CAD技术及其应用(研究生CAD教案)

1、三维几何造型 电子图板 全生命周期工程（有限元）分析工程（有限元）分析优化设计优化设计开始开始需求分析需求分析确定性能确定性能总体设计总体设计原型产品参考原型产品参考原型修改原型修改结构设计结构设计评估决策评估决策工程描述工程描述制制 造造产产 品品结束结束初步设计初步设计三维几何建模三维几何建模知识库知识库模型库模型库二维绘图二维绘图数控编程数控编程工艺设计工艺设计数控加工数控加工CADCAM是是是是否否否否 集成化集成化单一数据源；产品主模型；产品生命周期管理单一数据源；产品主模型；产品生命周期管理 智能化智能化知识工程；专家系统；自顶而下知识工程；专家系统；自顶而下 标准化标准化GKS

2、； IGES ；STEP 网络化网络化基于基于Web的资源共享、设计评估、协同工作的资源共享、设计评估、协同工作 低端低端AutoCAD; MasterCAM 等等 中端中端SolidWorks 等等 高端高端UG；ProE；CATIA等等一个实例一个实例自顶而下的智能化轴系设计制造自顶而下的智能化轴系设计制造系统数据流系统数据流可运行于网络环境下，实现跨地区和国家的分布式资源共享及设计评估曲曲 面面 造造 型型 实实 例例1. 平时测验平时测验 302. 期末考试期末考试 701.施法中编著施法中编著. 计算机辅助几何设计与非均匀有理计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条样条, 北航出版社北航

3、出版社.2.朱心雄等著朱心雄等著. 自由曲线曲面造型技术，科学出版社，自由曲线曲面造型技术，科学出版社，20003.G. Farin. NURBS. From Projective Geometry to Practical Use. A K Peters, Ltd4./education/materials/C_and_I.htm5./GraphicsNotes/Graphics-Notes.html6./CAGDNotes/CAGD

4、-Notes.html本章要点：本章要点：1. 理解点、矢量、坐标系的概念理解点、矢量、坐标系的概念2. 理解理解CAD坐标系、点、矢量坐标系、点、矢量1. 刻舟求剑的故事刻舟求剑的故事坐标系的人为性和相对性坐标系的人为性和相对性2. 点坐标系中的绝对位置。点坐标系中的绝对位置。3. 矢量具有矢量具有长度和方向，长度和方向，且服从且服从相等、相相等、相加、相减及数乘加、相减及数乘诸法则的量。诸法则的量。4. 矢量代数回顾矢量代数回顾5. 点与矢量的关系绝对位置与相对位置点与矢量的关系绝对位置与相对位置6. 凸组合凸组合7. 仿射变换仿射变换vPP Ainii0PPn,.,i,iini00101

5、. 求矢量求矢量)421 (1,P) 123(2,P和和间的夹角。间的夹角。2. 求点求点) 111 (1, ,P)432(2,P)852(2,P和和、确定的三角形的面积。确定的三角形的面积。习习 题题3. 仿射变换的两个主要性质是什么？仿射变换的两个主要性质是什么？4. 仿射变换仿射变换 中线性变换中线性变换A分别为如下分别为如下矩阵，则这些仿射变换分别表示哪些变换？矩阵，则这些仿射变换分别表示哪些变换？vPP A20021001)()in()()(cosssincos100100011131直线的表示直线的表示1. 直线隐式方程直线隐式方程f (x, y) = ax + by + c =

6、02. 显式方程显式方程y = y(x)能扩展到空间直线吗？能扩展到空间直线吗？直线的表示直线的表示 x(t) = a0 0 + a1t y(t) = b0 + b1tP(t) = x(t) y(t)T= A0 + A1t3. 参数方程形式之一参数方程形式之一-线性方程线性方程A0A1矢量形式：矢量形式：直线的表示直线的表示3. 参数方程形式之二参数方程形式之二- -仿射方程仿射方程P0P1t = t0t = t1P(t) = x(t) y(t)T= (1-t) P0 + t P1仿射方程与坐标系无关，突出仿射方程与坐标系无关，突出比例比例关系关系Ratio 思考题思考题1：已知直线已知直线

7、上的两点上的两点 和和 ，求该直求该直 线上的点线上的点 的表达式。的表达式。P(t)P(t1) P(t2)P(t3) 思考题思考题2：给定点列给定点列 。写出过这些点的折线。写出过这些点的折线 的参数方程的参数方程 。01,np pp( ) tp平面的隐式方程：平面的隐式方程：f(x,y,z)=ax+by+cz+d=0点到平面的距离是什么？点到平面的距离是什么？ (P - P0) n = 0平面点法式方程的建立：平面点法式方程的建立：PP0np(u,v) = ua + vb + wcu + v + w 1p (u,v) = c + u(a-c) + v (b-c)pcabpcabLinear

8、 Pieces模拟量模拟量vs.数字量数字量!x1xx2y1y0其余其余i 0。 N i,k为为k次规范次规范B样条基函数。样条基函数。idnoikiiuRu)()(,dpnojkjjkiikiuNuNuR)()()(,，则则，则则，则则，则则, 0)(1,kiikiuuuuR1)(,noikiuR0)(,uRki1)(,uRkiij0)(,uRki0iCrkCnjj,.,2 , 1, 1 otherwiseuNUifuBuRkikkkiki)(,.,.,),()(,111100 , , ,0, , , ,0X YZx y zifH X Y ZX Y Zif 在从原点通过的直线的无限远点 ii

9、 iii ii iixyDd )()()()()(0,00,0,nikiininikiiikiiinikiiuNuNyuNxuNuDP1nikiinikiiinikiinikiiinikiinikiiiuNuNuNuNyuNuNxu0,0,0,0,0,0,)()()()()()()(dp)()(DC,B,A,dc,b,a,CrCr()Crac/cda,b,c,dab/bdnikiinikiiiuNuNu0,0,)()()(dp*,0*,0()( *)(,)( *)()niii kjjj kjj iiiniii kjj kjj iNuNuucdNuNuddabp 上述方程是关于上述方程是关于 的

10、直线方程，即不同权因子对应的不同曲的直线方程，即不同权因子对应的不同曲线上，固定参数值线上，固定参数值u的点都位于同一条直线上。的点都位于同一条直线上。i7.37.3权因子对权因子对NURBSNURBS曲线形状的影响（续）曲线形状的影响（续）nijojkikjjkiikiuNuNuNuR)()()() 1,(,nijojkiikjjkiiikiuNuNuNuR)()()() 1 , 0,(,0,( )( )( )( )njj kji kijj injj ki kj oj iNuNuNuNuddnnijojkjjjnijjkjjuNuN)()(,0,dmnijojkikjjjnijjkjjnij

11、ojkjjjnijjkjjnijojkikjjnijojkjjuNuNuNuNuNuNuNuN)()()()()()()()()1 (,0,0,ddmidmn)1(7.37.3权因子对权因子对NURBSNURBS曲线形状的影响（续）曲线形状的影响（续）idmp)1(i)1(1:pmpd:nmndiinijojkikjjkiikiuNuNuNuR)()()() 1,(,nijojkiikjjkiiikiuNuNuNuR)()()() 1 , 0,(,圆锥截线的圆锥截线的NURBSNURBS表示表示用如图所示的标准型用如图所示的标准型二次有理二次有理Bzier曲线（曲线（NURBS的一个特例）表的

12、一个特例）表示给定的圆锥截线，主示给定的圆锥截线，主要任务是确定要任务是确定w1。2210222211002)1 (2)1 ()1 (2)1 ()(uuuuuuuuubbbp0)(m,bbp1)()(202121)(,bp1121)(111202141121412411121041211)()(bbbbbbpnf11111111)11mbmnn-mb(nbmn(7.4 7.4 圆锥截线的圆锥截线的NURBSNURBS表示（续）表示（续）2122coscos1cos1mbmn202110bbbbbb，直线）（，椭圆弧）（），（，抛物线）（，双曲线）（），（和），一对直线即00100111(111

13、211211211ff1111mbmn7.4 7.4 圆锥截线的圆锥截线的NURBSNURBS表示（续）表示（续） 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 032323131U 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0434342424141U各种构型曲面的各种构型曲面的NURBSNURBS表示表示 minjljkijiminjljkijijivNuNvNuNvu00,00,)()()()(),(dp mrnslskrsrljkijiljkiminjljkijivNuNvNuNvuRvuRvu00,;,00,;,)()()()(),(),(),(dp7.57.5各种构型曲面的各种构型曲面的N

14、URBSNURBS表示（续）表示（续）miikiuRu0,)()(drRmijjijkivuRvu010,1 ,;,),(),(dp,0,1,iiiidddddR,0,1=iii7.57.5各种构型曲面的各种构型曲面的NURBSNURBS表示（续）表示（续）mijjijkivuRvu010,1 ,;,),(),(dp21 ,10,iiiiddddmikiiuRu01,1)()(drmikiiuRu02,2)()(dr ,曲面各顶点的权因子与相应曲线的顶点权因子相同。7.57.5各种构型曲面的各种构型曲面的NURBSNURBS表示（续）表示（续）nijljvRv0,)()(drminjjilji

15、vuRvu00,;2,),(),(dpmiji,.,1 , 0,，d,0,1,.,i jim，j7.57.5各种构型曲面的各种构型曲面的NURBSNURBS表示（续）表示（续）飞飞 机机 翼翼 型型 截截 面面汽汽 车车 后后 桥桥 曲曲 面面7.57.5各种构型曲面的各种构型曲面的NURBSNURBS表示（续）表示（续）7.57.5各种构型曲面的各种构型曲面的NURBSNURBS表示（续）表示（续）水水 箱箱 NURBS 曲曲 面面涡涡 轮轮 叶叶 片片排排 气气 管管 NURBS 曲曲 面面型型 芯芯 NURBS 曲曲 面面柴油机汽缸盖柴油机汽缸盖7.6 7.6 （续）（续） NURBS

16、方法的问题：方法的问题：1.不便处理散乱数据。不便处理散乱数据。2.不便于根据少量信息进行不便于根据少量信息进行整体设计。整体设计。3.对形状的修改仍欠方便灵对形状的修改仍欠方便灵活。活。4.计算问题（如相对于二次计算问题（如相对于二次曲线曲面）。曲线曲面）。5.参数化难以控制参数化难以控制 NURBS 方法的优点：方法的优点：1.可以精确表示二次圆锥截可以精确表示二次圆锥截线和二次曲面。线和二次曲面。2.统一了多种曲线曲面的表统一了多种曲线曲面的表示形式，大大方便了软件示形式，大大方便了软件系统的开发和维护。系统的开发和维护。3.便于从便于从B样条曲线曲面进样条曲线曲面进行推广。行推广。4.

17、增加了形状修改的自由度。增加了形状修改的自由度。8.1 8.1 （续）（续）在距离计算等问题中的应用在距离计算等问题中的应用0),(0),(21zyxFzyxF8.1 8.1 （续）（续）),(),(),(0),(1vuzzvuyyvuxxzyxF:S:S210),(),(),(1vuzvuyvuxF8.1 8.1 （续）（续）12n)()()(uduudnpp),(),(),(vudvuvudnpp abcuvwpuvwpabc注意：这里三角形的面积是有向的，因注意：这里三角形的面积是有向的，因此，面积坐标不仅可以表示三角形内部此，面积坐标不仅可以表示三角形内部的点，也可以表示三角形外部的点

18、。的点，也可以表示三角形外部的点。1uvw面积坐标与重心坐标是一致的。面积坐标与重心坐标是一致的。当当p在平行于在平行于bc边的直线上移动时边的直线上移动时，u坐标不变。同理，坐标不变。同理，一、三角域内点的面积坐标：一、三角域内点的面积坐标：12111xxxyyyabcSabcabc两个独立变量单变量的单变量的Bernstein基基 Bi,n(t), i=0,1,n 由由t+(1-t)n的二项式展开各项组成。三角域上的双变量的的二项式展开各项组成。三角域上的双变量的n次次Bernstein基基 由u+v+wn的展开式的各项组成。二、三角域上的二、三角域上的Bernstein基基其中，其中，i

19、 + j + k = n，且且 i, j, k0可见，可见，n次次Bernstein基函数共基函数共有有(n+1)(n+2)/2个基函数。它等个基函数。它等于于n阶方阵的下三角中所含元素阶方阵的下三角中所含元素的个数。可以用一个三角阵列的个数。可以用一个三角阵列来排列这些基函数。来排列这些基函数。二次三角域二次三角域Bernstein基基例如：例如：三次三角域三次三角域Bernstein基基三、三角域上的三、三角域上的Bernstein基的性质基的性质三角域上的三角域上的Bernstein基仍然具有规范性、非负性和基仍然具有规范性、非负性和递推性递推性。111, ,1, ,1, ,1( , ,

20、)( , ,)( , ,)( , ,)nnnni j kij ki jki j kBu v wuBu v wvBu v wwBu v w四、三边四、三边Bezier曲面片的方程曲面片的方程, , ,00( , ,)( , ,)nn ini j ki j kiju v wBu v wpb0, ,1u v w三边三边Bezier曲面片曲面片(n=3)从基函数的递推公式可以得到计算三边从基函数的递推公式可以得到计算三边Bezier曲面片上一点的递推公式：曲面片上一点的递推公式：0, , ,111, ,1, ,1, ,1,1,2,.,i j ki j klllli j kij ki jki j kuv

21、wlnbbbbbb其中，其中，, ,0ijknli j k几何示意几何示意控制网格，阴影部分为控制网格，阴影部分为 n(n1)/2 个个1次三边次三边Bezier曲面片。曲面片。第一次递推第一次递推第二、三次递推第二、三次递推两个副产品：两个副产品： 曲面分割曲面分割 切平面切平面uv平面平面 问题的提出问题的提出工业产品中除钣料零件仅需曲面表示外，大多数零件以实体出现，应工业产品中除钣料零件仅需曲面表示外，大多数零件以实体出现，应给出实体表示。给出实体表示。目前常用的实体表示方法：目前常用的实体表示方法： CSG法法 B-rep法法 空间分解法空间分解法 半空间法半空间法体素/布尔运算/CS

22、G表示单纯顶点表、边表、面表结构的单纯顶点表、边表、面表结构的局限性：局限性：（1）曲边和曲面的信息没有办）曲边和曲面的信息没有办法表达。法表达。（2）每个面所含的边数不统一）每个面所含的边数不统一，因此当声明一个面表的时候，因此当声明一个面表的时候，表的列数是个变量，程序处理上表的列数是个变量，程序处理上很不便。很不便。（3）如果一个面除外边界外，）如果一个面除外边界外，还有内边界，则没有办法表达。还有内边界，则没有办法表达。（4）要得到几何元素间的连接）要得到几何元素间的连接信息是很不方便的。例如，求某信息是很不方便的。例如，求某条边的两个邻面。条边的两个邻面。BODYLUMPSHELLF

23、ACELOOPCOEDGEEDGEVERTEXPOINTCURVESURFACETRANSFORM共边数据结构共边数据结构翼边数据结构翼边数据结构EPVTNTVPFACENFACEPCWPCCWNCCWNCW除体素表示法以外，上面的方法基本上只给出实体的除体素表示法以外，上面的方法基本上只给出实体的边界（所占据的空间），都假定边界（所占据的空间），都假定实体内部是均匀的实体内部是均匀的，没有实体内部的定义。在结构没有实体内部的定义。在结构有限元分析、空间场定有限元分析、空间场定义、物体变形义、物体变形等问题的研究中，没有内部定义就显得等问题的研究中，没有内部定义就显得很不足。很不足。 就像双参

24、数曲面可看作单参数曲线的运动轨迹一样，实就像双参数曲面可看作单参数曲线的运动轨迹一样，实体可看成是双参数曲面的运动轨迹。用三参数矢量表示为：体可看成是双参数曲面的运动轨迹。用三参数矢量表示为：( , ,),( , ,)u v wu v w p参数空间区域参数空间区域固定一个参数，就得到一个固定一个参数，就得到一个等参数曲面等参数曲面，共有三族等参数曲面。，共有三族等参数曲面。固定两个参数，就得到一条固定两个参数，就得到一条等参数曲线等参数曲线，共有三族等参数曲线。，共有三族等参数曲线。通常情况下，通常情况下，参数域空间取为单位正方体参数域空间取为单位正方体：0, ,1u v w, ,000(

25、, , )( )( )( )lmni j ki pj qk rijku v wNu Nv Nwpd例如例如：u 边界面、边界线以及角点边界面、边界线以及角点u 实体中的曲线实体中的曲线( ),( ),( )uu tvv tww t( ( ),( ),( )u tv tw tppu 实体中的曲面实体中的曲面( , ),( , ),( , )uu s tvv s tww s t( ( , ),( , ),( , )u s tv s tw s tpp三参数实体的偏导矢、参三参数实体的偏导矢、参数变换、体内点的位置计数变换、体内点的位置计算等均可参照单参数曲线算等均可参照单参数曲线、双参数曲面类推。、

26、双参数曲面类推。, ,000( , , )( )( )( )lmni j ki lj mk nijku v wBu Bv Bwpb三参数三参数Bezier实体：实体：三二次三二次Bezier实体：实体： 33327个控制顶点个控制顶点 Barr于于1984年最先提出将变形思想引入几何造型领域，模拟了力年最先提出将变形思想引入几何造型领域，模拟了力学里常见的几种变形，称为非自由变形。学里常见的几种变形，称为非自由变形。1986年，年，Sederberg 和和Parry提出了自由变形（提出了自由变形（FFD）算法。）算法。三维实体的整体变形描述为：三维实体的整体变形描述为：该变换的该变换的Jaco

27、bi矩阵的第矩阵的第 i 列为列为：( )( )iixF xJ x,1,2,3ixi 是是x的三个分量的三个分量( )XF x变形前物体上的点变形后物体上的点参见：朱心雄 著 自由曲线曲面造型技术，科学出版社，2000设物体表面的参数方程为：设物体表面的参数方程为：( , )u vxx变形前，表面上任一点的切矢是对变形前，表面上任一点的切矢是对u、v的偏导矢。法矢是偏导矢的叉积。的偏导矢。法矢是偏导矢的叉积。变形后，变形后，J ;J uuvvXxXx-1T()det( )n XJ Jn xJacobi矩阵的行列式是变形前后体积的局部变化率。矩阵的行列式是变形前后体积的局部变化率。几种简单的变形

28、：一、拉伸压缩变形一、拉伸压缩变形11 1222333X,X,Xa xa xa x12300J0000aaa体积变化体积变化a1a2a323-1T131200detJ J0000a aa aa a二、沿坐标轴的张缩变换二、沿坐标轴的张缩变换,( )XrxYryZzrf z固定一个坐标分量而改变另外两个坐标分量。固定一个坐标分量而改变另外两个坐标分量。例如：例如：0( )0( )001rfz xrfz yJ-1T200det00( )( )rrrfz xrfz yrJ J切矢变换矩阵切矢变换矩阵法矢变换矩阵法矢变换矩阵三、绕坐标轴的扭转三、绕坐标轴的扭转可以固定一个坐标分量而对另外两个坐标分量进

29、行旋转。可以固定一个坐标分量而对另外两个坐标分量进行旋转。例如：例如：( ),cos( ),sin( ),f zcsXxcysYxsycZz( )( )( )( )001csxs fzyc fzscxc fzys fzJdet J1体积不变体积不变非自由变形方法讨论：非自由变形方法讨论：（1）变形后，物体任意一点的法矢可以由变形前该点的）变形后，物体任意一点的法矢可以由变形前该点的法矢与一个变换矩阵得到，该变换矩阵与变换公式的法矢与一个变换矩阵得到，该变换矩阵与变换公式的Jacobi矩阵有关。矩阵有关。（2）物体变形过程可以按层次方式组织，逐步由形状比）物体变形过程可以按层次方式组织，逐步由形

30、状比较简单的物体变形得到比较复杂的物体。较简单的物体变形得到比较复杂的物体。（3）可做为某些自由变形方法的前置操作，来得到大体）可做为某些自由变形方法的前置操作，来得到大体轮廓，提高后续变形的速度和效果。轮廓，提高后续变形的速度和效果。（4）适合某些特定场合，如模拟条料和板料的成形等。）适合某些特定场合，如模拟条料和板料的成形等。（5）难以实现复杂的自由变形。）难以实现复杂的自由变形。 先构造一个长方体框架，将物体嵌入框架中，对框架施加外力使先构造一个长方体框架，将物体嵌入框架中，对框架施加外力使其变形，物体的形状也就随着改变。框架的变形是由其上的控制顶点其变形，物体的形状也就随着改变。框架的

31、变形是由其上的控制顶点的变化而产生的，因此就可由控制顶点来控制物体变形。该框架也称的变化而产生的，因此就可由控制顶点来控制物体变形。该框架也称为为控制框架控制框架。三参数实体回顾三参数实体回顾基本原理：基本原理：1.构造待变形物体的长方体包围盒。建立构造待变形物体的长方体包围盒。建立局部坐标系。局部坐标系。2.在该包围盒内构造控制顶点网格在该包围盒内构造控制顶点网格3.构造三参数张量积构造三参数张量积(Bezier)实体：实体：, ,0,1,., ;0,1,.,;0,1,.,i j kiljmknP, ,000( , , )( )( )( )lmni j ki lj mk nijks t uB

32、s Bt BuXP4. 确定待变形物体上任一点所对应的参数值（确定待变形物体上任一点所对应的参数值（s, t, u)。5. 改变控制顶点改变控制顶点, 计算变形后参数（计算变形后参数（s, t, u) 对应的新位置：对应的新位置：, ,000( )( )( )lmnffdi j ki lj mk nijkBs Bt BuXP难！难！讨论：讨论：（1）精确控制变形比较难。）精确控制变形比较难。（2）局部控制要用一个小的局部控制框架。为保持变）局部控制要用一个小的局部控制框架。为保持变形部分与不变形部分的连续，局部控制框架若干外层形部分与不变形部分的连续，局部控制框架若干外层的顶点应保持不变。这可

33、以从的顶点应保持不变。这可以从Bezier曲线、曲面的连续曲线、曲面的连续性条件中类推得到。性条件中类推得到。（3）如果三参数实体用非均匀）如果三参数实体用非均匀B样条基或非均匀有理样条基或非均匀有理B样条基，则可以利用这些基函数的性质，进行局部控样条基，则可以利用这些基函数的性质，进行局部控制等。制等。FFD方法中通过改变控制顶点来控制变形，不方便，不直观。难以方法中通过改变控制顶点来控制变形，不方便，不直观。难以获得希望达到的效果。获得希望达到的效果。DFFD方法吸收了方法吸收了FFD方法的优点，一定程度上克服了方法的优点，一定程度上克服了FFD方法的不方法的不足。该方法仍然用控制框架，但

34、用户操作的是物体上的点。足。该方法仍然用控制框架，但用户操作的是物体上的点。其核心其核心思想是：选择物体上的一点，将其移动到所要求的位置，思想是：选择物体上的一点，将其移动到所要求的位置，反算出控反算出控制顶点的位置变化，制顶点的位置变化，然后计算物体上其他的点。然后计算物体上其他的点。反求控制顶点位置变化的问题一般是一个反求控制顶点位置变化的问题一般是一个“欠定欠定”问题。即为达到问题。即为达到所要求的变形，控制顶点位置的变化并不是唯一的。为此可用最小所要求的变形，控制顶点位置的变化并不是唯一的。为此可用最小二乘法求解。二乘法求解。333,000( , ,)( )( )( )i l j m

35、k nlmnlmnu v wN u Nv NwQP为物体上被移动的点，上式可改写为：QQ = BP()newQ= B PP基函数构成的行向量64个控制顶点构成的列向量Q = B PP = BQ例如：单点约束的情况广义逆12( , )(1)( , )( , ),( , )tu vtu vtu vu vPPPDMDMCloned Laugh网格曲面参数化网格曲面参数化分片分片B样条曲面表示样条曲面表示细分（曲线）曲面是对控制（多变形）网格细分（曲线）曲面是对控制（多变形）网格按照一定规则反复细分所得到的极限（曲线按照一定规则反复细分所得到的极限（曲线）曲面）曲面. . 与传统的参数曲面不同的是与传

36、统的参数曲面不同的是, ,细分曲细分曲面可以作为三维模型的一种方便的任意拓扑面可以作为三维模型的一种方便的任意拓扑形式的表示形式的表示. . 因此细分曲面已经被广泛地应因此细分曲面已经被广泛地应用于电影、游戏制做。用于电影、游戏制做。nniiiiiidddddddddd121211201041434143121n,.,i该方法是二次该方法是二次B样条样条节点插入的一个特例节点插入的一个特例！均匀节点序列，每一步细分实际上相均匀节点序列，每一步细分实际上相当于在每个节点区间的中点插入一个当于在每个节点区间的中点插入一个节点。节点。将将Chaikin方法拓展到曲面就是方法拓展到曲面就是Doo-Sa

37、bin细分曲面细分曲面，重要的是，重要的是， Doo-Sabin细分曲面不但能够处理规细分曲面不但能够处理规则控制多面体（每个面有则控制多面体（每个面有4条边，每个内部顶点是条边，每个内部顶点是4个面的汇聚点），而且能够处理任意拓扑的网格。个面的汇聚点），而且能够处理任意拓扑的网格。第一步：计算面重心点第一步：计算面重心点FEV新点新点新面新面第二步：计算边中点第二步：计算边中点第三步：计算新加点第三步：计算新加点 阴影所示的子面的重阴影所示的子面的重心点。心点。第四步：构造新的面第四步：构造新的面F-面，面，E-面，面，V-面面.对于规则控制多面体子区域（对于规则控制多面体子区域（3x3四边

38、形控制网格）四边形控制网格）， ，相邻的片之间是相邻的片之间是C1连续的。在非规则的部分，光滑连续的。在非规则的部分，光滑性一般要降低。非规则面最终收缩为一点，也称为性一般要降低。非规则面最终收缩为一点，也称为“特殊顶点（特殊顶点（extraordinary vertex)”.把三次曲线的细分规则推广到曲面，就是把三次曲线的细分规则推广到曲面，就是. 同样，同样， FEV)(2)(1)()3(VVFVaroundedgesofsintmidpoofaveragenaroundsofaveragenintpovertexoldnn经过第一次经过第一次细分，网格中的所有面均为四边面。细分，网格中的

39、所有面均为四边面。Loop细分算法从一个初始三角控制网格细分算法从一个初始三角控制网格 开始，每个开始，每个细分步骤把网格细分步骤把网格 变成变成 。设控制网格。设控制网格 中的一个控中的一个控制顶点制顶点 具有邻域具有邻域 ，则，则 中的控制顶点中的控制顶点 是是由由 中控制顶点中控制顶点 通过仿射线性组合计算得到通过仿射线性组合计算得到的。的。 0MM rM1rMrMrvrnrrvvv,211rM1rvrMrnrrvvv,1 细分示意图细分示意图 V-点计算规则点计算规则 E-点计算规则点计算规则连接新点产生新面连接新点产生新面rnrrrnnannanavvvv)()()(1 (11833

40、111riririrrivvvvv), 1(ni2)/2cos(4183(85)(nna细分曲面研究的热点问题：细分曲面研究的热点问题：1.1.反问题的求解反问题的求解2.2.求交、等距等操作求交、等距等操作3.3.尖锐特征构造尖锐特征构造4.4.多分辨编辑多分辨编辑思考思考：对于隐式方程，：对于隐式方程， ， 表表示什么曲面？示什么曲面？pp1)(f0)(pf给定三维空间给定三维空间 的的n个散乱点个散乱点 ，可以看成位于，可以看成位于一个体数据场中，每个点都有对应的约束值一个体数据场中，每个点都有对应的约束值 ，如果可以构造一个标量函数如果可以构造一个标量函数 对每一个散乱点都能满对每一个

41、散乱点都能满足足 ，那么由方程，那么由方程 可以定义一个隐式曲面。可以定义一个隐式曲面。 3Rn,.,ccc21n21.hhh，iih)(fc)(pf0)(pf先看二维的情况：先看二维的情况：xy- -平面上任意分布平面上任意分布n个点个点 ， 每个点对应一个高度值每个点对应一个高度值 , 要构造一个要构造一个“光滑光滑”曲面，曲面， 使得使得 。光滑的度量方法之一是光滑的度量方法之一是薄板能量最小。薄板能量最小。iih)(fcn,.,i21dxdyyxfyfxfER2222222n,.,ccc21n21.hhh，薄板能量薄板能量求满足上面的能量极值问题的函数求满足上面的能量极值问题的函数f，是一个变分问题，可是一个变分问题，可以用有限元、有限差分等方法求解。以用有限元、有限差分等方法求解。3pp )()lo