线性离散系统的数学模型

1、 7-1 7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 7-2 7-2 信号的采样及保持信号的采样及保持 7-3 Z 7-3 Z变换理论变换理论 7-4 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型7-5 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差7-6 7-6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析7-7 7-7 离散系统的数字校正离散系统的数字校正7-4 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型1 离散系统的数学定义离散系统的数学定义2 线性常系数差分方程及其解法线性常系数差分方程及其解法3 脉冲传递函数脉冲传递函数4 开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数5

2、 闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数6 Z变换的局限性及修正变换的局限性及修正Z变换变换1、离散系统的数学定义、离散系统的数学定义)()(nrFnc 其中，r(n)为系统在t=nT时的输入序列；c(n)为系统在t=nT时的输出序列；T为采样周期。输出序列和输入序列之间的变换关系称为离散系统。 若上式变换关系为线性，则称为线性离散系统；反之，称为非线性离散系统。 （1）线性离散系统满足叠加性和齐次性(2)线性定常离散系统输入输出不随时间而改变的线性离散系统 线性离散系统的数学模型有：线性离散系统的数学模型有：差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式。差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表

3、达式。3、脉冲传递函数、脉冲传递函数（1）脉冲传递函数定义）脉冲传递函数定义（2）脉冲传递函数求解）脉冲传递函数求解00)()()()()(nnnnznTrznTczRzCzG脉冲传递函数脉冲传递函数)()()(zRzGzC采样系统的离散输出信号采样系统的离散输出信号*11( ) ( ) ( ) ( )c tZC zZG z R z（1）脉冲传递函数定义）脉冲传递函数定义零初始条件：指在零初始条件：指在t0t0时，输入脉冲序列各采样值时，输入脉冲序列各采样值r(-T),r(-2T)r(-T),r(-2T)以及输出以及输出脉冲序列各采样值脉冲序列各采样值c(-T),c(-2T)c(-T),c(-

4、2T)均为零。均为零。 零初始条件下，系统零初始条件下，系统输出采样信号的输出采样信号的z变换与变换与系统输入采样信号的系统输入采样信号的z变变换之比。换之比。 脉冲函数与差分方程的关系脉冲函数与差分方程的关系101001()() () z( )( )( )( )G( )( )1nmijijnmijijijmjjjniiic nTac ni Tb r nj TC zaC z zb R z zb zC zzR za z 变换得：整理得脉冲传递函数： (2)脉冲传递函数求解脉冲传递函数求解由由G(s)G(s)求求G(z):G(z):将将G(s)G(s)展开为展开为z z变换表中的部分因式进变换表中

5、的部分因式进行变换。行变换。Z Z变换表见表变换表见表7-27-2。 例例718求脉冲传递函数。由,)()(TknrnTckkzzRzzGzzRz)()(C)()()(Cz变换得：取解：物理含义：表示输出比输入延迟物理含义：表示输出比输入延迟kT个采样周期。个采样周期。求脉冲传递函数由)(G,)()(zassasGaTaTezzzzGeteasssG1)z(1)(11)(查表，得解：开环离散系统的脉冲传递函数求解与串联环节之间的开环离散系统的脉冲传递函数求解与串联环节之间的采样开关有关。采样开关有关。串联环节之间有采样开关的情况串联环节之间有采样开关的情况串联环节之间没有采样开关的情况串联环节

6、之间没有采样开关的情况有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数4 4、开环系统脉冲传递函数、开环系统脉冲传递函数采样函数的拉氏变换具有采样函数的拉氏变换具有两个重要性质：两个重要性质：)()(*sjksGsG)()()()(*sEsGsEsG1( )( ) ( )D zG z R z212( )( )( )( )( ) ( )C zG z D zG z G z R z)()()()(21zGzGzRzC脉冲传递函数等于两个环节的脉脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。冲传递函数之积。1、串联各环节之间有采样器的情况、串联各环节之间有采样器的情况推广：有理想采样

7、器隔开的推广：有理想采样器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲传递个线性连续环节串联的脉冲传递函数等于函数等于n个环节个环节z变换的乘积。变换的乘积。G2(s)G1(s)( )r t*( )r t( )d t*( )d t*( )c t( )c tT)(zG)(1zG)(2zG( )R z( )D z( )C z2、串联各环节之间无采样器的情况、串联各环节之间无采样器的情况 没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数为这没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数为这两个环节的传递函数相乘之积的两个环节的传递函数相乘之积的Z变换。变换。推广：没有理想采样器隔开的推广：没有理想采样

8、器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲传递函数个线性连续环节串联的脉冲传递函数等于等于n个环节乘积后的个环节乘积后的z变换。变换。G2(s)G1(s)( )r t*( )r t( )d t*( )c t( )c tT)(zG( )R z( )C z*12( )( )( )( )C sG s G s R s系统连续信号的拉氏变换为*0( )()nsTnR sr nT e*1212C ( )( )( )( )( )( )( )sG s G s R sG s G sR s12C( )( ) ( )zGG z R z*1212( )( )( )GGsGs Gs注意：1212( )( )( )GG zG z

9、 G z注意：3、有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数*11( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(1)( )ppsTpppGsGsC seR sssGzGzGzC zZR zz ZR zzZR zsss 例例7201212212312212221221( ),( )( ),( )1( )( )(1)()( )( )( ) ( )(1) ()(1)( )()(1) ()(1)( )( ) ( )(1) ()aTaTaTaTaTaTaTazazG sG sG zG zssazzeazG z G zzzeazC zG z G z R zzzea

10、zeGG zZs sazzezeC zGG z R zzze传递函数1212( )( )( )G z G zGz采样开关使脉冲传递函数的零点发生变化。采样开关使脉冲传递函数的零点发生变化。G2(s)G1(s)(sR)(*sR)(sX)(*sX)(*sC)(sCT)(zG)(1zG)(2zG)()()()(sCsHsRsE*( )( )( )C sG s E s*( )( )( ) ( )( )E sR sH s G s E s*( )( )( )( )E sR sHG s E s*( )( )1( )R sE sHG s)()()(*sEsGsC*( )( )( )1( )C sG sR sH

11、G s( )r t*( )e t*( )c t( )c tT)(sG)(sH*( ) ( )r t R z( )e t5、闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数( )Ez( )C z( )( )1( )G zzHG z( )( )( )( )1( )C zG zzR zHG z( )1( )( )1( )eE zzR zHG z闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数误差脉冲传递函数误差脉冲传递函数对于单位反馈系统对于单位反馈系统( )( )( )( )1( )C zG zzR zG z( )1( )( )1( )eE zzR zG z闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数误差脉冲传递函数误差脉冲传递函数

12、闭环采样控制系统的特征方程闭环采样控制系统的特征方程1( )0HG z)(sR)(*sE)(sCT)(sG)(sH)(sD)(*sX)(sX*( )( )( )C sG s Xs)()()(*sEsDsX*( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )E sR sG s H s XsR sG s H s D s E sR sE sG s H s D s*( )( )( )( )1( ) ( )( )D s G s R sC sD s G s H s( )( ) ( )( )( )1( )( )C zD z G zzR zD z GH z*212(

13、)( )( )( )( )( )C sG s N sGs G s E s)()(*sCsE)(1)()(*21*2*sGGsNGsC212( )( )1( )G N zC zGG z)(sR)(*sE)(sCT2( )G s1( )G s)(sN闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数 应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关，应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关，因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。*( )( )( )e tr tC z 在误差信号处没有采样开关，输入采样信号包括虚设的)不能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信号的z变换。)()()()()()()()(*sHsCsRsEsGsEsCzC解：。求输出的采样信号)()()()()(*sGsHsCsRsC)()()()()()()()()(*sHGsCsRGsGsHsCsGsRsC)(1)()()(1)()(*zHGzRGzCsHGsRGsC6、Z变换的局限性及修正变换的局限性及修正Z变换变换Z变换的推导建立在采样信号可以用理想脉冲序列来变换的推导建立在采样信号可以用理想脉冲序列来近似的基础上。近似的基础上。Z