立体几何提高训练题.

1、立体几何提高训练选择题1、异面直线a， b 成 80°角， P 为 a， b 外的一个定点，若过P 有且仅有2 条直线与a， b所成的角相等且等于，则角属于集合（B）A |0° <<40° C |40° <<90 ° B |40° < <50° D |50° < <90° 2、已知长方体 ABCDA1 B1C1D1中 ， AA1AB 2 ，若棱 AB 上存在点 P，使 D1PPC ，则棱 AD 的取值范围是（ A ）A. 01，B、0 2C. 02D.1 2

2、填空题3、为两个不同平面， m，n 是平面，外的两条不同直线，给出下面四个结论： m/n； m/； n，以其中三个为条件，另一个为结论，写出你认为正确的一个命题。（按 形式写）或4、 .已知 A ， B，C， D 为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面 BCD 的距离等于14解答题5、.在棱长为a 的正方体OABC O'A'B'C' 中，E、F 分别是棱AB 、BC 上的动点， 且 AE=BF.（1）求证： A'F C'E；（2）当三棱锥 B' BEF的体积取得最大值时， 求二面角 B' EFB 的大小 .

3、 （结果用反三角函数表示）O'C'B "A 'OCFAEB解：） 证明 如图，以 O 为原点建立空间直角坐标系。设 AE BF x，则A(a， 0，a)、 F(a x， a， 0)、 C(0， a，a)、 E(a， x， 0)A'F x, a,a, C'E a, xa,a.''()20,A F C Exaa xaa AF CE.（） 解 记 BF=x ，BE y，则x+y=a，三棱锥 B BEF 的体积1 xya2Vax y1 a 3 ,66224当且仅当 xya时，等号成立。2a .因此，三棱锥B BEF 的体积取得最大值时，

4、 BE BF2过 作 BD EF 交 EF 于 D，连 BD，可知 BD EF. BDB 是二面角B EF B 的平面角。在直角三角形BEF 中，直角边 BEBFa , BD 是斜边上的高，2BD2 a,4tgB'DBB' B2 2,BD故二面角 BEF B 的大小为 arctg 22.6、如图，四棱锥 P-ABCD中，侧面 PDC 是边长为2 的正三角形，且与底面垂直，底面是以 ADC 为锐角的菱形。（ 1）试问：当 ADC 为多大时，有PA CD ；（ 2）当 PA CD 时，求面PAB 与面 PCD 所成角的大小。解 :（ 1）如图，过 P 作 PH CD于 H，平面 P

5、CD 平面 ABCD PH平面 ABCD。 AH 是 PA 在平面 ABCD 上的射影，又 PC=PD H为CD中点，当ADC60 时，ACD 为正三角形， AH CD，又 PH平面 ABCD PACD（ 2）过 P 作直线 l / CDAPCDAPl 。PH l 。 APH 为所求二面角的平面角又 PHA 为等腰直角三角形， APH 457、 如图，在长方体 ABCD A 1B1C1D1，中， AD=AA 1=1，AB=2 ，点 E 在棱 AB 上移动。（1）证明： D EA D；11D1C1（ 2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD 1 的距离；B1A1（ 3） AE 等于

6、何值时，二面角 D1ECD 的大小为。解法（一）4DCAEB（ 1）证明： AE平面 AA 1DD 1，A 1DAD 1，A 1DD1 E（ 2）设点 E 到面 ACD 1 的距离为 h，在 ACD 1 中， AC=CD 1= 5 ，AD 1= 2 ，故 S AD1C12 513,而S ACE1AE BC1 .22222VD11S AEC DD11131AEC3S AD1 C h,21h, h.323 A 1（ 3）过 D 作 DHCE 于 H，连 D1H、DE，则 D1HCE， DHD 1 为二面角 D1ECD 的平面角 . 设 AE=x，则BE=2 xA在 Rt D1DH 中,DHD 1,

7、DH 1.4在 Rt ADE 中, DE1x 2 ,在 Rt DHE 中, EH x,D1C1 B 1DCHEB在中3,在中x24x 5.Rt DHC CHRt CBE CEx 3x2时二面角D1EC D的大小为.4x 5 x 2 3. AE 2 3 ,4解法（二）：以 D 为坐标原点，直线DA ， DC，DD 1 分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x，则 A 1（ ， ），1（，），（， ），（ ，1 01 D0 0 1 E 1 x0 A10，0）C（0，2，0）（1）因为DA1, D1E(1,0,1), (1, x, 1)0,所以 DA1D1E.（ 2）因为 E 为 A

8、B 的中点，则 E（1，1，0），zC 1(1,1,1), AC ( 1,2,0)D1从而 D1E，AD1 (1,0,1)，A 1B 1nAC0,D oy设平面 ACD 1 的法向量为 n (a, b,c) ，则CnAD10,AEBx也即a2b0 ，得 a2b ，从而 n(2,1,2) ，所以点 E 到平面 AD 1C 的距离ac0ac为| D1En |2 121h| n |3.3（ 3）设平面D1EC的法向量n ( a, b, c)， CE (1, x2,0), D1C (0,2,1), DD 1(0,0,1),nD1C0,2bc0令 b=1,c=2,a=2 x， n (2x,1,2).由C

9、E0,ab( x 2)0.n依题意cos| n DD1 |222 . x123 （不合，舍去），4| n | | DD1 |2( x 2) 252x2 23 . AE=23 时，二面角1。D EC D 的大小为48、如图，在几何体 ABCDE 中， ABC 是等腰直角三角形， ABC=90 °， BE 和 CD 都垂直于平面 ABC ，且 BE=AB=2 ，CD=1 ，点 F 是 AE 的中点 .（ I）证明： DF平面 ABC ；（ II ）求 AB 与平面 BDF 所成角的大小 .（I ）证明：取AB 的中点G，连 CG， GF，则1GF/BE ，且GF=BE ， GF/CD ，

10、且GF=CD.2四边形FGCD是平行四边形. DF/CG.又 CG平面ABC ， DF平面ABC ， DF/平面 ABC.（ II ）解法一：设 A 到平面 BDF 的距离为 h，由VA BDFS ABF CBVD ABF 得hS BDF在BDF中3,又S ABF1S ABE且, BF2, BD DF5, S BDF21, CB 2.2h1 243.32又设 AB 与平面 BDF 所成的角为，h42sin3AB23故 AB 与平面2BDF 所成角为 arcsin3解法二：以点B 为原点， BA 、 BC 、 BE 所在直线为分别为x 、 y 、 z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则B（ 0，0

11、，0），A（ 2，0， 0）， C（ 0，2， 0）， D（ 0， 2， 1）， E（ 0， 0，2）， F（ 1， 0， 1），BD(0, 2,1) , DF(1, 2,0)设平面 BDF 的一个法向量为n(2, a, b)n DF , n BD n DF 0a1n BD 0，得n (2,1, 2)b2又设 AB 与平面 BDF 所成的角为，则法向量 n 与 BA 所成角为2cos()BA n222BA n，即 sin，故 AB 与平面 BDF 所成角为 arcsin3233作业：1、下列命题正确的是（D）A 直线 a， b 与直线 l 所成角相等，则a/bB 直线 a， b 与平面成相等角

12、，则a/bC平面，与平面所成角均为直二面角，则/D 直线 a， b 在平面外，且a， a b，则 b/ 2 、 木星的体积约是地球体积的24030 倍，则它的表面积约是地球表面积的（C）。A60 倍B 6030 倍C120 倍D 12030 倍3、如图，在三棱锥PABC中， PA=PB=PC=BC，且BAC，则PA 与底面ABC所成角2为。PABC4、己知 m, l 是直线，,是平面，给出下列命题：若 l 垂直于内的两条相交直线，则l；若 l 平行于，则 l 平行于内的所有直线；若 m, l, 且 lm , 则；若 l, 且 l, 则；若 m, l, 且/, 则 m / l 。其中正确命题的序

13、号是. （注把你认为正确的序号都填上）5、正四棱锥S ABCD 中，所有棱长都是2， P 为 SA 的中点，如图（ 1）求二面角 B SC D 的大小；（ 2）如果点 Q 在棱 SC 上，那么直线 BQ 与 PD 能否垂直？请说明理由解：（1）取 SC 的中点 E ，连结 BE ，DESCB与SCD 是正角形BESC, DESC故 BED 是二面角 B SC D 的平面角 ,在 BED 中, cos BEDBE 2DE 2BD 23 3 812BEDE63BED1arccos3故二面角 BSCD 的大小为arccos 13(2)设 ACBD 0,以射线 OA ,OB, OS分别为 ox,oy,

14、oz轴建立空间坐标系设CQx, (如图 ), 则B(0,2,0), D (0,2,0)P( 2 ,0,2),Q(2 x2,0,2 x)2222DP(2 ,2, 2),BQ(2 x2, 2,3 x)2222DPBQx 30(x0,2)BQ 与 PD 不可能垂直 .6、如图，在三棱柱ABC A 1B 1C1 中， AB 侧面 BB 1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C1 的一点， EA EB1，已知 AB=2 ，BB 1=2，BC=1 ， BCC 1=，求：（）异面直线AB 与 EB1 的距离；3（）二面角A EB1 A 1 的平面角的正切值。.解：（ I）以 B 为原点， BB1 、 BA 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系 .由于 BC=1 ， BB 1=2，AB=2 ， BCC1= ，3在三棱柱 ABC A 1B 1C1 中有B（ 0，0，0），A（ 0，0， 2），B1（ 0， 2，0）， C( 3 ,1 ,0),C1 (3,