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1、2022-3-19高等数学二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 2022-3-19高等数学一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(

2、,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数 , 记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次类推 ,nnany!)(233xa例例1.思考思考: 设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学nx)1 ( ,3xaeay 例例2. 设求解解:特别有:解解:! ) 1( n规定

3、0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3. 设, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学例例4. 设,sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()

4、(cos)()2n)2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学例例5 . 设bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求为常数 , ),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学例例6. 设,3)(23xxxxf求

5、使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!

6、) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn) 1(推导 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学例例7. ,22xexy 求.)20(y解解: 设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式 , 得)20(yxe22022xxe219

7、220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学0!2) 1() 1(nynn)(nyn例例8. 设,arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1 (2yx用莱布尼兹公式求 n 阶导数)1 (2xx22令,0 x得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2() 1(ymm0)0()2(my ) 1(ny12, ! )2(

8、) 1(2,0)0()(mnmmnymn即), 2, 1 , 0(m由, 1)0( y得)0(! )2() 1()0() 12(ymymm机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学内容小结内容小结(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学思考与练习思考与练习xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函数的

9、n 阶导数?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学2312xxy1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xBxAxx提示提示: 令)2(xA原式2x) 1(xB原式1x11机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学xxy66cossin)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22babax4cos8385)4cos(2nx 2

10、2cos1sin2xx22cossin3解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学1)( !nxfn2. (填空题) (1) 设,cos)23()(1622xnxxxf则)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:各项均含因子 ( x 2 )nx)2( ! n22!n(2) 已知)(xf任意阶可导, 且2n时)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf则当 )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学3. 试从 yyx1dd导出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同样可求33ddyx(见 P101 题4 ) 作业作业P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ; 9 (2) , (3)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 2022-3-19高等数学解解: 设)(sin2xfxy 求,y 其中 f 二阶可导. y yxxfxcos)(sin2)(