大学物理实验绪论2016

1、 第一章第一章 测量与误差测量与误差1.1 1.1 测量及分类测量及分类 1.2 1.2 测量误差测量误差1.3 1.3 误差的分类误差的分类一、测量一、测量测量与分类测量与分类是将待测量与选做计量标准的同类物理量进行比较，得到此物理量的是将待测量与选做计量标准的同类物理量进行比较，得到此物理量的测量值的过程。测量值必须包括测量值的过程。测量值必须包括:数值和单位数值和单位0(cm)123l待测物待测物理量理量2.00计量标准计量标准待测物理待测物理量的量的数值数值单位单位2.00cm测量的分类测量的分类摆长摆长l如：通过测量单摆的振动如：通过测量单摆的振动周期周期T和和摆长摆长l，测，测重力

2、加速度重力加速度g224Tlg 通过待测物通过待测物理量与若干理量与若干直接测量物直接测量物理量的函数理量的函数关系关系求出求出的的通过仪通过仪器和量器和量具具直接直接读出读出的的周期周期T间接测量间接测量直接测量直接测量按测量方式按测量方式按测量精度按测量精度等精度测量等精度测量- 每次测量的条件都相同每次测量的条件都相同不等精度测量不等精度测量 任一测量条件发生变化任一测量条件发生变化测量与分类测量与分类误差：指的是误差：指的是测得的值测得的值y与与真值真值Yt之间的差之间的差tYydy 真值真值1.理论真值理论真值（三角形的内角和等）（三角形的内角和等）2.约定的真值约定的真值（1米、米

3、、1秒、秒、1千克）千克）3.相对的真值相对的真值：高一等级精度的标准所测的量值：高一等级精度的标准所测的量值测量误差测量误差影响测量的因影响测量的因素有哪些呢？素有哪些呢？测量方法、测测量方法、测量仪器、测量量仪器、测量环境和测量者环境和测量者算术平均值测量值残差-二、误差的定义二、误差的定义一、真值与测量值一、真值与测量值绝对误差绝对误差相对误差相对误差%100 被被测测真真值值绝绝对对误误差差三、误差分类三、误差分类-系统误差、随机误差、粗大误差系统误差、随机误差、粗大误差3.1系统误差系统误差定义：在定义：在同一条件下同一条件下，多次重复测量多次重复测量同一值时保持恒定或以同一值时保持

4、恒定或以 可预知方式变化的测量误差分量。可预知方式变化的测量误差分量。测量误差分类测量误差分类特点：特点：有规律有规律，可再现可再现，可以预测可以预测系统误差来源系统误差来源仪器、装置误差仪器、装置误差测量理论或方法误差测量理论或方法误差测量环境误差测量环境误差人员误差人员误差仪器缺陷仪器缺陷安装调安装调整不当整不当不水平不水平不垂直不垂直未调零未调零理论公式理论公式的近似的近似实验方法实验方法不完善不完善外界条件外界条件与仪器要与仪器要求不一致求不一致单摆单摆测加测加速度速度反应速度反应速度读数习惯读数习惯散热散热内阻内阻一经查明就应设法消除其影响一经查明就应设法消除其影响各种消减系统误差的

5、方法都具有较强的针对性，都是些经各种消减系统误差的方法都具有较强的针对性，都是些经验型、具体的处理方法验型、具体的处理方法! 测量误差测量误差系统误差分类及处理方法系统误差分类及处理方法: : 定值系统误差定值系统误差-其其大小和符号恒定不变大小和符号恒定不变。 例如，千分尺没有零点修正，天平砝码的标称值不准确等。例如，千分尺没有零点修正，天平砝码的标称值不准确等。 未定系统误差未定系统误差-大小和符号未定从而未知的系统误差分量大小和符号未定从而未知的系统误差分量合理评定系统误差分量大致对应的合理评定系统误差分量大致对应的B B类不确定度类不确定度分量分量方案选择、参数设计、仪器校准、计算方法

6、改进等方案选择、参数设计、仪器校准、计算方法改进等对已对已定系统误差进行修正定系统误差进行修正如：如：交换法、替换法、抵消法、半周期法等交换法、替换法、抵消法、半周期法等3.23.2随机误差随机误差 在在相同的条件相同的条件下，由于偶然的不确定的因素造成每一次测量值的下，由于偶然的不确定的因素造成每一次测量值的无无规则的涨落规则的涨落，测量值对真值的偏离，测量值对真值的偏离时大时小、时正时负时大时小、时正时负，这类误差称为，这类误差称为随机（偶然）误差随机（偶然）误差重复测量中以不可预知的方式变化的误差分量重复测量中以不可预知的方式变化的误差分量特点特点:0n对称性对称性：绝对值相等的正负误差

7、次数相等：绝对值相等的正负误差次数相等单峰性单峰性：小误差多于大误差：小误差多于大误差有界性有界性：随机误差绝对值不会超过一定界限：随机误差绝对值不会超过一定界限抵偿性抵偿性：随次数增加，算数平均值趋于零：随次数增加，算数平均值趋于零正态分布正态分布测量误差测量误差3.23.2随机误差随机误差22221)( efAxi 测量误差测量误差算术平均值算术平均值测量列的最佳值测量列的最佳值设对设对真值为真值为A的物理量的物理量x，作，作n次等精度测量，结果分别为次等精度测量，结果分别为x1、x2、xnAxxii 算术平均值算术平均值: : niixnx11 niixAnx1)(1 niixn11Ax

8、 nAx 期待值或最佳值期待值或最佳值n6标准偏差（贝塞尔公式）标准偏差（贝塞尔公式） niixxns12)(11 统计意义统计意义：当测量次数足够多时，测量列：当测量次数足够多时，测量列中任一中任一测量值与算数平均值之差测量值与算数平均值之差落在落在 之间的之间的概率为概率为0.683，反映样本反映样本中各测量数据相对样本平均值的分散程度中各测量数据相对样本平均值的分散程度 ,s s反映了随机误反映了随机误差的分布特征差的分布特征s s大大：测量值：测量值分散分散，随机误差分布范围宽，随机误差分布范围宽，精密度精密度低低s s小小：测量值：测量值密集密集，随机误差分布范围窄，随机误差分布范围

9、窄，精密度精密度高高 1 1 2 3 3 2 0.00.10.20.40.3 1 1 2 3 3 2 0.00.10.20.40.322221)( ef测量误差测量误差正态分布正态分布 ix正态分布正态分布0n大大测量数据出现在某一区间的概率计算测量数据出现在某一区间的概率计算1)( fp6826.0)( fp9544.0)(22 fp9973.0)(33 fp34.13%2.14%0.14%13.59%期望值期望值小小 3 xxi测量误差测量误差算术平均值的标准差算术平均值的标准差测量结果离散程度测量结果离散程度相同条件下，对同一测量量进行若干组测量（每次均为相同条件下，对同一测量量进行若干

10、组测量（每次均为n）算数平均值列：算数平均值列：4321xxxx、 niixxxnnnss12)()1(1 是表征同一被测量的是表征同一被测量的各个各个独立测量列独立测量列算数算数平均值（测量结果）平均值（测量结果）分散性的参数分散性的参数1、增加测量次数、增加测量次数n，可提高测量精度，可提高测量精度2、n10时，时， 变缓，增加变缓，增加n对精度提对精度提高效果有限高效果有限xs6n10要提高测量精度，应采用适当精要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数度的仪器，选取适当的测量次数xsn05101520测量误差测量误差四、精度四、精度是反映测量结果与真值接近程度的量是反映测

11、量结果与真值接近程度的量表示测量结果表示测量结果中中系统误差系统误差大大小的程度。小的程度。表示测量结果中表示测量结果中随机误差随机误差大小的大小的程度。结果之间程度。结果之间符合的程度符合的程度表示测量结果与被测表示测量结果与被测量的量的“真值真值”之间的之间的一致程度，又称一致程度，又称精确精确度度 。正确度高，紧密度低正确度高，紧密度低精密度高，正确度低精密度高，正确度低紧密度、正确度、精准度均高紧密度、正确度、精准度均高第二章第二章 有效数字及其运算法则有效数字及其运算法则 1.1.直接测量的有效数字记录直接测量的有效数字记录2.2.有效数字的运算法则有效数字的运算法则测量的有效数字测

12、量的有效数字测量含测量含误差误差是是近似数近似数精度有限度，精度有限度，那么，测量那么，测量结果的数据及数据运算结果的数据及数据运算的的位数位数的选取应以什么为的选取应以什么为依据依据呢？呢？0(cm)1232.00cm一个数据中，小数点后位数越多，这个数值越精确一个数据中，小数点后位数越多，这个数值越精确数据运算中，保留位数越多，精度越高数据运算中，保留位数越多，精度越高2.000cm测量结果的精度与所用的测量方法及仪器有关测量结果的精度与所用的测量方法及仪器有关,记录或数据运算记录或数据运算时时,所取数据的位数其精度不能所取数据的位数其精度不能超过或低于测量所能达到的精度超过或低于测量所能

13、达到的精度.00001.11 yxyx09999.01 yxyx1000010001 yx100009999 yx一个系数差万分之二，一个系数差万分之二，结果却差异极大结果却差异极大!研究有效数字及数据运研究有效数字及数据运算规律非常重要算规律非常重要!测量的有效数字测量的有效数字一、有效数字定义一、有效数字定义有效数字：我们把有效数字：我们把准确数字准确数字加上最后一位有实际意义的加上最后一位有实际意义的估计数估计数字字总称为总称为有效数字。有效数字。测量结果用且只用它的测量结果用且只用它的有效数有效数字字表示。表示。0(cm)1232.25 cm 准确数字准确数字估计数字估计数字有效位数：

14、有效位数：有效数字的个数叫作有效数字的个数叫作有效位数有效位数。第一位有效数字第一位有效数字4.510550例：说出下列各数的有效数字个数例：说出下列各数的有效数字个数0.0027582.401037位有效数字位有效数字4位有效数字位有效数字3位有效数字位有效数字测量的有效数字测量的有效数字通过仪表、量具等读取原始数据时，通过仪表、量具等读取原始数据时，把计量器具所，把计量器具所来来有效数字的多少直接反映实验测量的有效数字的多少直接反映实验测量的!钢尺：钢尺：d=6.4mm；仪器误差；仪器误差 0.5mm%8 . 7%1004 . 65 . 0 E游标卡尺：游标卡尺：d=6.36mm； 仪器误

15、差仪器误差 0.02mm%31. 0%10036. 602. 0 E千分尺：千分尺：d=6.347mm； 仪器误差仪器误差 0.005mm %079. 0%100347. 6005. 0 E测量的有效数字测量的有效数字 ，如游标卡尺、分光计方位角的游标度盘、水银大，如游标卡尺、分光计方位角的游标度盘、水银大气压力计的读数游标尺等，一般气压力计的读数游标尺等，一般0.02mm副尺：副尺：12 0.02=0.24mm主尺：主尺：13mm13.24mm1234012345测量的有效数字测量的有效数字 数显仪表数显仪表及有及有十进步进式标度盘的仪表十进步进式标度盘的仪表，如数字电表、电阻箱、，如数字电

16、表、电阻箱、电桥等，应电桥等，应 指针式仪表，读数时一般指针式仪表，读数时一般要估读到最要估读到最小分度值的小分度值的1/41/10，由于人眼分辨能，由于人眼分辨能力的限制，一般不力的限制，一般不可能估读到最小分度可能估读到最小分度的的1/10以下以下6.8+0.2 0.3 =6.86V 对于可估读到最小分度值以下的计量器具，当最小分度不小对于可估读到最小分度值以下的计量器具，当最小分度不小于于1mm时，通常要估读到时，通常要估读到0.1分度，如螺旋测微计和测量显分度，如螺旋测微计和测量显微镜鼓轮的读数，都要微镜鼓轮的读数，都要测量的有效数字测量的有效数字4.5mm40.9 0.01mm4.9

17、09mm测量的有效数字测量的有效数字1. 有效数字位数与有效数字位数与仪器最小分度值仪器最小分度值和和被测量的大小被测量的大小有关有关如用最小分度值如用最小分度值0.01mm的千分尺的千分尺测量的长度读数为测量的长度读数为 5.738mm（四四位位有效数字），用最小分度值为有效数字），用最小分度值为1mm的刻度尺测量，其读数为的刻度尺测量，其读数为 5.7mm（两位两位有效数字）。有效数字）。用最小分度值为用最小分度值为1mm的刻度尺测量：的刻度尺测量：5.7mm；15.7mm两位有效数字两位有效数字三位有效数字三位有效数字三、有效数字的基本特性三、有效数字的基本特性:测量的有效数字测量的有效

18、数字2、位数与小数点的位置（单位）无关；、位数与小数点的位置（单位）无关；9.80ms29.80 x10-3kms2有效数字的科学计数法表示有效数字的科学计数法表示9.80 x103mms20.00980kms2980cms29800mms2有效数字位数有有效数字位数有a决定；决定；n可正可负可正可负na 10 不可写成不可写成9.8x103mms2对于计算公式中常数的约定对于计算公式中常数的约定 e可根据需要任意选取，计算中一般比参可根据需要任意选取，计算中一般比参与运算的各数中有效数字最多的多一位与运算的各数中有效数字最多的多一位测量的有效数字测量的有效数字四、有效数字的修约（所有例子保留

19、四、有效数字的修约（所有例子保留4位有效数字）位有效数字）1.拟舍弃数字的最左一位数字拟舍弃数字的最左一位数字小于小于5时时-舍舍2.拟舍弃数字的的最左一位数字拟舍弃数字的的最左一位数字大于大于5，或等于，或等于5而其后跟非零数字而其后跟非零数字 -末位数加末位数加1（入）（入）7.691497.6912.727692.7283.2155013.2163.拟舍弃数字的的最左一位数字拟舍弃数字的的最左一位数字为为5，其后全为零数字，其后全为零数字 -奇进偶不进奇进偶不进3.125503.1263.120503.1204.负数修约不受负号的影响负数修约不受负号的影响-3.12550-3.1265.

20、不允许连续修约不允许连续修约3.12546183.1254623.125463.12553.1263.125测量的有效数字测量的有效数字五、有效数字运算规则五、有效数字运算规则可靠可靠数字与数字与可靠可靠数字间的数字间的四则运算四则运算，结果是，结果是可靠可靠数字，数字，否则否则为为可疑可疑数字数字103.313.561116.861103.131.652101.478103.3+13.561=116.9103.13+1.652=101.48有效数字有效数字中的可疑中的可疑数数只保留只保留一位一位1)加减法加减法 结果的非准确位与参与运算的所有数字结果的非准确位与参与运算的所有数字中中非准确位

21、最高者相同非准确位最高者相同测量的有效数字测量的有效数字有效数字间的乘除法运算有效数字间的乘除法运算4.17 810.1 4 17 84.17810.1=42.2 41 7 842.1 97 823.44 682 6 1 38 46 06.423.426=6.1102(2)乘除法乘除法 结果的位数与所有参与运算的数字中有结果的位数与所有参与运算的数字中有效数字位数最少的相同效数字位数最少的相同测量的有效数字测量的有效数字如如23.42 = 547.56 = 548对数对数结果的位数与真数的位数相同结果的位数与真数的位数相同如如 ln23.4 = 3.1527 = 3.15 三角函数三角函数角度

22、误差角度误差10 ”1 ”0.1 ”0.01 ”选择位数选择位数5678乘方开方乘方开方结果的位数与相应的底数的位数相同结果的位数与相应的底数的位数相同如如sin(16O2512)的结果取为的结果取为0.282676 以上方法对少量数据运算可用以上方法对少量数据运算可用, 。对大量数据用统计方法处理对大量数据用统计方法处理.1 1 测量不确定度的概念测量不确定度的概念2 2 直接测量结果与不确定度的估算直接测量结果与不确定度的估算 3 3 间接测量结果与不确定度的估算间接测量结果与不确定度的估算不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定 不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即不确定度反

23、映了可能存在的误差分布范围，即和和的联合分布范围。的联合分布范围。不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定一、不确定度的概念一、不确定度的概念UxX 不确定度不确定度测量值测量值待测物理量待测物理量A类不确定度类不确定度B类不确定度类不确定度测量结果可以采用合成标准不确定度测量结果可以采用合成标准不确定度uc或采用扩展不确定或采用扩展不确定度度U表示本教材表示本教材采用扩展不确定度采用扩展不确定度U的表示方法的表示方法U是概率约等于是概率约等于0.95的扩展不确定度的扩展不确定度不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定二二. .直接测量结果与不确定度估算直接测量结果与不确定度估

24、算 jjBUUU22A)(是（重复测量时）用统计是（重复测量时）用统计方法计算的分量方法计算的分量A类分量类分量是用其它方法（非统计方是用其它方法（非统计方法）评定的分量法）评定的分量xvAsptU )(1.A1.A类分量类分量UA A的计算：的计算：不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定设某一物理量的重复测量次数为设某一物理量的重复测量次数为n n算数平均值的标准差算数平均值的标准差:系统误差为零时，真值在区间系统误差为零时，真值在区间 内的概率约为内的概率约为pAxU置信因子置信因子本教材要求本教材要求p=95%: n次重复测量的物理量之间次重复测量的物理量之间,存在存在k个独立

25、的线性约束条个独立的线性约束条件件,则则n个变量的独立变量个数为个变量的独立变量个数为n-k,即自由度为即自由度为n-k1 nv不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定置信因子置信因子 可以查国家标准的数表得到可以查国家标准的数表得到)(ptv但概率但概率p = 0.95 的因子的因子t由下式算出更为方便，式中由下式算出更为方便，式中v=n-1064. 1406. 2959. 1)95. 0( vtv)3( vp2345678915200.6831.321.21.14 1.11 1.09 1.081.071.061.041.0310.902.922.35 2.13 2.02 1.94

26、1.891.861.831.761.731.650.954.303.18 2.78 2.56 2.45 2.372.312.262.132.091.960.9979.935.84 4.60 4.03 3.71 3.503.363.252.982.862.58系统误系统误差来源差来源不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定2. B类分量的近似评定与类分量的近似评定与U的计算的计算原理原理方法方法环境环境人为人为因素因素仪器仪器调整调整测量测量仪器仪器 ：一般取仪表、器具的示值误差限或基本：一般取仪表、器具的示值误差限或基本误差限误差限,它的大小有时由实验室近似给出它的大小有时由实验室近似

27、给出I IBU 22BAUUU 22)(IxvsptU 不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定普通物理实验常用测量仪器的误差限普通物理实验常用测量仪器的误差限( 1 ) 钢直尺钢直尺(米尺米尺)(分度值为分度值为1mm) 取其误差限为取其误差限为0.3mm，实验中也可以约定取，实验中也可以约定取0.5mm( 2 ) 游标卡尺游标卡尺分度值分度值0.02mm0.05mm0.1mm( 3 ) 螺旋测微计（千分尺螺旋测微计（千分尺,精度为一级精度为一级）误差限与测量范围（量程）有关误差限与测量范围（量程）有关 (0.004 0.006 mm) 本课程约定为：本课程约定为：不确定度与测量结果

28、的评定不确定度与测量结果的评定( 4 ) 机械停表和数字毫秒表机械停表和数字毫秒表:一般一般分度值即为仪器误差限分度值即为仪器误差限机械停表分度值为机械停表分度值为0.1s误差限为误差限为0.1s数字秒表时基值为数字秒表时基值为0.1ms1ms10ms( 6 ) 电磁式测量指示表电磁式测量指示表NxNxmmI 100%仪表量程仪表量程准确度级别准确度级别(0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0)( 5 ) 水银水银- -玻璃温度计：玻璃温度计：为为0.5不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定( 7 ) 旋钮式电阻箱旋钮式电阻箱 (0.02、0.05、0.1、0.2四个

29、级别四个级别)电阻箱误差电阻箱误差 = 箱内电阻器的阻值误差箱内电阻器的阻值误差 + 旋钮的接触误差旋钮的接触误差)%(RmbaRI 旋钮个数旋钮个数所用电阻值所用电阻值级别级别级别常数级别常数级别(a)0.020.050.10.2常数(b)0.10.10.20.5表：电阻箱表：电阻箱级别与对应常数级别与对应常数不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定3. 直接测量结果的完整表示直接测量结果的完整表示UxX 单次测量值单次测量值或多次测或多次测量的量的算术平均值算术平均值概率约等于概率约等于95%的的扩展不确定度扩展不确定度cm422.20 xcm72. 0 Ucm)7 . 04 .2

30、0( XU一般只取一位有效数字一般只取一位有效数字修约前修约前首位数字较小首位数字较小时（如时（如1、2等）一般等）一般取取2位位m4005.180 xm018. 0 Um)018. 0400.180( X根据扩展不确定度进行有效数字修约根据扩展不确定度进行有效数字修约, 末位数字对齐末位数字对齐不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定4. 相对扩展不确定度相对扩展不确定度为更直观地评价测量结果的准确为更直观地评价测量结果的准确度，引入度，引入相对扩展不确定度相对扩展不确定度Ur的的概念，它是概念，它是扩展不确定度扩展不确定度U与量与量值值x之比之比 xUUr 判断下列哪个测量结果的准

31、确度高判断下列哪个测量结果的准确度高cm)7 . 04 .20( Xcm)9 . 04 .120( X034. 04 .207 . 0 rU0075. 04 .1209 . 0 rU相对不确定度一般取两位有效数字相对不确定度一般取两位有效数字不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定5. 单次测量的不确定度单次测量的不确定度U单次测量单次测量不能用统计方法不能用统计方法求标准差，测量的求标准差，测量的随机分布随机分布特征客特征客观存在，应如何判断待测量的不确定度呢？观存在，应如何判断待测量的不确定度呢？2. s显著小于仪器的误差限显著小于仪器的误差限 2Is 1. 因条件限制，仅测一次数

32、据因条件限制，仅测一次数据IU 注意：这只是一个近似的估算方法，不能得出单次测量的注意：这只是一个近似的估算方法，不能得出单次测量的不确定度小于多次测量的不确定度的结论！不确定度小于多次测量的不确定度的结论！不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定6. 不确定度的微小分量判据不确定度的微小分量判据 如果某一分量小于最大分量（或合成结果）的如果某一分量小于最大分量（或合成结果）的1/5到到1/6，就可将这一分量看作是可忽略的就可将这一分量看作是可忽略的微小分量微小分量 微小分量判据的临界比微小分量判据的临界比1/取取“1/5到到1/6”有一定的灵活有一定的灵活性，要求较低时可放宽到性，要

33、求较低时可放宽到1/3 有几个微小分量可能都被忽略时也可取有几个微小分量可能都被忽略时也可取“1/6到到1/10”仅有两个分量方和根合成时，如小分量等于大分量的仅有两个分量方和根合成时，如小分量等于大分量的1/5，忽略小分量后引起的相对偏差为：忽略小分量后引起的相对偏差为：22221112%22511 不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定例例1：用：用0.2级，量程为级，量程为20k 的万用表测量某个电阻的电阻值，的万用表测量某个电阻的电阻值，测量结果单位为测量结果单位为 (k ) : 3.72, 3.92，3.89，3.88，3.86，3.88，3.87，3.86，3.85，3.

34、87，3.89 给出最终结果表示给出最终结果表示 。 解解: :计算平均值：计算平均值： k863. 3111111iiRR计算标准差：计算标准差： k025. 0111)863. 3(1112iiRRs因第一个数据因第一个数据 K075. 0025. 033Rs865. 372. 31 RR k075. 00.143k剔除剔除不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定重新计算重新计算 k877. 3101101iiRR k020. 0110)877. 3(1012iiRRs k060. 0020. 033Rs 其他数据不需剔除其他数据不需剔除 A A类不确定度类不确定度RAstU)95

35、. 0(9 26. 2064. 19406. 2959. 1)95. 0(9 tnssRR 020. 01026. 2 AU k014. 0不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定B B类不确定度类不确定度NxUmIB 100 k04. 02 . 010020合成扩展不确定度合成扩展不确定度22BAUUU k04. 0k042. 004. 014. 022最终结果表示最终结果表示 k)04. 088. 3(R k88. 3R修约结果的平均值修约结果的平均值不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定小小 结结算术平均值算术平均值 niixnx11实验标准偏差实验标准偏差 niixx

36、ns12)(11 niixxxnnnss12)()1(1 平均值的实平均值的实验标准偏差验标准偏差A类不确定度类不确定度snptsptUvxvA )()(不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定扩展不确定度扩展不确定度IjBBUU B类不确定度类不确定度22)(Ixvspt jjBUUU22A)(直接测量的实验结果直接测量的实验结果UxX 不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定三、间接测量结果与不确定度的估算三、间接测量结果与不确定度的估算设间接测量量设间接测量量F为相互独立的直接测量量为相互独立的直接测量量x,y,z.的函数的函数),(zyxfF 每个直接测量量的结果可表示

37、成如下形式每个直接测量量的结果可表示成如下形式xUxX yUyY zUzZ UfF 如何根据直接测量如何根据直接测量量的不确定的来评量的不确定的来评价间接量的不确定价间接量的不确定度呢？度呢？不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定1. 不确定度的传播规律不确定度的传播规律),(zyxfF 求上式的全微分求上式的全微分 dzzfdyyfdxxfFd DzzfDyyfDxxfDF 不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定 222222F zyxUzfUyfUxfU不确定度按不确定度按的方法进行合成的方法进行合成DF FU Dx xU Dy yU 2222222)()()()()(

38、)()( DzzfDyyfDxxfDF DxDyyfxf2自变量相互独立，自变量相互独立，交叉项为交叉项为0不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定相对不确定度相对不确定度),(zyxfF ),(lnlnzyxfF 求对数式全微分求对数式全微分 dzzfdyyfdxxfFFlnlnlnd FzyxEUzfUyfUxfFU 222222Flnlnln 绝对不确定度绝对不确定度FFEFU 不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定函数表达式函数表达式不确定度传递公式不确定度传递公式常见函数的不确定度合成公式常见函数的不确定度合成公式yxN 22yxNUUU yxN yxN/ 22 y

39、UxUNUyxNkxN xNUkU xeN xNUxU cosxNsin xxNUeU 间接测量数据处理的一般程序：间接测量数据处理的一般程序：不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定设间接测量量可写成设间接测量量可写成 . ,z , yxfF (1). 求各直接测量量的结果求各直接测量量的结果xUxX yUyY zUzZ (2). 然后根据不确定度的传递公式求最终结果的不确定度然后根据不确定度的传递公式求最终结果的不确定度 222222F zyxUzfUyfUxfU(3). 将每个直接测量量的值代入函数关系式得将每个直接测量量的值代入函数关系式得f(4). 写出最终表达式写出最终表达

40、式FUfF 不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定例例2：已知质量为：已知质量为 的铜圆柱体，用的铜圆柱体，用0125mm、精度为、精度为0.02mm的游标卡尺测得其高度的游标卡尺测得其高度hh(mm)为：为：80.38，80.36，80.36，80.38，80.36，80.38；用一级用一级025mm千分尺测得其直径千分尺测得其直径dd(mm)为：为：19.465，19.466，19.465，19.464，19.467，19.466。求该铜柱体的密度求该铜柱体的密度。gm)05. 004.213( 解：解：求高度的求高度的算术平均算术平均值及不确定度值及不确定度mmhhii370.

41、806161 不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定mmhsiih0089. 016)37.80(612 A A类不确定度类不确定度mmstUhA0093. 060089. 057. 26)95. 0(5 57. 2064. 15406. 2959. 1)95. 0(5 t游标卡尺的示值误差为游标卡尺的示值误差为0.02mm,即即h的的B类不确定度为：类不确定度为： B B类不确定度类不确定度mmUIB02. 0 h的的扩展扩展不确定度为：不确定度为：22BAUUU mm022. 0 得到得到h的最终结果的最终结果mmh)022. 0370.80( 不确定度与测量结果的评定不确定度与

42、测量结果的评定求直径的算术平均求直径的算术平均值值及不确定度及不确定度 mmddii4655.196161 mmdsiih00105. 016)4655.19(612 d的的A类不确定度类不确定度为：为：mmstUdA0011. 0600105. 057. 26)95. 0(5 一级千分尺的仪器误差限为一级千分尺的仪器误差限为0.005mm，则，则d的的B类不确定度类不确定度为：为：mmUIB005. 0 d的的扩展扩展不确定度为：不确定度为：22BAdUUU mm005. 0 得到得到d的最终结果的最终结果mmh)005. 0466.19( 不确定度与测量结果的评定不确定度与测量结果的评定求

43、密度及其不确定度求密度及其不确定度相对不确定度相对不确定度：322/0089068. 037.80466.1904.21344mmghdm 3/9068. 8cmg %063. 010276. 624222 hUdUmUUEhdmp 34/006. 00056. 09068. 8103 . 6cmgEU 最终结果为最终结果为3/)006. 0907. 8(cmg 第三章第三章 常用数据处理方法常用数据处理方法常用数据处理方法常用数据处理方法一、列表法一、列表法 实验的数据处理实验的数据处理不单纯是数学运算，而是要以一定的物理不单纯是数学运算，而是要以一定的物理模型为基础，以一定的物理条件为依据

44、，模型为基础，以一定的物理条件为依据，通过对数据的整理、通过对数据的整理、分析和归纳计算，得出明确的实验结论。分析和归纳计算，得出明确的实验结论。常用方法常用方法二、作图法二、作图法三、逐差法三、逐差法四、线性回归（拟合）四、线性回归（拟合）常用数据处理方法常用数据处理方法一、列表法一、列表法- 记录和处理数据时，把数据列成表格记录和处理数据时，把数据列成表格表表1 1 伏安法测电阻伏安法测电阻在表格上方中间写在表格上方中间写表的内容（表名）表的内容（表名）写明表中各写明表中各（不许（不许写在各数字后）写在各数字后）数据要忠实原始测量结数据要忠实原始测量结果，注意果，注意，伏特计：伏特计：1.

45、01.0级，量程级，量程15V15V，内阻，内阻15K15K毫安计：毫安计：1.01.0级，量程级，量程20mA20mA，内阻，内阻1.21.2注明测量仪器的型号、注明测量仪器的型号、量程、级别；环境参量程、级别；环境参数、常量等数、常量等测量次数测量次数n n1 12 23 34 45 56 67 78 89 9电压电压U(v)U(v)1.00 1.00 2.00 2.00 3.00 3.00 4.00 4.00 5.00 5.00 6.00 6.00 7.00 7.00 8.00 8.00 9.00 9.00 电流电流I(mA)I(mA)2.00 2.00 4.01 4.01 6.05 6

46、.05 7.85 7.85 9.70 9.70 11.83 11.83 13.75 13.75 16.02 16.02 17.86 17.86 电阻电阻R=U/I(R=U/I() )500500499499496496510510515515507507509509499499504504常用数据处理方法常用数据处理方法二、作图法二、作图法-将数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来将数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来优点：优点：形象直观、简单方便形象直观、简单方便，可直观的反应，可直观的反应物理量之间的变化规律物理量之间的变化规律缺点：缺点：三个三个及其及其以上的变量不适用

47、以上的变量不适用；绘图时易；绘图时易引入人为误差引入人为误差。作图步骤作图步骤 ： 选用合适的坐标纸选用合适的坐标纸 坐标轴的比例与标度坐标轴的比例与标度 标实验点（描点）标实验点（描点） 连图线（拟合线）连图线（拟合线）(5) 注解说明注解说明U/vI/mA2.004.006.008.005.0010.0015.0020.000I-U关系图关系图实验者：实验者：实验日期实验日期常用数据处理方法常用数据处理方法作图的基本规范作图的基本规范 坐标纸的大小和坐标坐标纸的大小和坐标轴的比例选取要合适轴的比例选取要合适,坐坐标轴均匀分度标轴均匀分度,标明数值。标明数值。 用箭头标出坐标轴的用箭头标出坐

48、标轴的方向方向,标明物理量及单位标明物理量及单位.， 要使图线比较对称地要使图线比较对称地充满整张图纸充满整张图纸, 坐标轴的坐标轴的 起点不一定是零点起点不一定是零点;U/vI/mA2.004.006.008.005.0010.0015.0020.000定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线常用数据处理方法常用数据处理方法作图的基本规范作图的基本规范图纸使用不当图纸使用不当。实际。实际作图时，坐标作图时，坐标原点的原点的读数读数可以可以不从不从零零开始。开始。1.20001.60000.80000.4000P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040

49、.0020.00150.00 160.001.20001.60000.80000.4000P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00150.00 160.001.15001.20001.10001.0500P(105Pa)t()60.00140.00100.00 120.0080.0040.0020.00150.00 160.001.0000常用数据处理方法常用数据处理方法作图的基本规范作图的基本规范f/kHz/kHzU/v/v0.6001.0001.4001.8002.2001.002.003.004.00R-C串联电路电容元件幅频关

50、系串联电路电容元件幅频关系描点时描点时以以“+”、“”、 “ ”、 “ ”等符号标出实等符号标出实验点，测量验点，测量数据落在所标符号数据落在所标符号的中心的中心，大小适中。，大小适中。禁止用禁止用“ ”曲线太粗，不均匀，不光滑，曲线太粗，不均匀，不光滑，直接连点；直接连点；应该用直尺、曲线板等工具把应该用直尺、曲线板等工具把实验点实验点连成光滑、均匀的细实连成光滑、均匀的细实线线。使各数据点对于所连成的。使各数据点对于所连成的图线有图线有对称对称的分布的分布如果作校准曲线，则要通过校如果作校准曲线，则要通过校准点连成折线准点连成折线2.004.006.008.00常用数据处理方法常用数据处理

51、方法作图的基本规范作图的基本规范U/v1.002.003.005.0010.0015.0020.000I-U关系图关系图横轴坐标分度选取不当。横轴坐标分度选取不当。横轴以横轴以3 cm 代表代表1 V，使使作图和读图都作图和读图都很困难很困难。原则上，原则上，可根据情况选择可根据情况选择这一位的这一位的“1”、“2” 、“5” 或或10的整数次幂的整数次幂倍倍; 应应既满足有效数字的要求又既满足有效数字的要求又便于作图和读图，便于作图和读图，I/mA常用数据处理方法常用数据处理方法作图的基本规范作图的基本规范U/vI/mA2.004.006.008.005.0010.0015.0020.000

52、I-U关系图关系图一条实验曲线用同一一条实验曲线用同一种符号，当同一图中种符号，当同一图中有多条曲线是，描点有多条曲线是，描点应有区分，并标明每应有区分，并标明每条曲线的名称条曲线的名称R1R2常用数据处理方法常用数据处理方法作图法处理实验数据：通过求直线的斜率和截距求相关的间接物理量作图法处理实验数据：通过求直线的斜率和截距求相关的间接物理量 (y=a+bx)yx2.004.006.008.005.0010.0015.0020.000XXXXXX1、在图线上、在图线上任取两相距较远任取两相距较远的的非实验点非实验点,用不同于实验点的符用不同于实验点的符号表明号表明.2、读两点坐标、读两点坐标

53、(8.69,17.25)(1.40,2.90),画直角三角形画直角三角形1212xxyyb 94. 140. 169. 890. 225.17 3.3.直线延长线与纵坐标轴的交直线延长线与纵坐标轴的交点的纵坐标数值，即为直线的点的纵坐标数值，即为直线的截距截距( )( )ayx , 0在物理实验的坐标系中，纵坐标和横坐标代表不同的物理量，分度值与在物理实验的坐标系中，纵坐标和横坐标代表不同的物理量，分度值与空间坐标不同，所以空间坐标不同，所以。常用数据处理方法常用数据处理方法作图及作图法处理实验数据作图及作图法处理实验数据要用要用铅笔作图铅笔作图，以便作必要的修改有关的计算，以便作必要的修改有

54、关的计算不要不要写在图纸上要写在图纸上要保保持图面的整洁、清晰和美观持图面的整洁、清晰和美观写上实验者姓名、实验日期，将图纸与实验报告订在一起写上实验者姓名、实验日期，将图纸与实验报告订在一起作图作图一定要用坐标纸一定要用坐标纸因为我们作图的目的不仅是定性的观察，还要进行因为我们作图的目的不仅是定性的观察，还要进行定量的计算定量的计算,求出有关的结果不用坐标纸，就不能保证结果的准确程度求出有关的结果不用坐标纸，就不能保证结果的准确程度作图法处理数据时，在图上要作图法处理数据时，在图上要保留保留必要的必要的作图痕迹作图痕迹若已知图线不是直线，可利若已知图线不是直线，可利常用数据处理方法常用数据处

55、理方法三、逐差法三、逐差法 有一长为有一长为x0的弹簧，逐次在其下端加挂质量为的弹簧，逐次在其下端加挂质量为m的砝码，共的砝码，共加加7次，测出其对应长度分别为次，测出其对应长度分别为x1，x2，x7。求每增加单位砝。求每增加单位砝码，弹簧的伸长量码，弹簧的伸长量 x。)()()(71671201xxxxxxmx )(7107xxm 常用数据处理方法常用数据处理方法 432144141xxxxxxii 常用数据处理方法常用数据处理方法数据是偶数对。数据是偶数对。bxay 常用数据处理方法常用数据处理方法四、直线拟合方法四、直线拟合方法(根据实验数据用函数解析形式求出经验公式）根据实验数据用函数

56、解析形式求出经验公式） 函数关系已经确定，但式中的系数是未知的，确定系数；函数关系已经确定，但式中的系数是未知的，确定系数； y和和x之间的函数关系未知，寻找出它们之间的函数关系式。之间的函数关系未知，寻找出它们之间的函数关系式。直线拟合方法的适用条件：直线拟合方法的适用条件：1. 系统误差已经修正系统误差已经修正2. 粗大误差（异常值）已经剔除粗大误差（异常值）已经剔除3. n次测量条件相同（即为等精度测量）次测量条件相同（即为等精度测量）常用数据处理方法常用数据处理方法直线拟合方法解题思路直线拟合方法解题思路已知两个物理量已知两个物理量x和和y成较严格的直线关系时，成较严格的直线关系时，由

57、于误差普遍存在，需由于误差普遍存在，需在合理的范围内测量在合理的范围内测量n组散布开的数据，组散布开的数据，通常使通常使n7，然后再直线拟合，然后再直线拟合把测量精度较高的物理量作为自变量把测量精度较高的物理量作为自变量bxay 再求出直线斜率、截距的再求出直线斜率、截距的最佳估值最佳估值a、b以及与实验以及与实验目的有关的其它参量目的有关的其它参量.这一求解过程称为直线回归，也称拟合这一求解过程称为直线回归，也称拟合 , . , . ,2121 nnyyyxxxn 个数据对个数据对 常常常常先测量先测量n组组值值(xi , yi),若若a、b为最佳值，则有为最佳值，则有iibxay 1. 残

58、差与最小二乘法残差与最小二乘法)(iiiyy 最小二乘法最小二乘法（method of least squares），简称），简称MLS它是它是一种根据实验数据求未知量一种根据实验数据求未知量“最佳最佳”估值的方法，其原理估值的方法，其原理可表述为：使（等精密度的因变量）可表述为：使（等精密度的因变量）yi的残差平方和的残差平方和（residual sum of square）或标准差的平方为极小值残差）或标准差的平方为极小值残差平方和最小平方和最小常用数据处理方法常用数据处理方法残差残差是测量列中某一测得值是测量列中某一测得值yi与该测量列的算术平均值之与该测量列的算术平均值之差更一般的定义

59、为与其（最佳）估计值差更一般的定义为与其（最佳）估计值 之差，记作之差，记作iy niiiiyyvRSS122)(iibxay min)(12 niiibxay常用数据处理方法常用数据处理方法2. 截距为零直线的截距为零直线的MLS拟合拟合仪表、传感器检定时回归直线常常必须过坐标原点，截距应仪表、传感器检定时回归直线常常必须过坐标原点，截距应为零为零bxy 2)(iibxyRSS 求最小值求最小值0)(2dd iiibxyxbRSS0dd22 bRSS 2iiixyxbb代入代入min RSS因变量标准差因变量标准差sy和斜率的标准差和斜率的标准差sb分别为：分别为：vbxysiiy 2)(

60、2iybxss1 nv常用数据处理方法常用数据处理方法3. 一般直线的一般直线的MLS拟合拟合一般直线一般直线 的的MLS拟合，判据是使拟合，判据是使yi的残差平方和的残差平方和最小，相近于各测量点到回归直线距离平方和最小最小，相近于各测量点到回归直线距离平方和最小 bxay2)( iibxayRSS残差残差求极小值求极小值0)(21 niiibxayaRSS0)(21 iniiixbxaybRSS022 aRSS022 bRSS0 xbay02 xbxaxy常用数据处理方法常用数据处理方法方程的解方程的解22)(xxyxyxb xbya niixnx11 niiyny11 niixnx122