第三章立体及表面交线

1、 本章主要学习、本章主要学习、理解立体的投理解立体的投影图，能够绘制立体的投影及表面影图，能够绘制立体的投影及表面交线交线。立体及表面交线的投影立体及表面交线的投影本章学习目的本章学习目的1 . 掌握平面立体和曲面立体的投影。掌握平面立体和曲面立体的投影。2 . 掌握立体表面上的点和线的投影及作图。掌握立体表面上的点和线的投影及作图。3 . 掌握平面立体的截交线。掌握平面立体的截交线。4 . 掌握回转体的截交线。掌握回转体的截交线。5 . 掌握回转体的相贯线。掌握回转体的相贯线。6 . 掌握相贯线的特殊情况。掌握相贯线的特殊情况。3.1 平面立体的投影平面立体的投影3.4 回转体的截交线回转体

2、的截交线3.5 回转体的相贯线回转体的相贯线3.2 回转曲面立体的投影回转曲面立体的投影3.3 平面立体的截交线平面立体的截交线概述概述基本立体平面立体平面立体 曲面立体曲面立体棱柱棱锥圆柱圆锥圆环球物体的组成物体的组成基本立体基本立体表面表面线线点点 常常见见的的基基本本立立体体平平面面立立体体曲曲面面立立体体棱柱棱柱棱锥棱锥圆柱圆柱圆锥圆锥球球圆环圆环平面平面+ +平面平面曲面曲面+ +平面平面曲面曲面+ +曲面曲面围成立体的各类表面相交形成不同的表面交线。围成立体的各类表面相交形成不同的表面交线。2）相贯线：立体与立体表面相交所形成的交线。相贯线：立体与立体表面相交所形成的交线。立体表面

3、上的交线可分为两大类：立体表面上的交线可分为两大类：1）截交线：平面与立体表面相交后形成的交线；截交线：平面与立体表面相交后形成的交线；可见可见的轮廓线画的轮廓线画粗实粗实线，线， 不可见不可见的轮廓线画的轮廓线画细虚细虚线。线。3.1 平面立体的投影平面立体的投影NoImage 平面立体的投影是平面立体各表面投影的集合平面立体的投影是平面立体各表面投影的集合-由由直线段组成的直线段组成的封闭图形封闭图形。平面立体侧面的交线称为平面立体侧面的交线称为棱线棱线。棱柱棱柱棱锥棱锥平面立体基本知识：平面立体基本知识：棱线棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱棱柱。若

4、平面立体所有棱线交于一点，称为若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥。一、棱柱的投影一、棱柱的投影 将三棱柱分别向三个投影面作正投射，得到将三棱柱分别向三个投影面作正投射，得到H、V、W面三个投影。面三个投影。 再按规定方向，将再按规定方向，将H、W面展开到与面展开到与V面重合的位置上，便得三棱柱面重合的位置上，便得三棱柱的三面投影图。的三面投影图。 XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )三个投影之间存三个投影之间存在着下列投影规在着下列投影规律：律：1）投影之间的度量关系）投影之间的度量关系 ：V面投影与面投影与H面投影沿面投影沿

5、OX轴方向的坐标相等；轴方向的坐标相等；V面投影与面投影与W面投影沿面投影沿OZ轴方向的坐标相等；轴方向的坐标相等；H面投影与面投影与W面投影沿面投影沿OY轴方向的坐标相等。轴方向的坐标相等。XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )2）投影之间的位置关系）投影之间的位置关系 ：H面投影反映物体前、后和左、右的位置关系；面投影反映物体前、后和左、右的位置关系；V面投影反映物体上、下和左、右的位置关系；面投影反映物体上、下和左、右的位置关系；W面投影反映物体上、下和前、后的位置关系。面投影反映物体上、下和前、后的位置关系。投影规律适用于所投

6、影规律适用于所有物体的投影有物体的投影XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )平面立体投影的可见性判别平面立体投影的可见性判别 1）外形轮廓线都是可见的。）外形轮廓线都是可见的。 XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )2）外形轮廓线内的相交直线，可利用重影点来判别可见性。）外形轮廓线内的相交直线，可利用重影点来判别可见性。 3）若外形轮廓线内的多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均）若外形轮廓线内的多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均 可见，否则均不可见。可见，否则均

7、不可见。 4）若外形轮廓线内的两可见表面相交，其交线为可见。）若外形轮廓线内的两可见表面相交，其交线为可见。 两不可见表面的交线为不可见。两不可见表面的交线为不可见。 acba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )XZOYWYH 由于物体投影图的形状和大小，与物体对投影面的距由于物体投影图的形状和大小，与物体对投影面的距离无关，所以在画图时为了合理布置图幅，通常离无关，所以在画图时为了合理布置图幅，通常去掉投影去掉投影轴。轴。但它们之间的投影关系，仍应严格遵守。但它们之间的投影关系，仍应严格遵守。acba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a

8、a1( )b b1( )例例1：在三棱柱表面上有点：在三棱柱表面上有点K，已知点，已知点K的的V面投影面投影k，求作它的另外两面投影。，求作它的另外两面投影。分析：分析：1）由于点）由于点K的的V面投影面投影k是可见的，所以点是可见的，所以点K位于侧表面位于侧表面AA1B1B上；上；HVWkABCA1B1C12）侧表面）侧表面AA1B1B是铅垂面，其是铅垂面，其H面投影积聚为直线段，所以点面投影积聚为直线段，所以点K的的 H面投影面投影k 必在该直线段上；必在该直线段上；aa1bb1kKacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )分析：分析：3）根据点的

9、投影规律，先求出点）根据点的投影规律，先求出点K的的H面投影面投影k，然后由，然后由k、k求出求出 其其W面投影面投影k；4）因侧表面）因侧表面AA1B1B的的W面投影为可见，故面投影为可见，故k也为可见。也为可见。kABCA1B1C1aa1bb1kkY2Y2kHVWK例例1：在三棱柱表面上有点：在三棱柱表面上有点K，已知点，已知点K的的V面投影面投影k，求作它的另外两面投影。，求作它的另外两面投影。acba1b1( )c1acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )例例2：在三棱柱表面上有点：在三棱柱表面上有点M，已知点，已知点M 的的H 面投影面投影m，求作它的另外两面投影

10、，求作它的另外两面投影m、m。分析：分析：1）由于点）由于点M的的H面投影面投影m是可见的，所以点是可见的，所以点M位于顶面位于顶面ABC内；内；HVWmABCA1B1C12）顶面）顶面ABC为水平面，其为水平面，其V、W面投影均积聚为直线段，面投影均积聚为直线段，Mabcacbmm可由点可由点M的的H面投影面投影m，利用点的投影规律，求出其，利用点的投影规律，求出其V、W面投影面投影m、m。 mY3Y3mHVWABCScabsabcsb(c)a二、棱锥二、棱锥特点：棱锥各棱相交于锥顶。特点：棱锥各棱相交于锥顶。 a ( )abcbcssabcss分析：侧表面分析：侧表面SAB及及SBC为一般

11、位置平面，侧表面为一般位置平面，侧表面SAC为侧垂面，底面为侧垂面，底面ABC为水平面；三条棱线中为水平面；三条棱线中SA和和SC为一般位置直线，而为一般位置直线，而SB为侧平线。为侧平线。ba ( )abcbcssabcs例例3：在三棱锥表面上有点：在三棱锥表面上有点N，已知点，已知点N 的的H面投影面投影n，求作它的另外两面投影。，求作它的另外两面投影。分析：分析：1）由于点由于点N的的H面投影面投影n是不可见的，所以点是不可见的，所以点N位于底面位于底面ABC内；内；2）底面）底面ABC为水平面，其为水平面，其V、W面投影均积聚为直线段，面投影均积聚为直线段，可由点可由点N的的H面投影面

12、投影n，利用点的投影规律，求出其，利用点的投影规律，求出其V、W面投影面投影n、n。 (n)nYnYHVWABCScabsabcsN(c)asHVWABCScab(c )sabcsdbca ( )abbcssabcssa例例4：在三棱锥表面上有点：在三棱锥表面上有点K，已知点，已知点K 的的V 面投影面投影k ，求作，求作K的另外两面投影。的另外两面投影。分析：分析：1）由于点）由于点K的的V面投影面投影k为可见，所以点为可见，所以点K在一般位置平面在一般位置平面SAB内；内；2）过点）过点K作辅助直线作辅助直线SD，其，其V面投影面投影sd必通过必通过k； 3）求出辅助线）求出辅助线SD的的

13、H、W面投影面投影sd、sd，则点，则点的的H、W面投影面投影k、k必在必在sd、sd上。上。 YYKDdd YKYKkkk辅助线法辅助线法1HVWABCScab(c)sabcsb ( )abacbcssabcsasKYKYKkk辅助线法辅助线法22）求出）求出EF的的H、W面投影面投影ef、ef，则点，则点K的的H、W面投影面投影k、k必在必在ef、 ef上。上。 1）通过点）通过点K作水平辅助线作水平辅助线EFAB，则，则ef通过通过k且且ab；efefkEF例例4：在三棱锥表面上有点：在三棱锥表面上有点K，已知点，已知点K 的的V面投影面投影k ，求作，求作K的另外两面投影。的另外两面投

14、影。3.2 回转曲面立体的投影回转曲面立体的投影本节介绍常见的回转曲面立体，简称本节介绍常见的回转曲面立体，简称回转体。回转体。 回转曲面回转曲面由由母线母线绕定轴线作回转运动生成。绕定轴线作回转运动生成。直母线直母线直线回转面直线回转面圆柱面、圆锥面圆柱面、圆锥面曲母线曲母线曲线回转面曲线回转面球面、圆环面球面、圆环面 轴线轴线母线母线素线素线一、圆柱一、圆柱1.圆柱的投影圆柱的投影（1） 圆柱表面的组成：圆柱面圆柱表面的组成：圆柱面+上底面上底面+下底面。下底面。（2） 圆柱面的形成：可看成是由一条直母线圆柱面的形成：可看成是由一条直母线AA1，绕与它，绕与它平行的轴线平行的轴线OO1旋转

15、形成的。旋转形成的。 AA1OO1上底面上底面下底面下底面圆柱面圆柱面HVW如一圆柱直立，则：如一圆柱直立，则：1）上、下底面是水平面，在）上、下底面是水平面，在H面上的投影面上的投影反映底的实形；反映底的实形；在在V、W面上的投影积聚为一直线；面上的投影积聚为一直线；2）圆柱的轴线垂直于）圆柱的轴线垂直于H面，圆柱面在面，圆柱面在H面上的投影积聚为圆周；面上的投影积聚为圆周；在在V、W面上的投影收缩为一矩形线框。面上的投影收缩为一矩形线框。 AA1O1BC1DD1CB1O一、圆柱一、圆柱H V WAA1O1BC1DD1CB1O（3） 注意：注意： 界限素线界限素线是回转曲面是回转曲面对投影面

16、可见和不可见对投影面可见和不可见部分的部分的分界线分界线。 cc1dd1如如AA1、BB1、 CC1、DD1。aa1bb1cc1dd1HVWAA1O1BC1DD1CB1Oaa1bb1cc1dd1（4）圆柱的投影图）圆柱的投影图1）V、W面投影，必须用细点画线画出回转轴线；面投影，必须用细点画线画出回转轴线；2）H面投影，必须画出对称中心线。面投影，必须画出对称中心线。 2. 圆柱面上的点圆柱面上的点p（k）d例例5：圆柱面上有两点圆柱面上有两点P和和K，已知其，已知其V面投影面投影p和和k，求另外两面投影，求另外两面投影p、p和和k、k 分析：分析：1）由于）由于p点位于圆柱面最左边界限素线上

17、，其另外两面投影点位于圆柱面最左边界限素线上，其另外两面投影p、p可直接求出。可直接求出。 2）点）点K须利用圆柱面有须利用圆柱面有积聚性的积聚性的H面投影，先求出点面投影，先求出点K的的H面投影面投影k，再求出，再求出k。kYKYK 3）点）点K的可见性判别的可见性判别:由由于点于点K位于圆柱面的前面右半位于圆柱面的前面右半部分，其部分，其W面投影面投影k不可见。不可见。P3. 圆柱面上的曲线圆柱面上的曲线 求圆柱面上的曲线时，通常采用取点的方法。求圆柱面上的曲线时，通常采用取点的方法。求特殊点求特殊点求一般点求一般点顺序连接顺序连接步骤：步骤：回转体回转体界限素线界限素线上的点上的点其他对

18、作图有意义的点其他对作图有意义的点（如椭圆长、短轴的端点）（如椭圆长、短轴的端点）最左最左最右最右最高最高最低最低最前最前最后最后例例6：已知圆柱面上的曲线已知圆柱面上的曲线AE的的V面投影面投影ae，试求其另外两投影，试求其另外两投影 。分析：分析：此圆柱面的轴线垂直于此圆柱面的轴线垂直于W面，故其面，故其W面投影积聚为圆。曲线面投影积聚为圆。曲线AE在圆柱面在圆柱面上，其上的点必然也在这个圆上。上，其上的点必然也在这个圆上。 作图步骤：作图步骤：1）在）在ae上选取若干点，如上选取若干点，如a、b、c、d、e（其中（其中A、C 为特殊点）。为特殊点）。2）利用积聚性，先求出各个点的）利用积

19、聚性，先求出各个点的W面投影：面投影：a、b、c、d、e。aeeaeabcdbcd3）由各点的）由各点的V、W面投影，求各个点的面投影，求各个点的H面投影：面投影：a、b、c、d、e。4）用曲线板依次光滑连接各点的同面投影；由于）用曲线板依次光滑连接各点的同面投影；由于AC在圆柱面之上半部，而在圆柱面之上半部，而CE在在下半部，下半部，c是曲线是曲线H面投影可见性的分界点面投影可见性的分界点(水平投影界限素线上的点水平投影界限素线上的点)，故其，故其H面面投影投影abc为可见，画粗实线，为可见，画粗实线，cde为不可见，画细虚线。为不可见，画细虚线。aeeaeabcdbcdabcde例例6：已

20、知圆柱面上的曲线：已知圆柱面上的曲线AE的的V面投影面投影ae，试求其另外两投影，试求其另外两投影 。二、圆锥二、圆锥1. 圆锥的投影圆锥的投影（1）圆锥表面的组成：圆锥面）圆锥表面的组成：圆锥面+底面（圆形）底面（圆形） 。（2）圆锥面的形成：可看成是由一条直母线）圆锥面的形成：可看成是由一条直母线SA，绕与它相交，绕与它相交的轴线的轴线OO1旋转形成的。旋转形成的。 圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶S。SAOO1底面底面圆锥面圆锥面HVW二、圆锥二、圆锥圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶S。如一圆锥直立，则：如一圆锥直立

21、，则：1）底面是水平面，在）底面是水平面，在H面上的投影反映底的实形；面上的投影反映底的实形；在在V、W面上的投影积聚为一直线。面上的投影积聚为一直线。2）圆锥的轴线垂直于）圆锥的轴线垂直于H面，圆锥面在面，圆锥面在H面面上的投影收缩为平面圆。上的投影收缩为平面圆。在在V、W面上的投影收缩为一等腰三角形线框。面上的投影收缩为一等腰三角形线框。 SH V W（3） 注意：注意： 界限素线界限素线是回转曲面对投是回转曲面对投影面可见和不可见部分的影面可见和不可见部分的分分界线。界线。 cd如如:SA、SB、 SC、SD。sabcd（4）圆）圆锥锥的投影图的投影图1）V、W面投影，必须用细点面投影，

22、必须用细点画画线画出回转轴线；线画出回转轴线；2）H面投影，必须画出对称中心线。面投影，必须画出对称中心线。 H VWcds2. 圆锥面上的点圆锥面上的点m（k）例例7：圆锥面上有两点圆锥面上有两点M和和K，已知其，已知其V面投影面投影m和和k，求另外两投影，求另外两投影m、m和和k、k分析：分析：1）由于）由于m点位于圆锥面最左边界限素线上，其另外两投影点位于圆锥面最左边界限素线上，其另外两投影m、m可直接求出；可直接求出； 2）点）点K 投影投影k 须用作辅助线须用作辅助线的方法，过的方法，过K 作作SA（过（过k作作sa）有）有积聚性的积聚性的H面投影，先求出点面投影，先求出点K的的H

23、面投影面投影k，再求出，再求出k；k 3）点）点K 的可见性判别：由的可见性判别：由于点于点K 位于圆锥面的前面右半部位于圆锥面的前面右半部分，其分，其W 面投影面投影k不可见。不可见。sa（k）sks求点求点K的投影的投影k方法二方法二作辅助圆的方法作辅助圆的方法：2）画纬线圆的水平投影；）画纬线圆的水平投影； 为实形为实形圆，半径为圆，半径为R ;R3）求）求k、k ； 由由k向下引垂线与纬线圆交于点向下引垂线与纬线圆交于点k，再，再由由k及及k求出求出k。1）过）过k作水平线；作水平线； 过过K作在圆锥面上作一水平辅助圆。作在圆锥面上作一水平辅助圆。 该圆所在的平面与圆锥的轴线垂直，此圆

24、称为纬线圆。该圆所在的平面与圆锥的轴线垂直，此圆称为纬线圆。 点点K 的各投影必在纬线圆的同面投影上。的各投影必在纬线圆的同面投影上。P3. 圆锥面上的曲线圆锥面上的曲线 求圆锥面上的曲线时，通常也采用取点的方法。求圆锥面上的曲线时，通常也采用取点的方法。求特殊点求特殊点求一般点求一般点顺序连接顺序连接步骤：步骤：回转体回转体界限素线界限素线上的点上的点其他对作图有意义的点其他对作图有意义的点（如椭圆长、短轴的端点）（如椭圆长、短轴的端点）最右最右最高最高最后最后最左最左最低最低最前最前bea例例8：已知圆锥表面上的曲线已知圆锥表面上的曲线AE的的V面投影面投影ae，试求其另外两投影。，试求其

25、另外两投影。 分析：分析：此圆锥面的轴线垂直于此圆锥面的轴线垂直于H 面，故其面，故其H 面投影积聚为圆。曲线面投影积聚为圆。曲线AE在圆锥面上，其在圆锥面上，其上的点可通过作辅助线或上的点可通过作辅助线或辅助圆辅助圆的方法求得。的方法求得。1）在）在ae上选取若干点，其中上选取若干点，其中C为特殊点，先求出为特殊点，先求出c，再求出，再求出c；2）利用纬线圆，先求出各个点的）利用纬线圆，先求出各个点的H 面投影面投影e（a、b、d）；）；bcdea3）再求出各个点）再求出各个点的的W 投影投影e（a、 b、d）；）；ee作图步骤：作图步骤：aabcdd（ ）（ ）4）判断）判断可见性；可见性

26、；5）顺序连接。）顺序连接。e（ ）eaac三、球三、球1.球的投影球的投影（1）球的组成：球。）球的组成：球。（2）球面的形成：由一圆作母线，以它的直径为回转轴旋）球面的形成：由一圆作母线，以它的直径为回转轴旋转形成的。转形成的。球的三个投影球的三个投影球直径相等的圆。球直径相等的圆。球面球面OO1HVW球的三个投影球的三个投影球直径相等的圆。球直径相等的圆。O正面最大圆正面最大圆V面投影面投影圆圆其其H、W面面投影积聚在相应轴线上投影积聚在相应轴线上直线段直线段前半前半球可见，后半球不可见；球可见，后半球不可见； 水平最大圆水平最大圆H面投影面投影圆圆其其V、W面面投影积聚在相应轴线上投影

27、积聚在相应轴线上直线段直线段上半上半球可见，下半球不可见；球可见，下半球不可见；侧面最大圆侧面最大圆W面投影面投影圆圆其其H、V面面投影积聚在相应轴线上投影积聚在相应轴线上直线段直线段左半左半球可见，右半球不可见。球可见，右半球不可见。三、球三、球（3）球的投影图）球的投影图必须画出所有轴线和对称中心线。必须画出所有轴线和对称中心线。 HVWO3）点）点C为球面上一般点，可选水平纬线圆为球面上一般点，可选水平纬线圆为辅助线：为辅助线：2. 球面上的点球面上的点例例9：已知已知球面上的三个点球面上的三个点A、B、C的的V面投影，求面投影，求A、B、C点的另外两面点的另外两面投影。投影。分析：分析

28、：1）两点两点A、B 均为界限素线上的点，可直接求出其另外两投影。均为界限素线上的点，可直接求出其另外两投影。 2）点点C 是一般位置点，其投影是一般位置点，其投影c 需作水平纬线圆辅助求解。需作水平纬线圆辅助求解。a（b）c作图步骤：作图步骤：1）因）因a位于正面最大圆的位于正面最大圆的V 面投影上，故面投影上，故a 在水平对称中心线上，在水平对称中心线上，a在垂直对称中心在垂直对称中心线上，因它位于左、上半球，所以线上，因它位于左、上半球，所以a 和和a均均可见可见; 2）b位于垂直对称中心线上且不可见，故位于垂直对称中心线上且不可见，故b在侧面最大圆在侧面最大圆W面投影的左半部分，可面投

29、影的左半部分，可直接求出直接求出b，再求出，再求出b，点，点B在后、下半球在后、下半球上，故上，故b不可见；不可见； aab(b)过过c作水平线与圆交于点作水平线与圆交于点e、f；以以ef为直径，在为直径，在H面投影上作水平圆，面投影上作水平圆，c在此圆上；在此圆上；由由c、c求出求出c；点点C在右、下半球上，在右、下半球上，c、c不可见。不可见。ccef（ ）（ ）bda例例10：已知球面上曲线已知球面上曲线AD的的V面投影面投影ad，求其另两投影。，求其另两投影。分析：分析：在曲线在曲线AD上，选若干点上，选若干点A、B、C、D，其中点，其中点B和和C为特殊点，点为特殊点，点B在侧面在侧面

30、最大圆上，点最大圆上，点C在水平最大圆上，其另外两投影可直接求出。曲线两端点在水平最大圆上，其另外两投影可直接求出。曲线两端点A和和D为为一般点，需作辅助线求解。一般点，需作辅助线求解。1）求特殊点）求特殊点B、C的的H、W面投影；面投影；2）过）过a和和d分别作水平纬线圆，求出分别作水平纬线圆，求出a和和d；bc3）由）由a、a及及d、d分别求出分别求出a及及d；作图步骤：作图步骤：d（ ）（ ）4）判断可见性：判断可见性：因因BD线段在球的左线段在球的左半部，半部，b是曲线是曲线W面投影可见性分界点，面投影可见性分界点，故故a不可见；因不可见；因AC线段在球的上半部，线段在球的上半部，C是

31、曲线是曲线H面投影可见性分界点，故面投影可见性分界点，故d为不可见；为不可见；3. 球面上的曲线球面上的曲线aadcbcdabc（ ）（ ）bc细虚线细虚线粗实线粗实线细虚线细虚线粗实线粗实线acbdad3.3 平面立体的截交线平面立体的截交线 截交线截交线截平面与立体表面的交线。截平面与立体表面的交线。、平面立体的截交线、平面立体的截交线多边形的各边：截平面与立体表面上不同平面的交线。多边形的各边：截平面与立体表面上不同平面的交线。截交线的性质：截交线的性质：是截平面与立体表面的共有线。是截平面与立体表面的共有线。平面立体截交线：平面立体截交线：由直线段围成的平面多边形。由直线段围成的平面多

32、边形。截平面截平面截交线截交线多边形的顶点：立体棱线与截平面的交点；多边形的顶点：立体棱线与截平面的交点；求：平面立体的截交线求：平面立体的截交线方法一方法一线面交点法：线面交点法：1）求平面立体棱线与截平面的交点；）求平面立体棱线与截平面的交点；2）顺序连接各交点，即得截交线。）顺序连接各交点，即得截交线。方法二方法二面面交线法：面面交线法：求截平面与平面立体表面的交线。求截平面与平面立体表面的交线。 当截平面与平面立体表面上的某个面平行时，要当截平面与平面立体表面上的某个面平行时，要特别注意截特别注意截交线与原有棱边的平行关系。交线与原有棱边的平行关系。注意注意 截平面的位置可以是特殊位置

33、，也可以是一般位置。本书主要截平面的位置可以是特殊位置，也可以是一般位置。本书主要以以特殊位置截平面特殊位置截平面为例说明求解平面立体截交线的方法和步骤。为例说明求解平面立体截交线的方法和步骤。PVcsa( )b dssabdc例例11：四棱锥四棱锥SABCD被正垂面被正垂面P切割，求其截交线的投影。切割，求其截交线的投影。 作图步骤：作图步骤：1）标出）标出1、2、3、4；2）求）求1、2、3、4； 求求1、2、3、4；4）顺序连接。）顺序连接。db( )a cSABCD12342 4( )1333）判断可见性判断可见性 四棱锥的上部被四棱锥的上部被P平面切去，因平面切去，因而截交线的三个投

34、影均可见；注而截交线的三个投影均可见；注意棱线意棱线SC的的W面投影为细虚线；面投影为细虚线；1432421分析：分析：截平面截平面P与四棱锥的四个侧表面相交，截交线为四边形；由于截平面与四棱锥的四个侧表面相交，截交线为四边形；由于截平面P是正垂面，其是正垂面，其V面投影积聚为一直线，故截交线的面投影积聚为一直线，故截交线的V面投影为直线段，可直面投影为直线段，可直接求出；再由其接求出；再由其V面投影求出面投影求出W面投影，由面投影，由V、W面投影确定其面投影确定其H面投影。面投影。例例12：求求P、Q两平面与三棱锥两平面与三棱锥SABC截交线的投影截交线的投影 。 作图步骤：作图步骤：1）直

35、接标出）直接标出1、4及及2(3)；3）作）作42ab、43ac，根据，根据V面投影面投影2(3)求出求出H面投影点面投影点2和和3；6) 顺序连接。顺序连接。4）由）由2、2求出求出2； 由由3、3求出求出3；2）求出）求出1、4和和1、4；12(3)4141234SABQVPVsab c （ ）sabc sabc142323分析：分析：正垂面正垂面P与三棱锥的两侧表面与三棱锥的两侧表面SAB和和SAC相交于两段直线相交于两段直线和和。水平面。水平面Q与与两侧表面两侧表面SAB和和SAC相交于水平线相交于水平线和和，它们分别与三棱锥底面的边，它们分别与三棱锥底面的边AB和和AC平行。平行。P

36、、Q两截平面相交于直线两截平面相交于直线。点。点和点和点位于位于SA棱线上，其棱线上，其V面投影面投影1和和4已知。已知。5）判断可见性：判断可见性： P、Q两平面交线的两平面交线的H面投影面投影23为不可见，画为不可见，画成细虚线；其他交线可见，画成粗实线；成细虚线；其他交线可见，画成粗实线；例例13：已知开有燕尾槽的长方体被一正垂面截切，求其已知开有燕尾槽的长方体被一正垂面截切，求其H面面投影。投影。 作图步骤：作图步骤：1）截交线的）截交线的H、W面投影已知；面投影已知；3）判断可见性）判断可见性 ： 燕尾槽在长方体底部，不可燕尾槽在长方体底部，不可见，画成细虚线；其他交线可见，见，画成

37、细虚线；其他交线可见，画成粗实线；画成粗实线；2）根据）根据V、W面投影求出面投影求出H面投影；面投影；分析：分析：物体是由开有燕尾槽的长方体被一个正垂截切平面切割后而形成物体是由开有燕尾槽的长方体被一个正垂截切平面切割后而形成的，其交线的的，其交线的V面投影有积聚性，可直接得知。截交线的面投影有积聚性，可直接得知。截交线的W面投影与立体的面投影与立体的轮廓线重合，为已知。可以根据截交线的轮廓线重合，为已知。可以根据截交线的V、W面投影求得其面投影求得其H面投影面投影 。4）注意）注意 ： 俯视图左侧，因开燕尾槽，俯视图左侧，因开燕尾槽，应擦去线条。应擦去线条。Y1Y2Y1Y23.4 回转体的

38、截交线回转体的截交线 、圆柱的截交线、圆柱的截交线回转体截交线：回转体截交线：由由曲线曲线或或曲线曲线+直线直线围成的平面多边形。围成的平面多边形。回转体截交线求解：回转体截交线求解：1）利用积聚性；）利用积聚性； 2）作辅助面。）作辅助面。 截平面与轴线截平面与轴线垂直垂直圆圆； 圆圆柱柱面面的的截截交交线线截平面与轴线截平面与轴线平行平行矩形矩形； 截平面与轴线截平面与轴线倾斜倾斜椭圆椭圆。 是截平面与回转立体表面的是截平面与回转立体表面的共有点共有点集合。集合。截平面：截平面：以特殊位置为例。以特殊位置为例。求平面与回转体截交线的一般步骤：求平面与回转体截交线的一般步骤：1. 空间及投影

39、分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。置，以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，特性，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。预见未知投影。2. 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：* 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。光滑连接各点，并判断截交线的可见性。 * 先找特殊点，补

40、充中间点。先找特殊点，补充中间点。例例14：圆柱被圆柱被P、Q两平面截切，试完成其三个投影图两平面截切，试完成其三个投影图 。分析：分析：圆柱轴线圆柱轴线V面，被水平面面，被水平面P和侧平面和侧平面Q所截切；截平面所截切；截平面P圆柱的轴线，圆柱的轴线，与圆柱面的交线为两条侧垂线。截平面与圆柱面的交线为两条侧垂线。截平面Q垂直于圆柱的轴线，与圆柱面的交线为垂直于圆柱的轴线，与圆柱面的交线为平行于平行于W面的一段圆弧。平面面的一段圆弧。平面P和和Q的交线为正垂线。可利用截平面的交线为正垂线。可利用截平面P、Q和圆柱面和圆柱面投影的积聚性，直接求圆柱截交线的投影。投影的积聚性，直接求圆柱截交线的投

41、影。 作图步骤：作图步骤：1）画出截平面）画出截平面P、Q的的V面投影面投影PV、QV；2）找出截平面）找出截平面P与圆柱面交线的与圆柱面交线的V面投面投影影ab、cd及及W面投影面投影a(b)、c(d)，求出两交线求出两交线AB、CD的的H面投影面投影ab、cd；4）顺序连接。）顺序连接。3）找出截平面）找出截平面Q与圆柱面交线的与圆柱面交线的W面投影面投影bed及及V面投影面投影bed，求出，求出H面投影面投影bed；ePQABEDCQVba（ ）cd（ ）badcPVeeac( )d( )b例例15：圆柱被正垂面截切，试完成其圆柱被正垂面截切，试完成其H面面投影。投影。 作图步骤：作图步

42、骤：1）找出特殊点）找出特殊点A、B、C、D的三面投影；的三面投影； 2）确定若干一般点：求点）确定若干一般点：求点E及其对称及其对称的三点：在的三点：在W面投影上确定面投影上确定e，由，由e在在V面投影上求出面投影上求出e，由，由e和和e求出求出H面投影上的点面投影上的点e ； 方法二：方法二：先求出截交线在先求出截交线在H面上的面上的椭圆长、短轴椭圆长、短轴ab和和cd，再利用四心法，再利用四心法画近似椭圆。画近似椭圆。3）求出足够的一般点，然后顺序光）求出足够的一般点，然后顺序光滑连接起来，即得截交线的滑连接起来，即得截交线的H面投影。面投影。d( )aPVABCDbcdabcabcde

43、ee分析：分析：截平面与圆柱的轴线倾斜相交，截交线为一椭圆。由于截平面与圆柱的轴线倾斜相交，截交线为一椭圆。由于P平面为正垂面，截平面为正垂面，截交线在交线在V面投影面上有积聚性。圆柱面的面投影面上有积聚性。圆柱面的W面投影具有积聚性，故截交线的面投影具有积聚性，故截交线的W面投面投影与圆柱面的影与圆柱面的W面投影重合。由于面投影重合。由于P平面与平面与H面倾斜，所以截交线的面倾斜，所以截交线的H面投影与其面投影与其本身具有相仿性，一般仍为椭圆。本身具有相仿性，一般仍为椭圆。 截平面与圆柱轴线斜交，截交线随截平面与圆柱轴线夹角截平面与圆柱轴线斜交，截交线随截平面与圆柱轴线夹角的变化而变化。的变

44、化而变化。45时，时，截交线的截交线的H面投影为圆面投影为圆4545例例16：圆柱上部有一切口，若已知其圆柱上部有一切口，若已知其V面投影，试求面投影，试求H、W面投影。面投影。 分析：分析：圆柱上部被左右对称的两个侧平面和一个水平面截切。两侧平面平行于圆柱上部被左右对称的两个侧平面和一个水平面截切。两侧平面平行于圆柱轴线，与圆柱面的交线为平行于圆柱轴线的铅垂线。水平面垂直于圆柱轴圆柱轴线，与圆柱面的交线为平行于圆柱轴线的铅垂线。水平面垂直于圆柱轴线，与圆柱面的交线为水平的两段圆弧。线，与圆柱面的交线为水平的两段圆弧。例例17：空心圆柱上部有一切口，若已知其空心圆柱上部有一切口，若已知其V面投

45、影，求面投影，求H、W面投影。面投影。 分析：分析：空心圆柱的上部被两个侧平面和一个水平面截切，形成一个空心圆柱的上部被两个侧平面和一个水平面截切，形成一个长方槽。三个截平面与圆柱的内、外表面分别相交，和外表面交线长方槽。三个截平面与圆柱的内、外表面分别相交，和外表面交线的求法和上例相同。三个截平面和空心圆柱内表面截交线的求法，的求法和上例相同。三个截平面和空心圆柱内表面截交线的求法，与求外表面截交线相同。与求外表面截交线相同。二、圆锥的截交线二、圆锥的截交线 当平面与圆锥面相交时，随着截平面与圆锥轴线相对位置的不同，截交当平面与圆锥面相交时，随着截平面与圆锥轴线相对位置的不同，截交线的形状有

46、五种：线的形状有五种： 截平面垂截平面垂直于圆锥轴直于圆锥轴线时，截交线时，截交线为圆。线为圆。截平面与圆锥轴截平面与圆锥轴线的夹角线的夹角/2时，时，截交线为椭圆。截交线为椭圆。截平面与圆锥轴截平面与圆锥轴线夹角线夹角/2时，时，截交线为抛物线。截交线为抛物线。当当/2，故截交线为椭圆。，故截交线为椭圆。截交线的截交线的V面投影积聚为直线段，而其面投影积聚为直线段，而其H面投影和面投影和W面投影仍面投影仍为椭圆。先求特殊点，再求一般点。为椭圆。先求特殊点，再求一般点。PV作图步骤：作图步骤：1）找出特殊点）找出特殊点A、B、C、D的的V面投影，这面投影，这是截交线椭圆长、短轴的端点，所以是截

47、交线椭圆长、短轴的端点，所以c、(d)位于位于ab的中点；的中点；2）求出）求出A、B的的H、W面投影；面投影；3）过）过C、D作水平纬线圆，求其作水平纬线圆，求其H面投影面投影c、d，并根据投影关系求出，并根据投影关系求出c、d；4）求特殊点）求特殊点E、F，这两点是，这两点是W面投影界限面投影界限素线上的点，找出其素线上的点，找出其V面投影面投影e、fe、f e、f；5）采用纬线圆法求一般点）采用纬线圆法求一般点G、H；6）画出）画出H、W面投影上面的椭圆。在面投影上面的椭圆。在W面面投影上，椭圆应与圆锥的界限素线的投影切于投影上，椭圆应与圆锥的界限素线的投影切于e、f 。ABCDd( )

48、babceaabcdcdf( )efegh( )ghPVd( )babceaabcdcdf( )efefgh( )ghf例例19：正平面正平面P截切圆锥，求截交线的投影。截切圆锥，求截交线的投影。 分析：分析：P平面平行于圆锥的平面平行于圆锥的轴线，截交线为双曲线，其轴线，截交线为双曲线，其H面面投影积聚在投影积聚在PH上，上，W面投影积面投影积聚在聚在PW上，截交线的上，截交线的H、W面两面两个投影已知，可求出个投影已知，可求出V面投影。面投影。 作图步骤：作图步骤： 先求特殊点先求特殊点1、2、3，再用，再用纬线圆法求一般点。纬线圆法求一般点。 231PWPHPWPH1(3)3332121

49、11(3)333221kk1例例20：圆锥被正垂面圆锥被正垂面P和侧平面和侧平面Q截切，已知其截切，已知其V面投影，求作面投影，求作H、W面投影。面投影。分析：分析：截平面截平面P为正垂面且过锥顶，其与圆锥面的交线为两段相交直线，截平面为正垂面且过锥顶，其与圆锥面的交线为两段相交直线，截平面Q为侧平面，垂直于圆锥的轴线，与圆锥面的交线为一段圆弧。面为侧平面，垂直于圆锥的轴线，与圆锥面的交线为一段圆弧。面P与面与面Q 相交相交于一直线（正垂线）。于一直线（正垂线）。 作图步骤：作图步骤：1）在）在V面投影上过面投影上过s、k 、(k1)作直线，作直线，交圆锥底圆周的交圆锥底圆周的V面投影于面投影

50、于1(2)点；点；2）由此可求出）由此可求出s1、s2和和s1、s2；空间空间点点K和和K1分别位于分别位于S和和S两条直线上，两条直线上，可求出其可求出其W面投影面投影k、k1和和H面投影面投影k、k1；3）在）在W面投影上，以面投影上，以s为圆心，以为圆心，以sk为为半径画弧半径画弧kek1，即为其，即为其W面投影，且反面投影，且反映实形。其映实形。其H面投影积聚为直线段面投影积聚为直线段kek1；4）作出平面）作出平面P与与Q交线的交线的W面投影面投影kk1，完成圆锥的完成圆锥的H、W面投影。面投影。QVPVsss121(2)ek(k1)kk1e21 平面与球相交，其截交线总是一个圆。平

51、面与球相交，其截交线总是一个圆。三、球的截交线三、球的截交线截平面截平面投影面投影面截交线的投影是截交线的投影是圆圆、直线、直线截平面截平面投影面投影面截交线的投影是截交线的投影是椭圆椭圆、直线、直线例例21：正垂面正垂面P与球面相交，求其截交线的投影。与球面相交，求其截交线的投影。分析：分析：P平面与球面相交的平面与球面相交的截交线为圆，其截交线为圆，其V面投影有面投影有积聚性，积聚性，H面投影和面投影和W面投面投影均为椭圆。影均为椭圆。PV1234例例21：正垂面正垂面P与球面相交，求其截交线的投影。与球面相交，求其截交线的投影。 分析：分析：P平面与球面相交的截交线为圆，其平面与球面相交

52、的截交线为圆，其V面面投影有积聚性，投影有积聚性，H面投影和面投影和W面投影均为椭圆。面投影均为椭圆。作图步骤：作图步骤：1）求特殊点）求特殊点、，这六个点是界限素线上的这六个点是界限素线上的点；点；2）求特殊点）求特殊点、，这两个点，这两个点是极限位置的点（最前、最后），是极限位置的点（最前、最后），同时也是同时也是H、W面投影椭圆的长轴面投影椭圆的长轴端点；端点；3）用纬线圆法求一般点）用纬线圆法求一般点A、B、C、D；4）顺序光滑连接。）顺序光滑连接。12341234（ ）8（ ）7（ ） 561212565678783434（ ） ab（ ）cdabcdabcd例例22：已知开有通槽半

53、球的已知开有通槽半球的V面投影，求其面投影，求其H、W面投影。面投影。 分析：分析：通槽是由两侧平面和一个水平面截切而成，与球面的交通槽是由两侧平面和一个水平面截切而成，与球面的交线均为圆弧。其中侧平圆弧在线均为圆弧。其中侧平圆弧在V、H面上的投影积聚为直线段，在面上的投影积聚为直线段，在W面上的投影反映实形。水平圆弧在面上的投影反映实形。水平圆弧在V、W面上的投影积聚为直线段，面上的投影积聚为直线段，在在H面上的投影反映实形。面上的投影反映实形。作图步骤：作图步骤：1）求出两段水平圆弧的）求出两段水平圆弧的H面面投影；投影；2）画出两段侧平圆弧的）画出两段侧平圆弧的W面面投影；投影；3）画出

54、通槽水平底面的）画出通槽水平底面的W面面投影，不可见部分画细虚线；投影，不可见部分画细虚线；4）擦除半球上部被切去的轮）擦除半球上部被切去的轮廓线，即得所求。廓线，即得所求。例例22：已知开有通槽半球的已知开有通槽半球的V面投影，求其面投影，求其H、W面投影。面投影。例例23：已知组合回转体被两个平面截切，完成其已知组合回转体被两个平面截切，完成其V面投影。面投影。分析：分析：该回转体是由两个圆柱面和一个半球面组合而成，左端半球与圆柱该回转体是由两个圆柱面和一个半球面组合而成，左端半球与圆柱2相相切，右边为一大圆柱切，右边为一大圆柱3，被正平面和侧平面切割。，被正平面和侧平面切割。作图步骤：作

55、图步骤：1）以）以o为圆心、为圆心、o1为半径在为半径在V面投面投影上画出半圆；影上画出半圆；2）求正平面与圆柱）求正平面与圆柱2的交线；的交线； 3）求正平面与圆柱）求正平面与圆柱3的交线；的交线； 4）求正平面与圆柱）求正平面与圆柱3左端面的交线左端面的交线GD和和EB，求出其，求出其V投影投影gd、eb；5）求出侧平面与圆柱）求出侧平面与圆柱3的表面交线的表面交线的的V面投影；面投影；6）完成圆柱）完成圆柱2与圆柱与圆柱3左端面的交线的左端面的交线的V面投影，中间一段面投影，中间一段bd为细虚线。为细虚线。从而完成作图从而完成作图 。3.5 回转体的相贯线回转体的相贯线 回转体相贯线：回

56、转体相贯线：两个立体相交所形成的表面交线称为相贯线。两个立体相交所形成的表面交线称为相贯线。回转体相贯线性质：回转体相贯线性质：1）相贯线是两个立体表面的共有线，共有线上的每一点都是两立体表面的共）相贯线是两个立体表面的共有线，共有线上的每一点都是两立体表面的共有点；有点； 2）相贯线是两个立体表面的分界线；）相贯线是两个立体表面的分界线； 3）相贯线在一般情况下是封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。）相贯线在一般情况下是封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。 两平面立体相交两平面立体相交平面立体与曲面立体相交平面立体与曲面立体相交其相贯线，可归结其相贯线，可归结为求棱线与平面的

57、交点为求棱线与平面的交点问题。问题。 其相贯线，可归结其相贯线，可归结为求平面与曲面立体截为求平面与曲面立体截交线问题。交线问题。一、利用积聚性求相贯线一、利用积聚性求相贯线 当两个圆柱的轴线分别垂直于不同的投影面时，相交的两圆柱的表面当两个圆柱的轴线分别垂直于不同的投影面时，相交的两圆柱的表面相对于投影面有积聚性，可利用积聚性直接求出两立体表面的相贯线。相对于投影面有积聚性，可利用积聚性直接求出两立体表面的相贯线。例例24：试求两轴线垂直相交圆柱相贯线的投影。试求两轴线垂直相交圆柱相贯线的投影。分析：分析：两个圆柱的圆柱面分两个圆柱的圆柱面分别在俯视图和左视图上具有别在俯视图和左视图上具有积

58、聚性，因此它们的相贯线积聚性，因此它们的相贯线投影也分别处于这两个积聚投影也分别处于这两个积聚圆上，找出这两个投影，其圆上，找出这两个投影，其主视图投影就很容易求出了。主视图投影就很容易求出了。作图步骤作图步骤：1）求出相贯线）求出相贯线上的特殊点上的特殊点A、B、C 、D ；acd b1212bacd2）求出若干个一）求出若干个一般点般点、 等等；3）光滑且顺次地）光滑且顺次地连接各点，作出连接各点，作出相贯线，并且判相贯线，并且判别可见性；别可见性；4）整理轮廓线。）整理轮廓线。例例24：试求两轴线垂直相交圆柱相贯线的投影。试求两轴线垂直相交圆柱相贯线的投影。C12abcd1(2)()() 圆 柱 外 表 面 与圆 柱 外 表 面 与 圆柱内表面相贯圆柱内表面相贯两圆柱内表面相贯两圆柱内表面相贯 当两曲面立体表面相交，其相贯线不能用积聚性直接求当两曲面立体表面相交，其相贯线不能用积聚性直接求出时，可用辅助平面法求解。出时，可用辅助平面法求解。辅助平面法求相贯线的作图步骤：辅助平面法求相贯线的作图步骤：1）选择适当位置的辅助平面；）选择适当位置的辅助平面；2）求作辅助平面与两相贯立体的辅助交线；）求作辅助平面与两相贯立体的辅助交线；3）求出辅助交线的交点，即为相贯线上的点。）求出辅助交线的交点，