平衡问题求解八法(保存)

1、三个重要概念三个重要概念1、物体的平衡状态物体的平衡状态 指物体保持静止或匀速直线运动状态指物体保持静止或匀速直线运动状态2 2、共点力作用下物体的平衡条件、共点力作用下物体的平衡条件 指处于平衡状态的物体受力所满足的条指处于平衡状态的物体受力所满足的条 件，即合力等于零。件，即合力等于零。3 3、平衡问题、平衡问题 研究处于平衡状态下的物体的受力问题研究处于平衡状态下的物体的受力问题物体的平衡问题的物体的平衡问题的八种解法八种解法1.判断物体是否处于平衡状态的方法判断物体是否处于平衡状态的方法(1)从运动角度判断从运动角度判断当物体的速度大小和方向不变时，物体处于平衡状态当物体的速度大小和方

2、向不变时，物体处于平衡状态.物体的速度为零时，不一定处于平衡状态，只有物体物体的速度为零时，不一定处于平衡状态，只有物体的加速度为零，物体才处于平衡状态的加速度为零，物体才处于平衡状态.(2)从受力角度判断从受力角度判断共点力作用下物体的平衡条件是合外力为零，表达式：共点力作用下物体的平衡条件是合外力为零，表达式： F合合0或写成分量形式或写成分量形式 Fx0和和Fy0.二力平衡时，二力等大、反向、共线二力平衡时，二力等大、反向、共线.物体受三个非平行力的作用而平衡时，这三个物体受三个非平行力的作用而平衡时，这三个力的作用线力的作用线(或延长线或延长线)必交于一点，且三力必共必交于一点，且三力

3、必共面，这三个力构成顺向的闭合三角形面，这三个力构成顺向的闭合三角形.物体在几个共点力的作用下处于平衡状态时，物体在几个共点力的作用下处于平衡状态时，其中任意一个力必与其他力的合力等大、反向、其中任意一个力必与其他力的合力等大、反向、共线共线.物体处于平衡状态时的物体处于平衡状态时的3个重要推论：个重要推论：2.分析平衡问题的基本步骤分析平衡问题的基本步骤 (1)选定研究对象：选定研究对象： 整体法和隔离法整体法和隔离法 (2)确定物体是否处于平衡状态：确定物体是否处于平衡状态：a0 (3)进行受力分析：画出准确规范的受力示意图进行受力分析：画出准确规范的受力示意图 (4)建立平衡方程：灵活运

4、用平行四边形定则、建立平衡方程：灵活运用平行四边形定则、 正交分解法、三角形法则及数学方法等正交分解法、三角形法则及数学方法等平衡问题平衡问题求解八法求解八法二二 正交分解法正交分解法 一一 力的合成法力的合成法三三 整体法与隔离法整体法与隔离法 四四 三角形法三角形法 五五 相似三角形法相似三角形法 六六 正弦定理法正弦定理法七七 拉密原理法拉密原理法八八 对称法对称法 一一 力的合成法力的合成法 物体在三个共点力的作用下处于平衡状态物体在三个共点力的作用下处于平衡状态, ,则任意则任意 两个力的合力一定与第三个力大小相等两个力的合力一定与第三个力大小相等, ,方向相反方向相反, , “ “

5、力的合成法力的合成法”是解决三力平衡问题的基本方法是解决三力平衡问题的基本方法. .【例例1 1】如图如图1 1所示所示, ,重物的质量为重物的质量为m m, , 轻细绳轻细绳AOAO和和BOBO的的A A端、端、B B端是固定端是固定 的的, ,平衡时平衡时AOAO水平水平, ,BOBO与水平面的与水平面的 夹角为夹角为, ,AOAO的拉力的拉力F F1 1和和BOBO的拉力的拉力 F F2 2的大小是多少？的大小是多少？ 图图1 1 解析解析 根据三力平衡特点根据三力平衡特点, ,任意两任意两力的合力与第三个力等大反向力的合力与第三个力等大反向, ,可作可作出如图矢量图出如图矢量图, ,由

6、三角形知识可得由三角形知识可得F F1 1= =mgmgcot cot , ,所以正确选项为所以正确选项为D.D.答案答案 D .sin2mgF 二二 正交分解法正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用时物体受到三个或三个以上力的作用时, ,常用正交分常用正交分 解法列平衡方程求解解法列平衡方程求解: :F Fx x合合=0,=0,F Fy y合合=0.=0.为方便计算为方便计算, ,建建 立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则. .【例例2 2】如图如图2 2所示，不计滑轮摩擦所示，不计滑轮摩擦, ,A A、B B两物体均处两物体均处 于静止状

7、态于静止状态. . 现加一水平力现加一水平力F F作用在作用在B B上使上使B B缓慢右缓慢右 移移, ,试分析试分析B B所受力所受力F F的变化情况的变化情况. . 图图2 2 解析解析 对物体对物体B B受力分析如图受力分析如图, ,建立如图直角坐标系建立如图直角坐标系. . 在在y y轴上有轴上有F Fy y= =N N+ +F FA Asin sin - -G GB B=0 =0 在在x x轴上有轴上有F Fx x= =F F- -f f - -F FA Acos cos =0 =0 又又f f = =N N 联立得联立得F F= =G GB B+ +F FA A(cos (cos

8、- -sin sin ).).可见可见, ,随着随着不断减小不断减小, ,水平力水平力F F将不断增大将不断增大. .答案答案 随着随着不断减小不断减小, ,水平力水平力F F将不断增大将不断增大 三三 整体法与隔离法整体法与隔离法 整体法是把两个或两个以上物体组成的系统作为整体法是把两个或两个以上物体组成的系统作为一个整体来研究的分析方法。一个整体来研究的分析方法。 当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时受力和运动时, ,一般可采用整体法一般可采用整体法. . 隔离法是将所确定的研究对象从连接体中隔离隔离法是将所确定的研究对象从连接体

9、中隔离出来进行分析的方法出来进行分析的方法, ,其目的是便于进一步对该物体其目的是便于进一步对该物体进行受力分析，得出与之关联的力进行受力分析，得出与之关联的力. . 为了研究系统为了研究系统( (连接体连接体) )内某个物体的受力和运内某个物体的受力和运动情况时动情况时, ,通常可采用隔离法通常可采用隔离法. . 整体法和隔离法是结合在一起使用的整体法和隔离法是结合在一起使用的. . 【例例3 3】有一直角支架有一直角支架AOBAOB, ,AOAO水平水平 放置放置, ,表面粗糙表面粗糙; ;OBOB竖直向下竖直向下, ,表面表面 光滑光滑. .AOAO上套有小环上套有小环P P, ,OBO

10、B上套有小上套有小 环环Q Q, ,两环质量均为两环质量均为m m. .两环间由一根两环间由一根 质量可忽略且不可伸长的细绳相连质量可忽略且不可伸长的细绳相连, , 并在某一位置平衡并在某一位置平衡, ,如图如图. .现将现将P P环向左移一小环向左移一小 段距离段距离, ,两环再次达到平衡两环再次达到平衡, ,将移动后的平衡状态和将移动后的平衡状态和 原来的平衡状态比较，原来的平衡状态比较，AOAO杆对杆对P P环的支持力环的支持力N N和细和细 绳上的拉力绳上的拉力T T的变化情况是的变化情况是 ( )( ) A. A.N N不变不变, ,T T变大变大 B.B.N N不变不变, ,T T

11、变小变小 C.C.N N变大变大, ,T T变大变大 D.D.N N变大变大, ,T T变小变小 解析解析 采取先采取先“整体整体”后后“隔离隔离”的方法的方法. .以以P P、Q Q 绳为整体研究对象绳为整体研究对象, ,受重力、受重力、AOAO给给的向上弹力、的向上弹力、OBOB给的水平向左弹给的水平向左弹力力. .由整体处于平衡状态知由整体处于平衡状态知AOAO给给P P 向右静摩擦力与向右静摩擦力与OBOB给的水平向左给的水平向左弹力大小相等弹力大小相等; ;AOAO给的竖直向上弹给的竖直向上弹力与整体重力大小相等力与整体重力大小相等. .当当P P环左移环左移一段距离后一段距离后,

12、,整体重力不变整体重力不变, ,AOAO给的竖直向上弹力也给的竖直向上弹力也不变不变. .再以再以Q Q环为隔离研究对象环为隔离研究对象, ,受力如图所示，受力如图所示，Q Q环环所受重力所受重力G G、OBOB给给Q Q的弹力的弹力F F1 1, ,绳的拉力绳的拉力T T处于平衡处于平衡; ;P P 环向左移动一小段距离的同时环向左移动一小段距离的同时T T移至移至T T位置，仍位置，仍能平衡，即能平衡，即T T竖直分量与竖直分量与G G大小相等大小相等, ,T T应变小应变小, ,所以所以正确答案为正确答案为B B选项选项. .答案答案 B 练习练习如图所示，如图所示，A、B两木块用细线相

13、连放在水平面两木块用细线相连放在水平面上，两次细线方向不同但倾角一样，两木块与水平上，两次细线方向不同但倾角一样，两木块与水平面间的动摩擦因数相同面间的动摩擦因数相同.先后用水平力先后用水平力F1和和F2拉着拉着A、B一起匀速运动，则一起匀速运动，则 ()A.F1F2 B.F1F2C.FT1FT2 D.FT1FT2 解析：解析：设设A、B的质量分别为的质量分别为mA、mB，取，取A、B为一为一个整体可得：个整体可得：F1F2(mAmB)g故故A错误，错误，B正确；正确；设细线与水平方向的夹角为设细线与水平方向的夹角为，单独隔离，单独隔离A木块，用木块，用平衡条件可得：平衡条件可得：FT1cos

14、(mAgFT1sin)， FT2cos(mAgFT2sin)，得出：得出： 故故FT190，现在用力，现在用力F拉绳，使拉绳，使BCA缓慢缓慢变小，直到杆变小，直到杆BC接近竖直杆接近竖直杆AC，此过程中，此过程中，杆杆BC所受的力所受的力 ()A大小不变大小不变B逐渐增大逐渐增大C逐渐减小逐渐减小 D先减小后增大先减小后增大 解析解析B点共受三个力作用而平衡：物体对作点共受三个力作用而平衡：物体对作用点用点B的拉力与的拉力与G大小相等、方向相同，杆大小相等、方向相同，杆BC的弹力的弹力FN，绳的拉力，绳的拉力FT.由平衡条件及平行四边形定则可知由平衡条件及平行四边形定则可知B点的受力如图点的

15、受力如图18所示，所示，FG. 由几何知识可知：几何三角形由几何知识可知：几何三角形ABC与力三角与力三角形相似，即：形相似，即：答案答案A FN G 在杆被拉起的过程中，在杆被拉起的过程中，BC、AC、G不变，不变，所以所以FN大小不变，故选项大小不变，故选项A正确正确六六 正弦定理法正弦定理法 正弦定理：在同一个三角形中正弦定理：在同一个三角形中, ,三三角形的边长与所对角的正弦比值相角形的边长与所对角的正弦比值相等。在图中有等。在图中有同样同样, ,在力的三角形中也满足上述关系在力的三角形中也满足上述关系, ,即力的大小与所对角的正弦比值相等即力的大小与所对角的正弦比值相等. .【例例6

16、 6】不可伸长的轻细绳不可伸长的轻细绳AOAO、BOBO 的结点为的结点为O O, ,在在O O点悬吊电灯点悬吊电灯L L, ,OAOA绳绳 处于水平处于水平, ,电灯电灯L L静止静止, ,如图所示如图所示. .保保 持持O O点位置不变点位置不变, ,改变改变OAOA的长度使的长度使A A 点逐渐上升至点逐渐上升至C C点点, ,在此过程中绳在此过程中绳OAOA 的拉力大小如何变化？的拉力大小如何变化？.sinsinsinBACABCCAB解析解析 取取O O点为研究对象，点为研究对象，O O点受灯的点受灯的拉力拉力F F( (大小等于电灯重力大小等于电灯重力G G) )、OAOA绳的绳的

17、拉力拉力T T1 1、OBOB绳的拉力绳的拉力T T2 2, ,如右图所示如右图所示. .因为三力平衡因为三力平衡, ,所以所以T T1 1、T T2 2的合力的合力G G与与G G等大反向等大反向. .由正弦定理得由正弦定理得由图知由图知不变不变, ,由小变大由小变大, ,所以据所以据T T1 1式知式知T T1 1先变小先变小后变大后变大, ,当当=90=90时时, ,T T1 1有最小值有最小值. .,sinsin,sinsin11GTGT即七七 拉密原理法拉密原理法拉密原理拉密原理: :如果在三个共点力作用如果在三个共点力作用下物体处于平衡状态下物体处于平衡状态, ,那么各力的大那么各

18、力的大小分别与另外两个力所夹角的正弦小分别与另外两个力所夹角的正弦成正比成正比. .在图在图8 8所示情况下所示情况下, ,原理表达原理表达式为式为.sinsinsin332211FFF【例例7 7】如图所示装置如图所示装置, ,两根细绳拉住两根细绳拉住 一个小球一个小球, ,保持两绳之间夹角保持两绳之间夹角不变不变; ; 若把整个装置顺时针缓慢转动若把整个装置顺时针缓慢转动9090, , 则在转动过程中则在转动过程中, ,CACA绳拉力绳拉力T T1 1大小大小 的变化情况是的变化情况是_,_,CBCB绳拉力绳拉力 F FT T2 2大小的变化情况是大小的变化情况是_. _. 解析解析 在整

19、个装置缓慢转动的过程中，在整个装置缓慢转动的过程中， 可以认为小球在每一位置都是平衡的可以认为小球在每一位置都是平衡的, ,小小球受到三个力的作用球受到三个力的作用, ,如图所示如图所示, ,根据拉根据拉密原理有密原理有由于由于不变、不变、由由9090逐渐变为逐渐变为180180,sin ,sin 会逐渐会逐渐变小直到为零变小直到为零, ,所以所以T T2 2逐渐变小直到为零逐渐变小直到为零; ;由于由于由由钝角变为锐角钝角变为锐角,sin ,sin 先变大后变小，所以先变大后变小，所以T T1 1先变大先变大后变小后变小. .答案答案 先变大后变小先变大后变小 逐渐变小直到为零逐渐变小直到为

20、零 .sinsinsin21GTT 八八 对称法对称法 研究对象所受力若具有对称性研究对象所受力若具有对称性, ,则求解时可把较复则求解时可把较复 杂的运算转化为较简单的运算杂的运算转化为较简单的运算, ,或者将复杂的图形转或者将复杂的图形转化为直观而简单的图形化为直观而简单的图形. .所以在分析问题时，首先应所以在分析问题时，首先应明确物体受力是否具有对称性明确物体受力是否具有对称性. .【例例8 8】如图如图1010所示所示, ,重为重为G G的均的均 匀链条挂在等高的两钩上匀链条挂在等高的两钩上, ,链条链条悬挂处与水平方向成悬挂处与水平方向成角角, ,试求：试求： (1)(1)链条两端

21、的张力大小；链条两端的张力大小；(2)(2)链条最低处的张力大小链条最低处的张力大小. . 解析解析 (1)(1)在求链条两端的张力时在求链条两端的张力时, ,可把链条当做一可把链条当做一 个质点处理个质点处理. .两边受力具有对称性使两端点的张力两边受力具有对称性使两端点的张力F F 大小相等，受力分析如图甲所示大小相等，受力分析如图甲所示. .取链条整体为质点取链条整体为质点研究对象研究对象. .由平衡条件得竖直方向由平衡条件得竖直方向2 2F Fsinsin= =G G, ,所以端点张力为所以端点张力为(2)(2)在求链条最低点张力时在求链条最低点张力时, ,可将链条一分为二可将链条一分

22、为二, ,取一取一半研究半研究. .受力分析如图乙所示受力分析如图乙所示, ,由平衡条件得水平方向由平衡条件得水平方向所受力为所受力为 即为所求即为所求. .答案答案.sin2GF .cot2cossin2cosGGFFcot2)2(sin2) 1 (GG 1.1.如图如图1111所示所示, ,质量为质量为m m的质点的质点, ,与三根相同的螺旋形与三根相同的螺旋形 轻弹簧相连轻弹簧相连. .静止时静止时, ,弹簧弹簧c c沿竖直方向沿竖直方向, ,相邻两弹簧相邻两弹簧 间的夹角均为间的夹角均为120120. .已知弹簧已知弹簧a a、b b对质点的作用力对质点的作用力 大小均为大小均为F F

23、, ,则弹簧则弹簧c c对质点的作用力大小不可能为对质点的作用力大小不可能为 ( )( ) 图图1111 A.3 A.3F F B.B.F F+ +mg mg C.C.F F- -mg mg D.D.mgmg- -F F 课堂练习课堂练习解析解析 质点受四个力作用：重力质点受四个力作用：重力mgmg，a a、b b、c c的弹力的弹力 F Fa a、F Fb b、F Fc c, ,四力合力为零四力合力为零, ,由于弹簧由于弹簧a a、b b对质点的作对质点的作用力方向未知用力方向未知, ,故本题有多解故本题有多解. .当弹簧当弹簧a a、b b的弹力均斜向上或斜向下时的弹力均斜向上或斜向下时,

24、 ,因为夹角等因为夹角等于于120120, ,故故a a、b b的弹力的合力大小为的弹力的合力大小为F F，且竖直向上，且竖直向上或竖直向下或竖直向下. .当当a a、b b弹力的合力竖直向上弹力的合力竖直向上, ,c c的弹力也向上时的弹力也向上时, ,F Fc c= =mgmg- -F F, ,则当则当mgmg=2=2F F时时, ,F Fc c= =F F, ,故选项故选项D D正确正确. .当当a a、b b弹力的合力竖直向上，弹力的合力竖直向上，c c的弹力向下时，的弹力向下时，F Fc c= =F F- -mgmg, ,故选项故选项C C正确正确. .当当a a、b b弹力的合力竖

25、直向下，弹力的合力竖直向下，c c的弹力向上时的弹力向上时, ,F Fc c= =F F+ +mgmg, ,故选项故选项B B正确正确. . 答案答案 A2 2. .假期里假期里, ,一位同学在厨房一位同学在厨房 协助妈妈做菜，对菜刀发协助妈妈做菜，对菜刀发 生了兴趣生了兴趣. . 他发现菜刀的他发现菜刀的 刀刃前部和后部的厚薄不刀刃前部和后部的厚薄不 图图1212 一样一样, ,刀刃前部的顶角小刀刃前部的顶角小, ,后部的顶角大后部的顶角大( (如图如图1212所示所示),), 他先后做出过几个猜想他先后做出过几个猜想, ,其中合理的是其中合理的是 ( )( ) A. A.刀刃前部和后部厚薄

26、不匀刀刃前部和后部厚薄不匀, ,仅是为了打造方便仅是为了打造方便, ,外形外形 美观美观, ,跟使用功能无关跟使用功能无关 B.B.在刀背上加上同样的压力时在刀背上加上同样的压力时, ,分开其他物体的力跟刀分开其他物体的力跟刀 刃厚薄无关刃厚薄无关 C.C.在刀背上加上同样的压力时在刀背上加上同样的压力时, ,顶角越大顶角越大, ,分开其他物分开其他物 体的力越大体的力越大 D.D.在刀背上加上同样的压力时在刀背上加上同样的压力时, ,顶角越小顶角越小, ,分开其他物分开其他物 体的力越大体的力越大 解析解析 把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角 劈劈,

27、 ,设顶角为设顶角为2 2, ,背宽为背宽为d d, ,侧面长为侧面长为l l, ,如下图甲所示如下图甲所示. .当在劈背施加压力当在劈背施加压力F F后产生垂直侧面的两个分力后产生垂直侧面的两个分力F F1 1、F F2 2, ,使用中依靠着这两个分力分开被加工的其他物体使用中依靠着这两个分力分开被加工的其他物体. .由对称可知这两个分力大小相等由对称可知这两个分力大小相等( (F F1 1= =F F2 2),),因此画出力因此画出力分解的平行四边形分解的平行四边形, ,实为菱形如图乙所示实为菱形如图乙所示. . 在这个力的平行四边形中，取其四分之一考虑在这个力的平行四边形中，取其四分之一

28、考虑( (图中图中 阴影部分阴影部分).).根据它跟半个劈的直角三角形的相似关根据它跟半个劈的直角三角形的相似关系系, ,有关系式有关系式由此可见由此可见, ,刀背上加上一定的压力刀背上加上一定的压力F F时时, ,侧面分开其他侧面分开其他物体的力跟顶角的大小有关物体的力跟顶角的大小有关, ,顶角越小顶角越小,sin ,sin 的值越的值越小小, ,F F1 1和和F F2 2越大越大. .但是刀刃的顶角越小时但是刀刃的顶角越小时, ,刀刃的强度会减小刀刃的强度会减小, ,碰到较硬碰到较硬的物体时刀刃会卷口甚至碎裂的物体时刀刃会卷口甚至碎裂, ,实际制造过程中为了实际制造过程中为了适应加工不同

29、物体的需要适应加工不同物体的需要, ,所以做成前部较薄所以做成前部较薄, ,后部较后部较厚厚. .使用时，用前部切一些软的物品使用时，用前部切一些软的物品( (如鱼、肉、蔬如鱼、肉、蔬菜、水果等菜、水果等),),用后部斩劈坚硬的骨头之类的物品用后部斩劈坚硬的骨头之类的物品, ,俗俗话说话说: :“前切后劈前切后劈”, ,指的就是这个意思指的就是这个意思, ,故选项故选项D D正确正确. .答案答案 D.sin2,sin122211FFFdlFF解解得得3.3.图图1313甲为杂技表演的安全网示意图甲为杂技表演的安全网示意图, ,网绳的结构为网绳的结构为 正方格形正方格形, ,O O、a a、b

30、 b、c c、d d为网绳的结点，安全为网绳的结点，安全 网水平张紧后网水平张紧后, ,若质量为若质量为m m的运动员从高处落下的运动员从高处落下, ,并并 恰好落在恰好落在O O点上点上, ,该处下凹至最低点时该处下凹至最低点时, ,网绳网绳dOedOe, ,bOgbOg 均成均成120120向上的张角向上的张角, ,如图乙所示如图乙所示, ,此时此时O O点受到的点受到的 向下的冲击力大小为向下的冲击力大小为F F, ,则这时则这时O O点周围每根网绳承点周围每根网绳承 受的力的大小为受的力的大小为 ( )( ) 图图13 13 A.A.F F B. C.B. C.F F+ +mg mg

31、D. D. 解析解析 对对O O点进行受力分析点进行受力分析, ,它受到向下的冲击力它受到向下的冲击力F F 和向上的网绳的拉力和向上的网绳的拉力, ,设每根网绳承受的力为设每根网绳承受的力为F F1 1, ,由力由力的合成与分解的知识可知的合成与分解的知识可知, ,dOedOe向上的力也为向上的力也为F F1 1, ,同理同理bOgbOg向上的作用力大小也为向上的作用力大小也为F F1 1, ,由由2 2F F1 1= =F F, ,所以所以答案答案 B2F2mgF .21FF 4.4.如图如图1414所示所示, ,一名骑独轮车的杂技演员在空中钢索一名骑独轮车的杂技演员在空中钢索 上表演上表

32、演, ,如果演员与独轮车的总质量为如果演员与独轮车的总质量为80 kg,80 kg,两侧的两侧的 钢索互成钢索互成150150夹角夹角, ,求钢索所受拉力有多大求钢索所受拉力有多大?(?(钢索钢索 自重不计自重不计, ,取取cos 75cos 75=0.259)=0.259) 图图1414解析解析 对钢丝绳上与车轮接触对钢丝绳上与车轮接触的点作为受力对象的点作为受力对象, ,其受力如其受力如图所示图所示. .其中其中F F1 1、F F2 2为两侧钢索为两侧钢索对对O O点的拉力点的拉力, ,显然显然, ,F F1 1= =F F2 2, ,G G为为O O点受到的独轮车的压力点受到的独轮车的压力, ,平衡时平衡时, ,F F1 1、F F2 2的合力的合力F F 大小与大小与G G相等相等. .G G数值上等于人和车的重力数值上等于人和车的重力G G. .由几何关系得由几何关系得:2:2F F1 1cos 75cos 75= =G G=G G所以所以答案答案 1 5441 544