WORD格式7.函数 f (x)ln(1x)x, g( x)x ln x(1) 求函数 f (x) 的最大值；(2) 设0a b ,证明 ： 0 g(a) g(b) 2g( a b ) (b a) ln 2 .28.设函数 f ( x)aex ln xbe x 1，曲线 yf ( x) 在点1， f (1) 处的切线为 y e( x 1) 2 .x() 求a, b； 证明：f ( x) 1 .专业资料整理WORD格式10专业资料整理WORD格式9.函数 f xexax a 为常数的图像与y 轴交于点 A ，曲线yf x 在点A处的切线斜率为 -1.求 a 的值及函数 f x 的极值；证明：当 x 0 时， x2ex；证明：对任意给