《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。三维设计2016级数学一轮复习基础讲解直线的倾斜角与斜率、直线的方程第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程知识能否忆起一、直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为0，)_2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_，倾斜角是90°的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式

2、：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.二、直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为kyy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k，纵截距为bykxb不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2，y1y2)不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b0)1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A，B不全为0)小题能否全取1(教材习题改编)直线xym0(mk)的倾斜角为()A30°B60°C150° D120&

3、#176;解析：选C由ktan ，0，)得150°.2(教材习题改编)已知直线l过点P(2,5)，且斜率为，则直线l的方程为()A3x4y140 B3x4y140C4x3y140 D4x3y140解析：选A由y5(x2)，得3x4y140.3过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1 B4C1或3 D1或4解析：选A由1，得m24m，m1.4(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为_解析：kAC1，kABa3.由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4.答案：45若直线l过点(1,2)且与直线2x3y4

4、0垂直，则直线l的方程为_解析：由已知得直线l的斜率为k.所以l的方程为y2(x1)，即3x2y10.答案：3x2y101.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论直线的倾斜角与斜率典题导入例1(1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y()A1B3C0 D2(2)(2012·苏州模拟)直线xcos y20的倾斜角的范围是_自主解答(1)tany2，因此

5、y21.y3.(2)由题知kcos ，故k，结合正切函数的图象，当k时，直线倾斜角，当k时，直线倾斜角，故直线的倾斜角的范围是.答案(1)B(2)由题悟法1求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率ktan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围2求倾斜角时要注意斜率是否存在以题试法1(2012·哈尔滨模拟)函数yasin xbcos x的一条对称轴为x，则直线l：axbyc0的倾斜角为()A45° B60°C120° D135°解析：选D由函数yf(x)asin xbcos x的一条对称轴为x

6、知，f(0)f，即ba，则直线l的斜率为1，故倾斜角为135°.2(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(2，1)若直线l：yk(x2)1与线段AB相交，则k的取值范围是()A. B(，2C(，2 D.解析：选D由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图若l与线段AB相交，则kPAkkPB.kPA2，kPB，2k.直 线 方 程典题导入例2(1)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是_(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x3)2y29的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为_自主解答(1)设所求直线方程为x2ym0，由直线经过点(1,

7、 0)，得1m0，m1.则所求直线方程为x2y10.(2)由题意得，×kMN1，所以kMN2，故弦MN所在直线的方程为y12(x1)，即2xy10.答案(1)x2y10(2)2xy10由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程以题试法3(2012·龙岩调研)已知ABC中，A(1，4)，B(6,6)，C(2,0)求：(1)ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为

8、截距式方程解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线因为线段AB，AC中点坐标分别为，所以这条直线的方程为，整理一般式方程为得6x8y130，截距式方程为1.(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为，即一般式方程为7xy110，截距式方程为1.直线方程的综合应用典题导入例3(2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2xy20与l2：xy30之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程自主解答法一：设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上由题意知则点B(6x，y)，解方程组得则k8.故所求的直线方程为y8(

9、x3)，即8xy240.法二：设所求的直线方程为yk(x3)，点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由解得由解得P(3,0)是线段AB的中点，yAyB0，即0，k28k0，解得k0或k8.若k0，则xA1，xB3，此时3，k0舍去，故所求的直线方程为y8(x3)，即8xy240.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值以题试法4(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点(1)当AOB面积最小时，求直线l的方程；

10、(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程解：(1)设直线l的方程为y1k(x2)(k<0)，A，B(0，12k)，AOB的面积S(12k)(44)4.当且仅当4k，即k时，等号成立故直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.(2)|MA| ，|MB|，|MA|·|MB| ·2 2×24，当且仅当k2，即k1时取等号，故直线方程为xy30.1若k，1，b三个数成等差数列，则直线ykxb必经过定点()A(1，2)B(1,2)C(1,2) D(1，2)解析：选A因为k，1，b三个数成等差数列，所以kb2，即b2k，于是直线方程化为ykxk2

11、，即y2k(x1)，故直线必过定点(1，2)2直线2x11y160关于点P(0,1)对称的直线方程是()A2x11y380 B2x11y380C2x11y380 D2x11y160解析：选B因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x11yC0，由点到直线的距离公式可得，解得C16(舍去)或C38.3(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1l2，直线l2过点(1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A(3,0) B(3,0)C(0，3) D(0,3)解析：选Dl1l2，且l1斜率为2，l2的斜率为2.又l2过(1,1)，l2的方程为

12、y12(x1)，整理即得y2x3.令x0，得P(0,3)4(2013·佛山模拟)直线axbyc0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()Aab0，bc0 Bab0，bc0Cab0，bc0 Dab0，bc0解析：选A由于直线axbyc0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为yx，易知0且0，故ab0，bc0.5将直线y3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为()Ayx Byx1Cy3x3 Dyx1解析：选A将直线y3x绕原点逆时针旋转90°得到直线yx，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y(x1)，即yx.6已知点

13、A(1，2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x2y20，则实数m的值是()A2 B7C3 D1解析：选C线段AB的中点代入直线x2y20中，得m3.7(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是_解析：设直线l的斜率为k，则方程为y2k(x1)，在x轴上的截距为1，令313，解得k1或k.答案：(，1)8(2012·常州模拟)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_解析：直线l过原点时，l的斜率为，直线方程为yx；l不过原点时，设方程为1，将点(2,3)代入，得a1，直线方程为xy

14、1.综上，l的方程为xy10或2y3x0.答案：xy10或3x2y09(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m1)xy2m10恒过定点_解析：把直线方程(m1)xy2m10整理得(x2)m(xy1)0，则得答案：(2,3)10求经过点(2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程解：设所求直线方程为1，由已知可得解得或故直线l的方程为2xy20或x2y20.11(2012·莆田月考)已知两点A(1,2)，B(m,3)(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m，求直线AB的倾斜角的取值范围解：(1)当m1时，直线AB的方程为x1；当m1时，直线AB的方程为

15、y2(x1)(2)当m1时，；当m1时，m1(0， ，k(， ，.综合知，直线AB的倾斜角.12.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解：由题意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在yx上，且A、P、B三点共线得解得m，所以A(， )又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程

16、为(3)x2y30.1若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B由解得两直线交点在第一象限，解得k.直线l的倾斜角的范围是.2(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x2)2(y1)25截得的弦最短时，直线l的方程为_解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC的斜率为1，设直线l的斜率为k，则k×(1)1，得k1，又直线l过点P，所以直线l的方程为xy10.答案：xy10

17、3已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0y012k0对任意kR恒成立，即(x02)ky010恒成立，x020，y010，解得x02，y01，故直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是0，)(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A，B(0,12k)又<0且12k>0，k>0.故S|OA|OB|×(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时，取等号故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.1(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a(1,3)，直线l2的方向向量为b(1，k)若直线l2经过点(0,5)且l1l2，则直线l2的方程为()Ax3y50 Bx3y150Cx3y50 Dx3y150解析：选Bkl13，kl2k，l1l2，k，l2的方程为yx5