工力章弯曲内力

1、工程实例工程实例受力特点：力偶或垂力偶或垂直于轴线的外力作用在直于轴线的外力作用在一个通过轴线平面内。一个通过轴线平面内。变形特点：杆件的轴杆件的轴线（力偶或横向力）由线（力偶或横向力）由直线变为曲线。直线变为曲线。弯曲变形梁梁(beam)挠曲线平面弯曲 把以弯曲为主要变形的杆称为梁。载荷把以弯曲为主要变形的杆称为梁。载荷作用在同一平面，并使梁的轴线在该平面内作用在同一平面，并使梁的轴线在该平面内弯曲时称为弯曲时称为平面弯曲平面弯曲。4-4-1 弯曲的概念弯曲的概念工程中的梁横截面一般都是对称的。工程中的梁横截面一般都是对称的。平面弯曲 外载荷作用在纵向对称平面内，外载荷作用在纵向对称平面内，

2、梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线一条平面曲线-挠曲线。挠曲线。PPP纵向对称面纵向对称面挠曲线挠曲线悬臂梁悬臂梁外伸梁外伸梁简支梁简支梁梁的计算简图梁的计算简图:PRARB2l2lABC2aaqP = q aABDRARB4-2 4-2 梁的支座和载荷的简化梁的支座和载荷的简化ql取左侧位研究对象取左侧位研究对象：0:0AYQRAQR 0:0oAMFMR xAMR x1.1.用截面法求内力：用截面法求内力：ARBRlIIxARxoQ剪力剪力(shear force)M弯矩弯矩(Bending moment)4-3 4-3 梁弯曲时横截面上的内力梁弯曲时横

3、截面上的内力剪力和弯矩剪力和弯矩P取右侧位研究对象取右侧位研究对象：BRxl o0:0BYQRBQR ( )0:()0oBMFMRlx()BMR lxARxoQMMQARBRlIIxPIIxII2. 2.内力符号规定内力符号规定： 截面一侧所有竖向分力的代数和截面一侧所有竖向分力的代数和; ; 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。剪力符号:-Q-Q+ +QQ弯矩符号:+ +MM-M-M+Q-Q+ +MM-M-M剪力剪力“左上右下为正”弯矩弯矩: :“左顺右逆为正”2Pa2PaM利用梁弯曲后的形状可以快速判断梁内弯矩的符号利用梁弯曲后的形状可以快速判断梁

4、内弯矩的符号. .例如例如+ +MM-M-Ma2aaPPABCD梁弯曲后的形状梁弯曲后的形状例题例题：简支梁，求：简支梁，求1-1，2-2截面上的内力截面上的内力ARBRm1m1m2Am5 .1m311228PkN2qkN mB（1）求支反力）求支反力RA、RB0,AM42 2 3 8 10BR 5BRkN0 yFRA82 2 + RB =0RA= 7kN（2）求内力）求内力m1kNP 8m5 .1AR1Q1M Q1 = RA8 ； Q1= 1kNM1 = RA1.580.5 ； M1=6.5kN.m2Q2Mm1m1kNP 8mkNq2Am3ARm12Q2MmkNq2Bm1BRKNRQB312

5、2mKNRMB45 . 01212mKNMqPRMA41223222KNQqPRQA3122当内力的方向设正时，当内力的方向设正时，外力的方向和内力的外力的方向和内力的方向相反则取正号方向相反则取正号ARBRm1m1m2Am5 .1m311228PkN2qkN mB亦可取亦可取2-2截面的右侧研究截面的右侧研究剪力方程剪力方程 Q(x):描述剪力沿梁的轴线变化规律的方程描述剪力沿梁的轴线变化规律的方程4-4 4-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图定义域的表示规定定义域的表示规定: Q(x),集中力作用处为开域集中力作用处为开域,其他为闭域其他为闭域. M(

6、x),集中力偶作用处为开域集中力偶作用处为开域,其他为闭域其他为闭域.弯矩方程弯矩方程 M(x):描述弯矩沿梁的轴线变化规律的方程描述弯矩沿梁的轴线变化规律的方程剪力方程的分段规定剪力方程的分段规定:在集中力在集中力(包括约束反力包括约束反力)作用处作用处;在分布载荷在分布载荷(主要是均布载荷主要是均布载荷)的作用起点和终点的作用起点和终点;(1) 剪力方程都要分段剪力方程都要分段,即即:在在不同的定义域不同的定义域内内用不同的方程用不同的方程表示表示.弯矩方程的分段规定弯矩方程的分段规定:与剪力方程的分段规定相同与剪力方程的分段规定相同;在集中力偶在集中力偶(包括约束反力偶包括约束反力偶)作

7、用处作用处;(1) 弯矩方程都要分段弯矩方程都要分段,即即:在在不同的定义域不同的定义域内内用不同的方程用不同的方程表示表示.例题：求梁的剪力方程，弯矩方程；例题：求梁的剪力方程，弯矩方程； 并作并作Q Q、M M 图图。解：解：(1)列列Q、M方程方程( )0,Q xqxxl 2( )0,2qM xxxlqlQ max22maxqlMQ(x)M(x)x(2)作作Q、M图图；8:22qlMlx2:2qlMlxqlQqlM221ql解：（解：（1 1）支反力）支反力2PRRBA2 ,(0,)2AlQRPx2,0, 2AlMR xPxx(2)(2)列列Q Q、M M方程方程例例5-2:作作Q、M

8、图图()2,( , )2BlQ lxRPxl ()2, , 2BM lxRlxP lxlxlPRARB2l2lABCACAC段段Q(x)M(x)xARACAC段段CBCB段段Q(x)M(x)BRlxCBCB段段PRARB2l2lABCQ2P2PM4Pl(3)(3)作作Q Q、M M图图力区力区：能够用一个：能够用一个 方程方程描述内力描述内力 变化的区间。变化的区间。42maxmaxPlMPQ2 ,(0,)2AlQRPx2,0, 2AlMR xPxx()2, , 2BM lxRlxP lxlxlACAC段段CBCB段段()2,( , )2BlQ lxRPxl 解：（1）支反力lmRRBA Q(

9、x)M(x)xAR,(0, )AmQRxll,0, )2AmlMR xx xlQ(x)M(x)BRlx（2）列Q、M方程( , 2BmMRlxlxllxl例例5-4:梁，已知梁，已知Q，L。列。列Q，M方程；画方程；画Q，M图。图。RARB2l2lmABCABAB段段ACAC段段CBCB段段QlmM2m2m2,maxmaxmMlmQ (3) 作Q、M图RARB2l2lmABC,(0, )AmQRxll,0, )2AmlMR xx xl( , 2BmMRlxlxllxlABAB段段ACAC段段CBCB段段RARB例题：简支梁，已知例题：简支梁，已知P，a，b，L.试列试列Q，M方程；画方程；画Q

10、，M图。图。解：求约束反力解：求约束反力=Pb/LPa/L=PabABCLx1x2列列Q方程，画方程，画Q图图 ,(0, ),( , )AAPbQ xRxaLPaQ xRPxa LL 0Qx+Pb/LPa/L列列M方程，画方程，画M图图 ,0, , , APbM xR xx xaLPaM xLxxa LL0MxPab/L+有有P作用处，作用处，Q图有突变图有突变。例题：简支梁，已知例题：简支梁，已知M， a，b，L， 试列试列Q，M方方程；画程；画Q，M图。图。解：求约束反力解：求约束反力abABCLx1x2MoRARBRA=RB=M0/L列列Q方程，画方程，画Q图图 000(0, , , )MACM xx xaLMCBM xxMxa LL段：，段： 0,0, MQ xQ xxLL列列M方程，画方程，画M图图0 xQ0 xMM0/LM0a/LM0b/L+有有M作用处，作用处，M图有突变图有突变解：（解：（1）支反力）支反力2qlRRBA Q(x)M(x)xAR2maxqlQ 82maxqlM qlRARB（2）列）列Q、M方程方程（3）作）作Q、M图图; 8:22qlMlxM8/2ql2lQ2/ql2/ql例题：简支梁，已知例题：简支梁，已知q,L， 试试列列Q，M方程；画方程；画Q，M图。图。 ,(0, )2qlQ xqx xl ,0, 22qlqxM