同济大学《高等数学》(第四版)3-4节 函数单调性的判定法

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第四节第四节 函数单调性的判定法函数单调性的判定法 一、单调性的判别法一、单调性的判别法 二、单调区间求法二、单调区间求法 三、小结三、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.),(,)(导内可上连续，在在设函数babaxfy abBA上单调增加；在，那末函数内如果在）（,)(0)(),(1baxfyxfba，内如果在0)(),()2( xfba.,)(上单调减少在那末函数baxfy 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页

2、返回返回证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在

3、在, 0 y.函函数数单单调调增增加加注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(: D又又上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、单调区间求法问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，的，导数等于零的点和不

4、可导点，导数等于零的点和不可导点，方法方法: :,)()(0)(的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程xfxfxf则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间. 可能是单调区间可能是单调区间的分界点的分界点符号。然后判断区间内导数的上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例2 2解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减

5、少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,( )., 0 32xy 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例4

6、4证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中

7、的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题 若若0)0( f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)

8、( xxxxxf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 )212(1kx当当 时，时，0)212(41)( kxf kx21当当 时，时，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.075上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数7186223 xxxy单调区间为单调区间为_ _. _.2 2、 函数函数212xxy 在区间在区间 -1,1-1,1上单调上单调

9、_， 在在_上单调减上单调减. .3 3、函数、函数22ln xxy 的单调区间为的单调区间为_， 单减区间为单减区间为_._.二二、 确确定定下下列列函函数数的的单单调调区区间间：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2sin . .练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、三、 证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、 当当0 x时，时，221)1ln(1xxxx ；2 2、 当当4 x时，时，22xx ；3 3、 若若0 x，则，则361sinxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx

10、有几个实根有几个实根. .五、五、 设设)(xf在在 ba, 上连续，在上连续，在( (ba,) )内内)(xf , ,试证试证 明：对于明：对于 ba, 上任意两上任意两1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 单增；方法单增；方法（2 2）0)( xf， 利用泰勒公式利用泰勒公式 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、1 1、), 3,1,( 单调增加单调增加, ,3 , 1 单调减少；单调减少；2 2、增加、增加, ,), 1 ,1,( 3 3、1,( , ,), 1 ；1 , 0(,1,(;1 , 0(),0 , 1 . .二、二、1 1、在、在), 1,21, 0(),0 ,(内单调减少内单调减少, , 在在1 ,21上单调增加；上单调增加； 2 2、在、在),32,( aa内单调增加内单调增加, , 在在,32aa上单调减少；上单调减少；练习题答案练习题答案上页上页下页下页