第五版电路第八章

1、1第第8 8章章 相量法相量法 复数复数8.1正弦量正弦量8.2相量法的基础相量法的基础8.3电路定律的相量形式电路定律的相量形式8.422.2.正弦量的相量表示正弦量的相量表示3.3.电路定理的相量形式电路定理的相量形式1.1.正弦量的表示、相位差正弦量的表示、相位差本章重点本章重点31.1.复数的表示形式复数的表示形式) 1(j为为虚虚数数单单位位FbReImao|F|bajFeFFj)sin(cos|jbaFj|jFeFFj|eFF 代数式代数式指数式指数式极坐标式极坐标式三角函数式三角函数式8.1 复数复数4几种表示法的关系：几种表示法的关系：ab baFarctan | 22或或si

2、n| cos| F bFa2.2.复数运算复数运算 加减运算加减运算 采用代数式采用代数式FbReImao|F|baFj|jFeFF5则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)若若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2图解法图解法F1F2ReImoF1+F2-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F26 乘除运算乘除运算 采用极坐标式采用极坐标式1122jj()11111j222221122| | | FFFeFeFFFeF|F |F |则则: :2121)( j21j2j121 2121FFeFFeFeFFF模相乘模相乘角相加角相加模相除模相除角相减角相减若若12jj1122,FF e

3、FF e7例例1 ?2510475)226. 4 j063. 9()657. 3 j41. 3(原原式式569. 0 j47.1261. 248.12解解例例2?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 解解2 .126j2 .180原式原式04.1462.203 .56211. 79 .2724.1916.70728. 62 .126j2 .180329. 6 j238. 22 .126j2 .180365 .2255 .132j5 .1828 旋转因子旋转因子复数复数 ej =cos +jsin =1FejFReIm0Fej旋转因子旋转因子9j2sinj2cos ,22jej)2s

4、in(j)2cos(,22je1)sin(j)cos(,je +j, j, -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。特殊特殊旋转因子旋转因子ReIm0FFjFjF注意108.2 正弦量正弦量1.1.正弦量正弦量l瞬时值表达式瞬时值表达式i(t)=Imcos(w t+y)ti0Tl周期周期T 和频率和频率f频率频率f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T ：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：赫单位：赫( (兹兹) )Hz单位：秒单位：秒sTf1正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT )波形波形11 幅值幅值 ( (振幅、最大值振

5、幅、最大值) )Im(2) (2) 角频率角频率2.2.正弦量的三要素正弦量的三要素(3)(3) 初相位初相位yTf22w单位：单位： rad/s ，弧度弧度/ /秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点，常用角度表示。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 i(t)=Imcos(w t+y) 12同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。一般规定一般规定：|y | 。y =0y =/2y =/2iowty注意13例例已知正弦电流波形如图，已知正弦电

6、流波形如图，w103rad/s，1.1.写出写出 i(t) 表达式；表达式；2.2.求最大值发生的时间求最大值发生的时间t1 1tio10050t1解解)10cos(100)(3yttiycos100500t3y由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧3y)310cos(100)(3tti有有最最大大值值当当 310 13tms047. 110331t143.3.同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差设设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i)相位差相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i规定规定：

7、 |j | (180)等于初相位之差等于初相位之差lj 0， u超前超前i j 角角，或或i 滞后滞后 u j 角角, (u 比比 i 先先到达最大值到达最大值) )；15w tu, iu iyuyijol j 0， i 超前超前 u j 角，或角，或u 滞后滞后 i j 角角, i 比比 u 先先 到达最大值）。到达最大值）。16j 0， 同相同相j = (180o ) ，反相反相特殊相位关系特殊相位关系w tu iow tu iow tu io同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。j /2, u 领先领先 i /2 17例例计算下列两正弦量的相位差。计

8、算下列两正弦量的相位差。)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(0201ttitti)2 100cos(10)( )43 100cos(10)( ) 1 (21ttitti)45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3(0201ttuttu)30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201ttitti解解045)2(43j43245j000135)105(30j)105100cos(10)(02tti不能比较相位差不能比较相位差21ww000120)150(30j)150100cos(3)(02tti两个正弦量两个正弦

9、量进行相位比进行相位比较时应满足较时应满足同频率、同同频率、同函数、同符函数、同符号，且在主号，且在主值范围比较。值范围比较。 结论184.4.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果了衡量其平均效果, ,工程上采用有效值来表示。工程上采用有效值来表示。l周期电流、电压有效值定义周期电流、电压有效值定义ttiRWTd)(20TRIW2物物理理意意义义R直流直流IR交流交流 i19TttiTI02defd)(1均方根值均方根值定义电压有效值：定义电压有效值：TttuTU02defd)(1l 正弦

10、电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos(w t+y)2022m01cos ( ) dTIIttTwy20001 cos2( ) cos ( ) dd211 22TTTtttttTwywymm2m707. 0221 IITITIm( )cos( )2 cos( )i tItItwywyII2 m21同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm或或若交流电压有效值为若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V 其最大值为其最大值为 Um311V Um537V注意工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如工程上说

11、的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。压水平时应按最大值考虑。22 测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。数一般为有效值。 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。符号。UUuIIi, ,mm238.3 相量法的基础相量法的基础1.1.问题的提出问题的提出电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：两个正

12、弦量的相加：如两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：方程运算：2CCC2dd( )dduuLCRCuu ttt) cos(2111ywtIi) cos(2222ywtIiRLC+-uCiLu+-24i1i1+i2 i3i2ww w角频率角频率I1 I2I3有效值有效值初相位初相位1y2y3yw tu, ii1 i2oi3结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用所以，只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量正弦量复数复数变换的思想变换的思想25造一个复函数造一个复函数j()( )2tF tIewy对对 F(t) 取实

13、部取实部Re ( )2 cos( )( )F tIti twy任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。数。j( )2 cos( ) ( )2tiItF tIewywy2 cos( )j 2 sin( )ItItwywy无物理意义无物理意义是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义有物理意义3.3.正弦量的相量表示正弦量的相量表示结论26F(t) 还可以写成还可以写成jjj( )22ttF tIeeIeyww复常数复常数正弦量对正弦量对应的相量应的相量( )2 cos( ) i tItIIwyy 相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相

14、量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位注意F(t) 包含了三要素包含了三要素：I、 、w，复常数包含了两个要素：复常数包含了两个要素：I , 。yy27( )2cos( ) u tUtUU w=+=&同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例1 1试用相量表示试用相量表示i, u . .oo141.4cos(31430 )A311.1cos(31460 )Vitut解解oo100 30 A, 22060 VIU= -&例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解A )15314cos(250ti 5

15、0 15 A, 50HzIf=o&已已知知28在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图( )2 cos()i tItIIyy UUtUtu) cos(2)(wl 相量图相量图UI+1+jy294.4.相量法的应用相量法的应用 同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减j 1111j 2222( )2cos( )Re( 2)( )2cos( )Re( 2)ttu tUtU eu tUtU ewwwywyjj1212jjj1212( ) ( )( )Re( 2)Re( 2) Re( 22)Re( 2()tttttu tu tu tU eU eU eU eUUewwwwwU21UU

16、U相量关系为：相量关系为：结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。的加减运算。30i1 i2 = i3321 III例例V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21ttuttuV604 V 306o2o1UUV )9 .41314cos(264. 9)()()( o21ttututu60430621UUU46. 3 j23 j19. 546. 6 j19. 7V 9 .4164. 9o31借助相量图计算借助相量图计算+1+j301U602U9 .41U首尾相接首尾相接V604 V 306o2o1UU+1+j9 .41U602U

17、301U32 正弦量的微分、积分运算正弦量的微分、积分运算 ) cos(2iiIItIiyyw j2Re 2Redddd j jtteIe IttiwwwtteIte Iti j jj2Re d 2Redwww微分运算微分运算 积分运算积分运算2 jddiIItiyww2 jdiIItiyww33 ) cos(2)(itItiyw d1dd)(tiCtiLRitu用相量运算：用相量运算： jjCIILIRUww 把时域问题变为复数问题；把时域问题变为复数问题； 把微积分方程的运算变为复数方程运算；把微积分方程的运算变为复数方程运算； 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。可以把直流电路的分

18、析方法直接用于交流电路。相量法的优点例例Ri(t)u(t)L+-C34 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。线性电路。相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域正弦波形图正弦波形图相量图相量图注意不不适适用用线线性性线线性性w1w2非非线性线性w351 1. .基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 0)(ti同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和和KVL可用相应的相量

19、形式表示：可用相应的相量形式表示： 流入某一结点的所有正弦电流用相量表示流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足相量表示时仍满足KVL。0 2Re)( j21teIItiw 0I 0)(tu 0U表明8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式362 2. .电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式时域形式：时域形式：相量形式相量形式：R iiIIURIyy 相量模型相量模型 ( )2 cos()ii tItwyR ( )( )2cos()iutRi tRItwy有效值关系有效值关系相位关系相位关系

20、UR相量关系：相量关系：IRURuyUR=R IuiyyRuR(t)i(t)+-R+-RUI37瞬时功率瞬时功率iupRR 波形图及相量图波形图及相量图 iw touRpRURI 瞬时功率以瞬时功率以2w交变，始终大于零，表明电阻交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率始终吸收功率2R22 cos ()iUItyR1cos2()iU Ity同同相相位位RUIuiyy38时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：) cos(2)( itItiwLd ( )( )2sin()d 2 cos()2iii tutLLIttLItwwywwy 相量模型相量模型相量关系：相量关系：LLjjUL IX Iw3

21、3. .电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式L 2iiIIULIywy 有效值关系有效值关系： U=w L I相位关系：相位关系： +90uiyyi(t)uL(t)L+-jw L+-LUI39感抗的性质感抗的性质 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力； 感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。wXL相量表达式相量表达式XL=wL=2fL，称为感抗，单位为称为感抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )BL=1/w L =1/2fL， 称为称为感纳，单位为感纳，单位为 S 感抗和感纳感抗和感纳Ljj, UX ILIwLL0, 0, ;, , XXww 开路( (直直流流) )短短路路; ;L11jjj

22、IB UUULL wwww40瞬时瞬时功率功率LLLmmL cos()sin( ) sin2( )iiipu iUIttU Itwywywyw t iouLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2w交变，有正有负，一周期内刚交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。好互相抵消，表明电感只储能不耗能。波形图及相量图波形图及相量图电压超前电压超前电流电流90900 0LUIiy41时域形式：时域形式：相量形式：相量形式： ( )2cos()uu tUtwyCd ( )( )2sin( )d 2cos( )2uuu titCCUttCUtwwywwy 相量模型相量模型iC(t)u(t)C+-

23、C I U+- -Cj1相量关系：相量关系：C1jjUIX IC w w4 4. .电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式 C 2ywyuuUUICU有效值关系：有效值关系：相位关系：相位关系： 90uiyy1UICw42XC=1/w C， 称为容抗，单位为称为容抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )B C = w C， 称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S 容抗和频率成反比容抗和频率成反比 0， XC 直流开路直流开路( (隔直隔直) ) w ，XC0 高频短路高频短路wXC容抗与容纳容抗与容纳相量表达式相量表达式CC1jj jjUXIICIBUCUwwC1 jj UX IICw w 43瞬时

24、功率瞬时功率CCCC2cos()sin() sin2()uuupuiUIttUItyyyw t iCoupC 瞬时功率以瞬时功率以2w交变，有正有负，一周期交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。表明电容只储能不耗能。波形图及相量图波形图及相量图电流超前电流超前电压电压9002UCIuy44 j . 5CCCIUw例例1 试判断下列表达式的正、误。试判断下列表达式的正、误。Liu . 1w005 cos5 . 2tiwmm j . 3CUIwLLL . 4IUXLL j . 6ILUwtiCudd . 7UImUmmIUIUCwj1L45例例2)(:),5c

25、os(2120)( titt u求求已已知知解解00120ULjj4 5j20X C1jjj105 0.02X 相量模型相量模型Uj20-j101I2I3I+_15I+_15u4H0.02Fi46011112015j20j108j6j128j610 36.9 A A)9 .365cos(210)( 0tt i123LCjjUUUIIIIRXXUj20-j101I2I3I+_15I47例例360S 5 2cos 1015( )(),:( )i ttu t已已知知求求解解0155IC661jjj5100.2 10X V3022545251555 j51550000CRSUUUR,UICU相量模型相量模型SUiuS0.2F+_5+_5I-j5U48例例4? ,V78 ,V50 BCAC