特殊三角形与特殊角三角形在几何题型中的应用

1、特殊三角形与特殊角三角特殊三角形与特殊角三角形在几何题型中的应用形在几何题型中的应用特殊三角形特殊三角形 等腰三角形 等边三角形 一般的直角三角形 等腰直角三角形 有30角的直角三角形 顶角为120的等腰三角形特殊角特殊角 30 150 45 135 60 120特殊角三角形特殊角三角形可分两类：1、只有一个特殊角的三角形2、有两个特殊角的三角形注：此处不包括特殊三角形1、只有一个特殊角的三角形1、只有一个特殊角的三角形1、只有一个特殊角的三角形 一个特殊角需要两条已知边 辅助线：高（特殊角其中一条边上的高） 变成两个直角三角形，其中一个是有特殊角的直角三角形2、有两个特殊角的三角形2、有两个

2、特殊角的三角形2.有两个特殊角的三角形 两个特殊角需要一条已知边 辅助线：高（两特殊角公共边上的高） 变成两个直角三角形，且两个都是有特殊角的直角三角形干嘛使？-求值！求哪些值？ 求边 求角 求面积 等等等.例例1 1、(2014年海淀区一模)如图，在ABC中，ACB=90，ABC=30，BC=4，以AC为边在ABC的外部作等边ACD，连接BD（1）求四边形ABCD的面积；（2）求BD的长点评：第1问求两个特殊三角形的面积和 第2问找出BD所在的三角形，然 后过滤特殊三角形与特殊角三角形， 就能发现如ADB就是一个有120 角，且有边AD，AB已知的特殊角 三角形，问题迎刃而解！例例2 2、（

3、2012年北京中考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，BAC=90，CED=45，DCE=30，DE= ，BE= 求CD的长和四边形ABCD的面积点评：找特殊三角形和特殊角三角形， 发现ABE为等腰三角形， ABC为一般的直角三角形，而 DEC则有两个特殊角，且有DE 这条边已知，问题即可迅速解决。222例例3 3、(2015年海淀一模)如图，在ABCD中，BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，F= 45 (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AB =14，DE =8，求sin AEB的值点评：第1问此处略去100字， 第2问，只需找出ABE这 个

4、特殊角三角形就可解决例例4 4、如图，在 ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，ABC=60，求tanADP的值点评：第1问真的懒得看哈， 第2问，发现APD为特殊 角三角形有木有？综合练习、综合练习、如图1，已知DAC=90，ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，证明：BQ=AP；（2）如图2，3，若当DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，

5、第（1）问的结论是否任然成立，若不成立请说明理由；（3）如图3，若DAC=135，ACP=15，且AC=4，求BQ的长 图1 图2 图3 例例5 5、(2014年朝阳区一模)如图，ABC中，BC AC，点D在BC上，且CA=CD，ACB的平分线交AD于点F，E是AB的中点（1）求证：EFBD ；（2）若ACB=60，AC=8，BC=12，求四边形BDFE的面积 点评：此题中非常简单， 大家瞧一眼就会吧。例例6 6、在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB、BC的交点为E、F，在DA的延长线上取一点G，使AG=AD，若EG与DF的交点为H，求证：AH与正方形的边长相等。 点评：直角

6、三角形斜边上的中线 等于斜边的一半例例7 7、（2014顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，B=D=90，C=60，BC=4，CD=3，求AB的长点评：发现图形是一个30角的直角三角形，补全这个直角三角形 就可解决问题例例8 8、已知：如图，为等边ABC内一点，且PA=3,PB=4,PC=5，求APB的度数。点评：根据已知条件的三条边的关系 想着去构造直角三角形，此处 运用旋转的思想构造特殊三角形例例9 9、如图，P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1:2:3，求APB的度数。点评：思路跟前面一题思路一样，只是 等边三角形旋转构造特殊三角形 旋转60，等腰直角三角形或正方 形则旋转

7、90。例例1010、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，ABC是等边三角形ADC=30，AD = 3，BD = 5，求CD的长。点评：此题通过观察特别像手拉手模型 因此想办法补全模型，因为ADC=30， 结果还能发现ADDE，从而构造出了 直角三角形，而根据手拉手 模型求BD等价于求AE。例例1111、如图，三角形ABC，BAC=30，AP=3，在AB,AC边上分别取D,E两点，连接PD,DE,PE，求PDE周长的最小值点评：最短距离问题，运用两点之间线段最短 BAC=30，对称之后自然就是等边了例例1212、如图：在ABC中，C=900，CAD=300,AC=BC=AD,求CBD的度数。点评：又是30，对称翻折就能出等边了， 因此如图所示将ABD翻折到ABD， 证下AAD ACD就好了。例例1313、如图：在ABC中，AD是边BC上的高，BD=2，DC=3，BAC=45，求AD的长，以及ABC的面积。点评：45，翻折就成90了，因此 可如此翻折构造特殊三角形， 在直角三角形BPC中运用勾股 定理解决问题