经典高等数学课件D2-2求导法则

1、1回顾：回顾：2.点导数的定义点导数的定义 0 xxy 0d)(dxxxxf 0ddxxxy )(0 xfxxfxxfx )()(lim000hxfhxfh)()(lim000 00)()(lim0 xxxfxfxx xyx 0lim3.导数定义导数定义: )(xfhxfhxfh)()(lim0 xxfxxfx )()(lim0dd ( )ddyf xyxx 4.点导数与导函数的关系点导数与导函数的关系:00()( )x xfxfx 000()()()fxAfxfxA 显显然然：0000( )()1. ( )()limxxf xf xf xxxx 在在 可可导导存存在在不不可可导导( (不不存

2、存在在) )005. ( )( )f xxf xx在在 可可导导在在 连连续续6.求导公式求导公式(在定义域内可导在定义域内可导)( )C ？()x ？(sin )x ？ (cos )x ？()xe ？( )?xa (ln )?x (log)?ax 00 0 ()lim xff xx 2第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、函数的和差积商的求导法则一、函数的和差积商的求导法则 函数的求导法则 第二章 3一、函数的和差积商的求导法则一、函数的和差积商的求导法则 定理定理1.的和、的和、 差、差、

3、 积、积、 商商 (除分母为除分母为0的的点外点外) 都在点都在点 x 可导可导, 且有公式：且有公式：( )( )uu xvv xx函函数数及及都都在在 具具有有导导数数( )( )uu xvv x 及及(1) ( )( )( )( );u xv xu xv x (2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( );u x v xu x v xu x v x 2( )( ) ( )( ) ( )(3) ( ( )0).( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx 1.() ( ) uvuv 可可简简单单记记为为：(2) ();uvuvuv 2(3) ( ) (0).uuvuv

4、vvv 4()(2) uvu vuv 证证:( )( ) ( ),f xu x v x 设设则有则有0()( )( )limhf xhf xfxh 0() ()( ) ( )limhu xh v xhu x v xh 故结论成立故结论成立.( ) ( )( ) ( )u x v xu x v x 0() limhu xhh ( )u x()v xh ( ) v xh ( )u x()v xh 00()( )()( )( )lim, ( )limhhu xhu xv xhv xu xv xhh 由由已已知知: :( )v x由由已已知知: :可可导导0lim ()( )hv xhv x( )v

5、x连连续续同理可证其它法则同理可证其它法则5导导数数的的四四则则法法则则: :(2) ()uvu vuv 2(3) ( ) (0)uu vuvvvv :推推广广(1)()uvwuvw(2)()uvwu vwuv wuvw (3)()CuCu 21(4)( )(0)vvvv (1),(2)可推广到有限个可推广到有限个( C为常数为常数 )( ),( )uu x vv xx 都都在在 处处可可导导(1) ()uvuv 6例例1. 解解:31(4cossin1),.xyx xxyy 求求及及y ()x 3(4cossin1)xxx 3(4cossin1)xx 31(4cossin1)2xxx2(3x

6、x4sin x )1xy 12(1 4cos1 sin1) (34sin1)77sin12cos122(2) ()uvuvuv (1) ()uvuv 7例例2. 求证求证2(tan )sec,xx (csc )csccot.xxx 证证: sin(tan )cosxxx (sin ) cosxx sin(cos )xx 2cos x 2cos x2cos x2sin x 21cos x (csc )x 1sin x 2sin x (sin )x 2sin x cos x csccotxx 类似可证类似可证:2(tan )secxx 2(cot)cscxx (sec )sectanxxx (cs

7、c )csccotxxx 2(3) ( ) (0).uuvuvvvv 2sec x 8说明说明 ： 1) 定理定理(公式公式)有条件有条件,结论有两个结论有两个可导可导 公式公式.00( )( )f xxg xx在在处处可可导导, ,在在处处不不可可导导0( )( )f xg xx 在在 处处一一定定不不可可导导. .3)0( ) ( )f x g xx在在处处不不一一定定可可导导4)如：如：3sin 0yxxx在在0( )(0)(0)lim0 xf xffx 30sinlimxxxx 130lim0 xx 2)逆命题逆命题,否命题均不成立否命题均不成立.00( )( )f xxg xx在在处

8、处可可导导, ,在在处处不不可可导导 可导可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就不一定可导不可导就不一定可导.注意：注意：可导可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就一定不可导不可导就一定不可导.:( )( )Th1 uu xvv xx 及及都都在在 处处可可导导2(1) ();(2) ();(3) ( ) (0).u vuvuvuvuvuuvuvvvv ; (0)uuv uvvxv 在在 处处也也可可导导且且9(tan )u ？2sec u2dtansecduuu 即即dtan0dxu 则则2(tan )secxx ( )yf xx 函函数数对对 求求导导xyydd 0limx

9、yx ，uyydd 0limuyu ，xy 记记作作：.uy 记记作作：tuutdd 0limtut txxtdd ,lim0txt yxxydd ,lim0yxy ( )yf uu 函函数数对对 求求导导( )uf tt 函函数数对对求求导导( )xf tt 函函数数对对求求导导( )xf yy 函函数数对对 求求导导10 ( )fx 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. 的某邻域内单调可导的某邻域内单调可导, 证证: 在在 x 处给增量处给增量由反函数的单调性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性知且由反函数的连续性知 因此因此1( )( ),yf xxfy 设设为为的的

10、反反函函数数1( )fyy 在在1( )0fy 且且d dyx 或或0,x ()( )yf xxf x 0, yx xy 00,xy 时时必必有有0( )limxyfxx 0 limy xy 11( )fy 11 11( )fy 11即即 反函数的导数反函数的导数等于等于直接函数导数直接函数导数的的倒数倒数.1xyyx 或或ddxy0lim1yxy 11例例3. 求反三角函数的导数求反三角函数的导数.解解: 设设arcsin,yx 则则sin,xy (,),22y cos0y, 则则(arcsin )x 1 (sin )y 1cos y 211sin y 211x 类似可求得：类似可求得：利用

11、利用(arccos )?x 211x 21(arctan ),1xx 21(arccot).1xx arccosarcsin2xx arctanarccot()2xxxR 1 1 ( )( )fxfy 12(16,)求求导导公公式式 共共个个 请请熟熟记记 小小结结：21(arccos )1xx 21(arcsin)1xx 21(arctan )1xx 21(arccot )1xx 2(tan )secxx 2(cot)cscxx (sec )sec tanxxx (csc )csccotxxx 常常数数函函数数一一个个；幂幂函函数数一一个个；指指数数函函数数两两个个；对对数数函函数数两两个个

12、；三三角角函函数数六六个个；反反三三角角函函数数四四个个. .注注意意：求求导导公公式式实实际际上上是是基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式. .13在点在点 x 可导可导,0lim x ( )uufuxx 0dlimdxyyxx 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.( )ug x ( )( )yf uug x在在点点可可导导，复合函数复合函数 ( )yf g x 且且d( ) ( )dyf u g xx 在点在点 x 可导可导,证证:( )yf u 在点在点 u 可导可导, 故故0lim( )uyfuu ( )yfuuu (00)u 当当时时故有故有( )( )fu

13、g x ( )yfuu ( )(0)yuuf uxxxx 0( )lim0 xu xu 可可导导则则必必连连续续 0limxuuxx 14因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,xuuyxydddddd xuxuyy 即即或或即即乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.例如例如,( ),( ),( )yf uuvvxyuvx2.关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.1.推广：推广：此法则可推广到多个中间变量的情此法则可推广到多个中间变量的情形形.-链式法则链式法则说明：说明：ddyx ddyu

14、 dduv ddvx( )( )( )fuvx，xy2sin 如如:sin2yuux 由由与与复合而成复合而成.xu2cos2cos2 )2()(sin)2(sin xuxuyux15例例4.3.xye 求求的的导导数数解解:23uex 3,ux ,uye 设设则有则有3()()uuxyex 323.xx e复合函数的求导法则有三个步骤复合函数的求导法则有三个步骤：(1)分解复合函数分解复合函数,分解到分解到基本初等函数基本初等函数或或(2)按按锁链法则锁链法则进行计算进行计算.(3)把中间变量把中间变量回代回代到原来的变量到原来的变量.注意：注意：(1)关键是分解关键是分解,分解原则分解原则

15、:各个分函数的导数可求各个分函数的导数可求.(2)熟练后这种分解可省去熟练后这种分解可省去,即省去中间变量即省去中间变量.简单函数简单函数为止为止.3()xe 如如：33()xex 323.xx e 16例例5. 设设dlncos,.dxyyex 求求解解:ddyx1cosxe ( sin)xe ()xe tanxxee (cos)xe1cosxe ( sin)xe xe 1cosxe 例例6.arcsin.xyey ，求求解解: yarcsin()xe 已知已知xearcsin arcs2in11()xxe arcsin.2(1)xexx (arcsin)x ()x 17例例7. 设设2ln

16、(1),.yxxy 求求解解:y 211xx 2(1)xx 211xx (1 2121x )2x 211xx 2211xxx 211x 解解:sinxyx xxelnsin ddyx sin lnxxe 注意：注意： 对幂指函数需要变形后才能进行求导，对幂指函数需要变形后才能进行求导，否则无法求出否则无法求出.sin(cos ln).xxxx 例例8.sin(0)xyxx ，已知已知(sinln )xx sinxx 18如如 求下列函数的导数：求下列函数的导数：2311.ln2xyx 2.log sinxyx 3.yxxx 4.lnyx 215.1yxx 为使求导简单为使求导简单,可先变形后求

17、导可先变形后求导. 211ln(1)ln223yxxlnsinlnxyx 17118824yx x xx21ln2yx 21yxx1(ln)xx ln()()xxe1lnxex 11xxx19ddddyuux 解解:可分解为可分解为,),(2xuufy )2)(xuf2(. )2 fxx 例例9. 例例10.3(sin)( ).yfxf x 求求的的导导数数 其其中中可可导导y 解解:3 (sin)fx 33(sin)(sin)fxx 32(sin) 3sin(sin )fxxx 32(sin)3sincos .fxxx 33 (sin)(sin)fxfx 说明：说明：2()( )yf xf

18、x 求求的的导导数数( (其其中中可可导导) ). .这这是是含含抽抽象象函函数数的的复复合合函函数数, ,较较重重要要. .2()f xy 20常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数 (P95)四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 ()C 0()x 1x (sin)x cos x(cos )x sin x (tan)x 2sec x(cot)x 2csc x (sec )x sectanxx(csc )x csccotxx ()xa lnxaa()xe xe(log)ax 1lnxa(ln )x 1x(arcsin)x 211x (arccos )x 211x (arcta

19、n)x 211x (arccot)x 211x 21有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则(有条件的有条件的):()uvuv()CuCu ()uvu vuv 2(0)uu vuvvvv ( C为常数为常数 )复合函数求导法则复合函数求导法则(有条件的有条件的):ddddddyyuxux则则( )( )uxf uxyu 注意注意:()uvu v ( )uuvv 反函数的求导法则反函数的求导法则(有条件的有条件的): 1 1 ( )( )fxfy d 1 dddyxxy 或或初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数.( ),( ) ( )yf

20、 uuxyfxyux 22说明说明 ：1.有以上公式与法则有以上公式与法则,我们就可以对我们就可以对任意初等函数任意初等函数求求导数导数,2.求导时求导时,应认清应认清结构结构,是是和差和差还是还是乘积乘积,复合复合;是是分段函数分段函数3.求导时应认清谁是自变量求导时应认清谁是自变量,谁是函数谁是函数,对哪一个变量求导对哪一个变量求导.且初等函数的导数且初等函数的导数(若存在若存在)仍为初等函仍为初等函数数.2()2tt 2d( )2dttt 2d( )d2ddtttxx4.应正确使用各种导数的符号应正确使用各种导数的符号.如如000dd ( );( );();(); ( ).ddxxyf

21、xy yfxfxfxfxxx 还是还是抽象函数抽象函数,幂指函数幂指函数.23例例11 求下列函数的导数求下列函数的导数sin11.sin(arct( )an),.xxyeefxf xy 其其中中可可导导, ,求求解解:sin( ) sinxxyeesin( sin)xxee ( )sinxesin( )xe sinxecos x cosxexe 1(arct()an)fx 1(arctan)fx 2111x 关键关键: 搞清函数的运算结构搞清函数的运算结构 ,对复合函数应由外向内逐对复合函数应由外向内逐层求导层求导. 解解:1aaaya x lnaxaa 1aax lnxaaa 2.(0),.aaxaxayxaaay 求求lnxaa 21()x 24cos3. (cos ) ,xxyxxy 求求解：解：coslnln(cos)xxxxyee cosln (cosln)xxyexx coscos( sin ln)xxxxxx (cos) ln(cos)( tan)xxxxx l