线性系统理论(Chapter6)

1、16.1 引言 6.2 状态反馈和输出反馈6.3 状态反馈极点配置：单输入情形6.4 输出反馈极点配置 6.5 状态反馈镇定6.6 跟踪控制和扰动控制6.7 线性二次型最优控制：有限时间情形6.8 线性二次型最优控制：无限时间情形6.9 全维状态观测器 6.10 降维状态观测器 6.11 Kx-函数观测器6.12 基于观测器的状态反馈控制系统的特性6.13 小结和评述2综合与分析相反，已知的是系统的结构和参数，以及所期望的系统运动形式或其某些特征，用来确定需要施加于系统的外输入作用即控制作用的规律本章以状态空间描述和状态空间方法为基础，主要在时间域内讨论线性反馈系统的综合问题。返回3综合问题的

2、提法给定系统 和期望的性能指标，综合就是寻找一控制作用u，使得其作用下系统运动的行为满足所给出的期望性能指标。CxytxxBuAxx0,)0(,0状态反馈控制输出反馈控制u = -Kx + v状态反馈系统u = -Fy + v输出反馈系统4非优化型性能指标镇定问题：以渐近稳定作为性能指标极点配置问题：以一组期望的闭环系统极点作为性能指标解耦控制问题：使一个多输入-多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标跟踪问题：系统的输出y无静差地跟踪一个外部信号y0(t)作为性能指标优化型性能指标二次型积分性能指标 确定一个控制u*()，使J(u*()取极小值，通常，u*()称最优控制，J(u*

3、()称最优性能。0)()(dtRuuQxxuJTT5建立可综合条件指相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，使相应的控制存在并实现综合目标所应满足的条件。建立相应的用以综合控制规律的算法对满足可综合条件的问题，确定出满足要求的控制律。状态反馈物理构成问题系统模型的不准确和参数摄动问题对外部扰动的影响的抑制问题返回6状态反馈和输出反馈的构成CxyBvxBKAx)(CxyBvxBFCAx)(BBKAsICsGk1)()()()()()()()(111sGFsGIsFGIsGBBFCAsICsGooooFGo(s)=C(sI-A)-1B状态反馈输出反馈7证明：I. 状态反馈系统xf能控的充要条件是

4、受控系统0能控。 Qc = B | AB | | An-1B QcK = B |( A-BK)B | | |( A-BK)n-1B结论6.1 状态反馈的引入，不改变系统的能控性。结论6.2 状态反馈的引入，可能改变系统的能观测性。ccKQQrankrank另一方面， 0也可看作xf的状态反馈系统BuxBKBKABuAxx)(cKcQQrankrank综上，cKcQQrankrank8II. 状态反馈系统不一定能保持能观测性 举例说明，系统xyuxx 11 10302125111rankrankrank0CACQ所以系统能观测加入状态反馈，K = 0 5 ，则xyvxBvxBKAx 11 101

5、021)(nBKACCQK11111rank)(rankrank0所以状态反馈可能改变系统的能观测性9结论6.3 输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性，即输出反馈系统 yf为能控(能观测)的充分必要条件是受控系统 0为能控(能观测)。输出反馈为系统结构信息的不完全反馈，改善措施是采用动态输出反馈系统状态反馈通常不可直接量测，改善措施是引入状态观测器返回10问题的提法线性定常受控系统BuAxx给定期望的闭环系统极点,*2*1n,*2*1n状态反馈极点配置问题就是对给定的受控系统，确定状态反馈控制u = -Kx + v，v为参考输入，即确定状态反馈增益矩阵K，使得导出的状态反馈闭环系统

6、的极点为 ，即BvxBKAx)(niBKAii, 2 , 1,)(*11期望闭环极点组的性能指标属性，联系控制理论和控制工程控制工程中基本类型性能指标 时间域性能指标：单位阶跃响应定义超调量s = 响应曲线第一次越过稳态值达到峰点时超调部分与稳态值之比过渡过程时间ts = 响应曲线最终进入稳态值5%(或2%)范围而不再跃出的时间上升时间tr = 响应曲线首次从稳态值10%过渡到稳态值90%所需时间延迟时间td = 响应曲线首次达到稳态值50%所需时间峰值时间tp = 响应曲线第一次达到峰点时间12频率域性能指标：频率响应幅频特性定义谐振峰值Mr = 幅频特性曲线达到峰点的值谐振角频率wr= 幅

7、频特性曲线峰值点对应角频率值截止角频率wcc= 幅频特性曲线值为0.707处对应角频率值二阶系统的性能指标关系式典型二阶单输入单输出连续时间线性时不变系统uydtdyTdtydT2222T：时间常数；0 0，Q 0，或Q 0且A，Q1/2能观测，则证明：I. Q 0，由解阵P的性质，P 0。取李亚普诺夫函数V(x) = xTPx为正定，有xPxPxxdtxdVxVTT)()(xPBPBRPBPBRPAPAxTTTT)(1137xPBPBRQxTT)(1)(xV负定又因为 ，所以闭环系统大范围渐近稳定)(xVx时，有II. Q 0且(A，Q1/2)为能观测。V(x) = xTPx为正定xPBPB

8、RQxxVTT)()(1)(xV负半定反证法证明对一切x00的运动解x(t)，有 0。设对某个x00的x(t)有 0，所以xT(t)Qx(t)0，xT(t)PBR-1BTPx(t)0)(xV)(xV0 (R-1BTPx(t)TR(R-1BTPx(t) = u*T(t)R u*(t)0 xT(t)Q1/2 Q1/2x(t) = Q1/2x(t)TQ1/2x(t)u*(t) 0Q1/2 x(t) 0与A，Q1/2为能观测相矛盾，所以有 0 )(xV)(xVx时，有又因为所以闭环系统大范围渐近稳定，证明完成。38引入衰减度后，LQ调节问题变为0, 0)(lim)()(0,)0(,020ttTTtet

9、xdtRuuQxxeuJtxxBuAxx 在综合得到的最优调节系统中，闭环系统矩阵的所有特征值的实部均小于-，引入线性变换转换为无限时间时不变LQ调节问题ttueuxex,0)(lim)()()0(,)(00txdtuRuxQxuJxxuBxIAxtTT39结论6.43 指定衰减度的无限时间时不变LQ调节问题，最优控制的充要条件是 u*(t)=-K*x*(t)，K* = R-1BTP最优调节系统为则最优调节系统以为衰减上限指数稳定，即其中，P为矩阵黎卡提代数方程的正定对称解阵：0)()(1PBPBRQPIAIAPTT0,)0(*,)(*01txxxPBBRAxT0)(limttetx40结论6

10、.44 多输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节系统，必满足如下频率条件：I+R1/2K*(-jwI-A)-1BR-1/2T I+R1/2K*(jwI-A)-1BR-1/2 I其中等号只对有限个w值成立 。结论6.45 单输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节系统必满足如下频率条件： |1+k*(jwI-A)-1b| 1其中等号只对有限个w值成立 。41单输入情况频率域条件的几何解释w =0-1jg0(jw)w =01|1+g0(jw)| 1结论6.46 单输入时不变无限时间LQ调节问题，最优调节系统的频率域条件几何表示为，开环频率响应g0(jw) = k*(jwI-A)-1b在复平面上由

11、w = 0变化到w = 的曲线必不进入单位圆(-1, j0)内，且g0(jw)曲线和单位圆(-1, j0)只有有限个相切点。bAsIksg1*0)()(42鲁棒性：指当受控系统的参数或反馈增益阵的参数发生摄动时，闭环调节系统仍能保持渐近稳定的属性。增益裕度：保持闭环系统渐近稳定的的变化范围。w =01-1jg0(jw)w =00相角裕度：g0(jw)当w=0的曲线和单位圆的交点与负实轴的夹角。43结论6.47 单输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节系统必具有(i) 至少60o的相角裕度；(ii) 从1/2到的增益裕度。结论6.48多输入无限时间时不变LQ调节问题，取相对控制输入加权阵R =

12、 diagr1，. ，rp，ri 0，则最优调节系统的每个反馈控制回路必具有：(i) 至少60o的相角裕度；(ii) 从1/2到的增益裕度。多输入情况0-1jg0(jw)10-2-60o+60ofg44反馈通道中包含非线性摄动的鲁棒性问题-1-2-1-21212(s)s结论6.49 多输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节系统的反馈通道内包含非线性摄动(s)，s=K*x，则当其满足如下扇形条件时： k1sTRs sTR(s) k2sTs，s 0其中，1/2k1k2，k2，闭环系统为大范围渐近稳定。45最优跟踪问题：就是寻找一个控制u*()，使受控系统 的输出y跟踪信号系统 的输出 的同时使如

13、下定义的二次型性能指标为极小。其中，加权阵Q为正半定阵，R为正定阵。qRyCxytxxBuAxx,0,)0(,0qRyHzyzzFzz,)0(,0y0)()()(dtRuuyyQyyuJTT46结论6.51 受控系统跟踪信号系统的相对于二次型性能指标的最优控制律u*()为 u*(t) = -R-1BTPx- R-1BTP12z = -K1*x- K2*z而最优性能值为最优跟踪系统的结构如下图所示。01200220000022121200*2zPxzPzPxxzxPPPPzxJTTTTTT返回黎卡提方程解阵 分块化表示P47状态重构和状态观测器重构状态或估计状态按功能分：函数观测器，状态观测器，

14、按结构分：全维观测器，维数 = 原系统降维观测器，维数 1返回56CxyBuAxx,n维线性定常系统A，C能观测，rankC=q，则降维观测器最小维数为n-q。同时，降维观测器抗噪能力低于全维状态观测器降维状态观测器的基本特性降维状态观测器：综合方案I基本思路是在利用输出y的基础上，对n-q维分状态构造全维状态观测器 算法6.11：选取 非奇异，计算因为PQ=In，所以CQ1=Iq，CQ2=0nnRCP)(211qnnqnQQPQ结论6.60，6.6157引入变换 ，导出下式，所以重构的仅是(n - q)维分状态2xPxx 1212121212221121121xxxCQCQyuBBxxAAA

15、Axxx结论6.63计算)()(*1*ssqnii极点配置综合 阵，使成立K)()det(*1222sKAAsITT取TKL 58综合得到降维状态观测器)()()()(21212112121222yLzQyQxyLzxuBLByALAxALAz59n维线性时不变系统，A，C能观测，rankC=q。其降维状态观测器取为 的条件是HuGyFzz结论6.67 上述(n-q)降维观测器实现的充要条件是存在使 为非奇异的(n-q)n满秩阵T，成立(1) TA FT = GC(2) H = TB(3) F特征值i(F)，i = 1, ,n-q，均具有负实部。估计状态为TCPzQyQzyQQzyTCx212

16、11降维状态观测器：综合方案II60结论6.68 设A和F不具有公共特征值，则方程TAFT=GC存在满秩解阵T使 为非奇异的必要条件是A，C能观测， F，G能控。对于单输出情形，这个条件也是充分条件。TCP算法6.12：计算*01*11*)(qnqnqnqniisss计算*1*1*001010qnF61选取非奇异阵R，计算F = RF0R-1选取G，使F，G能控求解TA FT = GC，定出唯一解阵T计算H = TB，所设计降维状态观测器为估计状态HuGyFzzzQyQx21P非奇异?YNq?=11返回62CxyxxBuAxx0)0(,能控能观测系统以Kx为重构目标的函数观测器可取为：NyMz

17、wzzHuGyFzz0)0(, 结论6.70 成为Kx-函数观测器的充要条件为(1) TA FT = GC，T为mn实常阵(2) H = TB(3) F的全部特征值均具有负实部。(4) MT + NC = K)(lim)(limtKxtwtt函数观测器的目标为：63 如何确定函数观测器的维数m 结论6.71 如果K为1n维常向量，可取m=g 1，g为A，C的能观测型指数算法6.13：计算被估计系统的能观测性指数g指定函数观测器的特征值 ，都为具有负实部的共轭复数或负实数，则*02*2111*)(ggggsssii*1*1,g取) 1() 1(*2*1*0200ggggIF) 1(1001 gM

18、64引入非奇异变换PT=CT，RT，rankC=q，R需保证P为非奇异，则 ，PBBPAPA,1)(11211qnqKKKPK计算20222221222KAKAKKggg,*2*1*2qqqqqIIIIIgg22212221212gAAAAAV求解组成VtttK,112, 11, 1ggqtttT)1(1, 112111gg65求解组成122, 1322121122221, 2121122222221AtAAtAKtAtAKtKtgggg)() 1(1, 222212qntttTgg组成并计算nTTT) 1(21g111111212111tKTMKNBTHTFATATG66所设计的(g-1)维

19、Kx-函数观测器且成立NyMzwHuGyFzz)(lim)(limtKxtwtt对于函数Kx，函数观测器的最小维数因具体问题的不同而不同。若pn阵K为秩1的，即rankK=1，表K = rK1，其中r为p1，K1为1n常向量，同样可取g 1维函数观测器重构Kx。算法如上所示。返回67基于观测器的状态反馈系统的组成zxCyvHBzxHKQFCHKQGCBKQCBKQAzx0212168令KB为包含观测器的状态反馈系统，0和OB分别为受控系统和观测器，则它们的维数之间成立： dim(KB) = dim(0) + dim(OB)包含观测器的状态反馈系统的特征值集合具有分离性， KB的特征值集合=i(

20、A-BK)，i = 1,，n； j(F)，j = 1, ，n-q分离性原理：观测器的引入不影响由状态反馈阵K所配置的系统特征值i(A-BK)，i=1,，n；状态反馈的引入也不影响已设计好的观测器的特征值j(F)，j = 1, ，n-q。所以对包含观测器的状态反馈系统其设计可分离地来进行；69观测器的引入不改变原状态反馈系统的传递函数矩阵观测器的引入使状态反馈系统KB不再保持能控性，即KB不完全正确能控，且分解后的能控部分为A-BK,B,C 一般地说，包含观测器的状态反馈系统在鲁棒性上较直接状态反馈系统为差。观测器综合原则：通常选择观测器特征值负实部取为A-BK特征值负实部的2-3倍，即 Re

21、(F) = (23) Re (A - BK)70G1(s)=KQ2(sI-F)-1HG2(s)=KQ2(sI-F)-1G+ KQ1Gp(s)= G2(s) GT(s)=I + G1(s)-171本章定位：对连续时间线性时不变状态反馈控制系统的综合和实现方法的系统论述控制系统综合的理论和方法：核心是对相应类型性能指标建立状态反馈可综合条件；实质是为确定状态反馈提供可行算法极点配置问题：节6.3节6.6动态解耦和静态解耦问题：节6.7节6.8扰动抑制和渐近跟踪问题：节6.9线性二次型最优控制问题：节6.10节6.11控制系统物理实现和实际运行中的理论问题观测器：节6.12节6.14具有观测器的状态反馈系统：分离性，节6.15返回72例 给定单输入线性定常系统和期望的闭环特征值，求反馈增益阵。uxx0011210061000jj1,1, 2*3*2*1解：计算特征多项式ssssssAsI7218121006100det)det(23464)1)(1)(2()()(2331*sssjsjssssii14,66, 4,2*21*10*0k73001011211872118720118001001016100111,2122bA