高数 分部积分法

1、1第三节由导数公式vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu分部积分法 第四四章 (Integration by parts)分部积分公式 formula of integration by parts 3分部积分法常见类型分部积分法常见类型: (1)指数函数或三角函数与多项式的乘积.( )d ,( )sind ,( )cosd .axp x exp xbx xp xbx x例如,(2)对数函数或反三角函数与多项式的乘积.( )ln d ,( )

2、sind ,( )cosd .p xx xp x arcbx xp x arcbx x例如,(3)指数函数与三角函数的乘积.例如,sind ,cosd .axaxebx xebx x解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序,前者为 后者为u.v反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数4例例1. 求.dcosxxx解解: 令,xu ,cosxv 则, 1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考: 如何求?dsin2xxx提示提示: 令,2xu ,sin xv 则原式xx cos2xxxdcos25例例

3、2. 求.dlnxxx解解: 令,ln xu xv 则,1xu 221xv 原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln216例例3. 求.darctanxxx解解: 令,arctan xu xv 则,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(217例例4. 求.darccosxx解解: 令,arccosxu 1 v, 则,211xuxv 原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 218例例5. 求.d

4、coscosln2xxx解解: 令,coslnxu xv2cos1, 则,tan xuxvtan原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxx tan9例例6. 求.dsinxxex解解: 令,sin xu xev , 则,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev , 则,sin xuxev xexsinxxexexxdsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21说明说明: 也可设veux,为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 10例例. 求 与sindaxebx xcos

5、daxebx x11例例7. 求. )0(d22axax解解: 令,22axu, 1 v则,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式 =2221axxCaxxa)(ln2222xaxd2212例例8. 求22d(0).xaxa解解: 令22,uxa, 1 v则22,xxau xv 22xxa222dxxax22x xa22222()dxaaxax22x xa22dxax22d2xxaa 原式 =2212xxa222ln()2axxaC22dxax13 总结总结22dxaxarcsin()xCa22daxx22

6、12x ax2arcsin2axaC221d xxaCaxx)ln(2222dxax2212xxaCaxxa)(ln2222221d xxaCaxx22ln22dxax2212xxa222ln()2axxaC0a 14 有了以上的六个基本积分公式,我们就可以计算以下的 两类不定积分: 方法方法: 配元, 化为标准型, 然后根据上述公式即可得.2d(0)xaaxbxc2d(0)axbxcxa15例例. 求3sec xdx16例例11. 求.dxex解解: 令, tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC令17例例9. 求.)(d22nna

7、xxI解解: 令,)(122naxu, 1 v则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(2218说明说明:递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)

8、(2119例例10. 证明递推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn证证:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cosln20说明说明:分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例例43) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .21例例12. 求.d xI23)1 (2x解法解法1 先换元后分部令,arctanxt 即,tantx 则teIt3se

9、cttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan22xeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法解法2 用分部积分法xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctan23例例13. 已知)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxf

10、d)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明: 此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos224vu内容小结内容小结 分部积分公式xvuvuxvudd1. 使用原则 :xvuvd易求出,易积分2. 使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 前 u 后v3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式4. 计算格式 :vu25练习练习. 求xxId)ln(sin解解: 令,lnxt 则texexttdd,tteItdsintetsintetcosttetettdcossintsinteIttet)cos(sinCtteIt)cos

11、(sin21Cxxx)cos(ln)sin(ln21可用表格法求多次分部积分26uexexuudd,练习练习. 求.d)(ln43xxx解解: 令则原式原式,lnxu ue34uueudueuud444uue434u212uu24240ue441ue4412ue4413ue4414ue4415原式原式 =ue4414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln41234427思考与练习思考与练习1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1, 1dsincosd

12、sincosxxxxxx得 0 = 1答答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .xxsinsindCx sinln282. 求xbxaeIxkd)cos(对比 P370 公式(128) , (129)提示提示:)cos(bxa )sin(bxaa)cos(2bxaaxkek21xkexkek129作业作业 P213 1-2430备用题备用题.1.求不定积分解解：d .1xxxexe 方法1(先分部 , 再换元)d1xxxexe ) 1(d1xxeexx2) 1(dxe12xex21dxex令1,xue则22dd1uxuuuuud122212xex21

13、1u 12xex4(arctan )uuC4414arctan1xxeeC 31方法方法2(先换元,再分部)令1,xue则2ln(1),xu故d1xxxexeuuuuuud12)1ln()1 (222uud)1ln(22)1ln(22uu224d1uuu1)1ln(22uuu4Cu arctan421xx e414arctan1xxeeC 122dd1uxuu322. 求解解: 原式 =1cos(1)sind(1).nnxx xn1(coscossinsin ) sindnnxxnxxx x1coscossinsinsindnnnxxxdxnxx x1cossinsinsindnnnxdxnx

14、x xn11cossinsindcosnnnxxxnxnnsinsinnnxxdx1cossinnnxxCn333. 求解解: 令arctan ,tx则 原式 =4tan(tan )secttdtt24tansecsectttdtt 1sin22ttdt1cos24tdt 11cos2cos244tttdt 11cos2sin248tttC 22211arctan414(1)xxxCxx 2 2arctan d.(1)xx xx34 求下列不定积分：221. tan 11xxdxx12.1 sindxxlntan3.sin cosxdxxx2414.1xdxx4415.sincosdxxx21

15、 ln6.( ln )xdxxx27.1dxxx3522221. tan 1tan 11ln|cos 1|,2111 sin1 sin1cos2.tansec,2221 sin(1 sin )(1 sin )1 sincoscoslntanlntan123.tanlntan(lntan )(lntan )sin costan2xxdxx dxxCxxxdxdxdxdxdxxx Cxxxxxxxxdxdxxdxxxxx,211111114.()4222221212212121()()22222222 arctan2()arctan2(),2222422sectan115.(tan )tan44444sincos1 tant