刚体力学练习与思考题

1、物理学物理学第五版第五版2022-3-201沿沿逆时针逆时针方方向转动向转动一一 刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标沿沿顺时针顺时针方方向转动向转动tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向P(t+dt)z.OxP(t)r.d物理学物理学第五版第五版2022-3-202角加速度角加速度tdd 刚体刚体定轴定轴转动转动( (一维转动一维转动) )的的转动转动方向方向可以用可以用角速度角速度的正、负的正、负来表示来表示. .00zz物理学物理学第五版第五版2022-3-203( (1) ) 每一质点均

2、作圆周运动，圆面为转动每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；平面； ( (2) ) 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；,a, v定轴转动的定轴转动的特点特点 ( (3) ) 运动描述仅需一个角坐标运动描述仅需一个角坐标物理学物理学第五版第五版2022-3-204二二 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚体绕定轴转动的角加速度当刚体绕定轴转动的角加速度=常量常量时，刚体做时，刚体做匀变速转动匀变速转动

3、物理学物理学第五版第五版2022-3-205三三 角量与线量的关系角量与线量的关系tervte2ntraran2tereratddtt22ddddavrtana物理学物理学第五版第五版2022-3-206 例例1在高速旋转的微型电动机里，有在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转开始起动时，角速度为零起的转轴旋转开始起动时，角速度为零起动后其转速随时间变化关系为：动后其转速随时间变化关系为： 式中式中 求求：( (1) )t= =6 s时电动机的转速时电动机的转速( (2) )起动后，起动后，电动电动机在机在 t= =6

4、 s时间内转过的圈数时间内转过的圈数( (3) )角加速度角加速度随时间变化的规律随时间变化的规律)e1 (/tm，s0 . 2sr5401m物理学物理学第五版第五版2022-3-207( (2) ) 电动机在电动机在6 s内转过的圈数为内转过的圈数为解解 ( (1) ) 将 t=6 s 代入代入1sr513950m.)e1 (/tm( (3) ) 电动机电动机转动的角加速度为转动的角加速度为22/srade540eddttmtr1021. 23ttNtmd)e1 (21d2160/60物理学物理学第五版第五版2022-3-208例例2在高速旋转圆柱形转子可绕垂直在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其

5、横截面通过中心的轴转动开始时，它的其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度角速度 ，经，经300 s 后，其转速达到后，其转速达到 18 000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？比问在这段时间内，转子转过多少转？00解解 令令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221ct物理学物理学第五版第五版2022-3-209当当 t =300 s 时时11srad600minr00018322srad7530060022tc2215021tct221ct物理学物理学第五版第五版2022-3-2010由由2150dd

6、tt得得tttd150d020在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022Nrad4503t物理学物理学第五版第五版2022-3-2011 例例3 有一大型水坝高有一大型水坝高110 m、长、长1 000 m ,水深水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所水面与大坝表面垂直，如图所示示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点过大坝基点 Q 且与且与 x 轴平行的力矩轴平行的力矩 .QyOxyOhxL物理学物理学第五版第五版2022-3-2012 解解 设水深设水深h，坝长，坝长L，在坝面上取面积，在坝面上取面积元元

7、，作用在此面积元上的力，作用在此面积元上的力yLAdd ypLApFdddyOhxyAdydQyOxL物理学物理学第五版第五版2022-3-2013)(0yhgpp令大气压为令大气压为 ，则，则 0pyLyhgpAPFd)(dd0hyLyhgpF00d)(代入数据，得代入数据，得N1091. 510FyOhxyAdyd2021gLhLhpL物理学物理学第五版第五版2022-3-2014QyOyydFdhFyMdd 对通过点对通过点Q的轴的力矩的轴的力矩FdyLyhgpFd)(d0hyLyhgpyM00d)(3206121LhgLhp代入数据，得：代入数据，得：mN1014212 .M物理学物理

8、学第五版第五版2022-3-2015讨论讨论JM（1）tJJMdd（2）（3） =常量常量M，0转动定律转动定律JM 物理学物理学第五版第五版2022-3-2016三转动惯量三转动惯量 J 的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度 . 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm22jjjrmJmrJd2物理学物理学第五版第五版2022-3-2017v 质量离散分布质量离散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布VrmrrmJVjjjdd222 ：质量元：质量元md ：体积元：体积元Vd物理学物理学第五版第五版2022-3-2018

9、例例4 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为索跨过一半径为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为，并系在另一质量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖竖直悬挂直悬挂滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计轴承间的摩擦力可略去不计( (1) )两物体的两物体的线加速度为多少？线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的水平和竖直两段绳索的张力各为多少？张力各为多少？( (2) ) 物体物体 B 从静止落下距从静止落下距离离 y 时

10、，其速率是多少时，其速率是多少？物理学物理学第五版第五版2022-3-2019解解 ( (1) ) 用用隔离法分隔离法分别对各物体作受力分析，别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系取如图所示坐标系ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF物理学物理学第五版第五版2022-3-2020amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm物理学物理学第五版第五版2022-3-20212CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：物理学物理学第五

11、版第五版2022-3-2022如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF （2） B由静止出发作匀加速直线运动，由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率下落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF物理学物理学第五版第五版2022-3-2023稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例5一长为一长为 l 、质

12、量质量为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链O相相接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于此竖直放置的细杆处于非此竖直放置的细杆处于非m,lOmg物理学物理学第五版第五版2022-3-2024 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmg物理学物理学第五版第五版2022-3-2025 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21式中式

13、中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmg物理学物理学第五版第五版2022-3-2026ipjp0, 0p一一 质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量定理和角动量守恒定律 vmp 质点质点运动运动JL 刚体刚体定轴转动定轴转动0, 0p物理学物理学第五版第五版2022-3-2027 例例6 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平的光滑圆环置于竖直平面内面内. 一质量为一质量为 m 的小的小球穿在圆环上球穿在圆环上, 并可在并可在圆环上滑动圆环上滑动. 小球开始小球开始时静止于圆环上的点时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的的水平面上水平面上)，然后从，

14、然后从 A点开始下滑设小球与圆环间的摩擦力略点开始下滑设小球与圆环间的摩擦力略去不计求小球滑到点去不计求小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角的角动量和角速度动量和角速度物理学物理学第五版第五版2022-3-2028 解解 小球受力小球受力 、 作用作用, 的力矩为的力矩为零，重力矩垂直纸面向里零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理cosmgRM tLmgRddcostmgRLdcosdNFPNF物理学物理学第五版第五版2022-3-2029考虑到考虑到2,ddmRmRLtvgRmLLdcosd32得得由题设条件积分上式由题设条件积分上式0320dcosdgRmLLL2

15、1)sin2(Rg2mRL 2123)sin2(gmRL 得得物理学物理学第五版第五版2022-3-2030 例例7一质量为一质量为 m 的登月飞船，在离月的登月飞船，在离月球表面高度球表面高度 h 处绕月球作圆周运动飞船采处绕月球作圆周运动飞船采用如下登月方式：当飞船位于点用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向时，它向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相切地到达点切地到达点 B , 且且OA 与与 OB 垂直飞船所垂直飞船所喷气体相对飞船的速度为喷气体相对飞船的速度为 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质

16、量的质量 是多少是多少? ?14sm1000. 1um物理学物理学第五版第五版2022-3-2031kg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm7001R2sm62. 1g0vAvBBvuvhORA已知已知物理学物理学第五版第五版2022-3-2032 解解 设飞船在点设飞船在点 A 的速度的速度 , 月球质月球质量量 mM ,由万有引力和由万有引力和牛顿定律牛顿定律0v12120sm6121)(hRgRv0vAvBBvuvhORAhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 物理学物理学第五版第五版2022-3-203321)(220vvvAu0vAvBBvuvhORA 飞船

17、在飞船在A点以相对点以相对速度速度 向外喷气的短向外喷气的短时间里时间里 , 飞船的质量飞船的质量减少了减少了 而为而为 , 并并获得速度的增量获得速度的增量 , 使飞船的速度变为使飞船的速度变为 , 其值为其值为vAvmm物理学物理学第五版第五版2022-3-2034RmhRmBvv)(01sm7091)(RhR0Bvv 质量质量 在在 A 点和点和 B 点只受有心力作用点只受有心力作用 , 角动量守恒角动量守恒m 飞船在飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的点喷出气体后，在到达月球的过程中，机械能守恒过程中，机械能守恒RmmGhRmmGMM21212B2Avmvm物理学物理学第五版第五版20

18、22-3-2035RmmGhRmmGMM21212B2AvmvmRmGhRmGMM222B2Avv即即1sm6151Av于是于是121sm100)(202Avvv而而vmum)(kg120ummv物理学物理学第五版第五版2022-3-2036 例例8 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，可的均匀细杆，可绕过其中心绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动内转动当细杆静止于水平位置时，有一只当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处，并背处，并背离点离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆爬行设小

19、虫与细杆的质量均为的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?0vl/4O物理学物理学第五版第五版2022-3-2037220)4(1214lmmllmvl0712 v解解虫与杆的虫与杆的碰撞前后，系统角碰撞前后，系统角动量守恒动量守恒物理学物理学第五版第五版2022-3-2038l0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg得得此即小虫需具有的爬行速率此

20、即小虫需具有的爬行速率物理学物理学第五版第五版2022-3-2039 例例9一杂技演员一杂技演员M由距水平跷板高为由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一，并把跷板另一端的演员端的演员N弹了起来问演员弹了起来问演员N可弹起多高可弹起多高? ?ll/2CABMNh物理学物理学第五版第五版2022-3-2040设跷板是匀质的，长度为设跷板是匀质的，长度为l，质量为质量为 ，跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，在竖直平面内转动，演员的质量均为演员的质量均为m假定演员假定演员M落在跷板上，落在跷板上，与跷板的碰撞是与跷板的碰撞是完全非弹性完

21、全非弹性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前M落在落在 A点的速度点的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬间，碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度具有相同的线速度2lu 物理学物理学第五版第五版2022-3-2041M、N和跷板组成的系统，角动量守恒和跷板组成的系统，角动量守恒22M21121222mllmlmuJlmvll/2CABMNh物理学物理学第五版第五版2022-3-2042lmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演员演员N以以u起跳，达到的高度：起跳，达到的高度：hmmmglguh2222)63(8222M21121222mllmlmuJlmv物理学物理学第五版第五版

22、2022-3-2043 例例10 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率面的轴以角速率 作匀速转动放上唱片作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径为动设唱片的半径为R，质量为，质量为m，它与转，它与转盘间的摩擦系数为盘间的摩擦系数为 ，求：，求：( (1) )唱片与转盘唱片与转盘间的摩擦力矩；间的摩擦力矩； ( (2) )唱片达到角速度唱片达到角速度 时需时需要多长时间；要多长时间；( (3) )在这段时间内，转盘的驱在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？动力矩做了多少功？物理学物理学第五版第五版2022-3-2044RrdrdllrRmgfddd2fdo 解解 ( (1) ) 如图