南理工高等数学下第8章 多元函数微分法及其应用8-习题课

1、平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念1 1、区域、区域 设设),(000yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxP距

2、离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，称为点的全体，称为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU，（1）邻域）邻域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2）区域）区域（3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点.（4）n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数

3、数组组),(21nxxx的的全全体体为为n维维空空间间，而而每每个个n元元数数组组),(21nxxx称称为为n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标. 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP ).(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. .2 2、多元函数概念、多元函数概念定义定义当当2 n时，时，n元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以

4、上函数类似地可定义三元及三元以上函数定义定义 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为,D),(000yxP是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在，总存在正 数正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称A为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf这里这里|0PP ）. .3 3、多元函数的极限、

5、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4 4、极限的运算、极限的运算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则则时，时，设设5 5、多元函数的连续性、多元函数的连续性定义定义 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是是其聚点且其聚点且DP 0，如果，如果)()(

6、lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续. . 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点. 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次于这两值之间的任何值至少一次（1）最大

7、值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理6 6、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻的某一邻域内有定义，当域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x处有增量处有增量x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则称存在，则称此极限为函数此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对x的的偏导数，记为偏导数，记为7 7、偏导数概念、偏导数概念同理可定义函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点

8、),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的偏导数，的偏导数， 记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义

9、函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.、高阶偏导数、高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz ，其中，其中 A,B 不依赖于不

10、依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分，记为全微分，记为dz，即，即 dz=yBxA .、全微分概念、全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导1010、全微分的应用、全微分的应用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小时时当当,yx 主要方面主要方面:近似计算与

11、误差估计近似计算与误差估计.1111、复合函数求导法则、复合函数求导法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导具有连续偏导数，则复合函数数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有

12、连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .1212、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz .0),()1( yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0)

13、,(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式1313、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方

14、程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxF、),(vuyxG在在点点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且偏导数，且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ，且偏

15、导数所组成的函数行列式，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（或称雅可比式）式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),(在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFG

16、GFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 1414、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(000000 zztyytxxt (1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx ()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线. 0),(: zyxF 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyy

17、zyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 1515、方向导数、方向导数.),(),(lim0 yxfyyxxflf 的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为记为定理如果函数定理如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP是可微分是可微分的，那末函数在该点沿任意方向的，那

18、末函数在该点沿任意方向 L L 的方向导数都的方向导数都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 为为x轴到方向轴到方向 L L 的转角的转角.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义（ 其中其中222)()()(zyx ）定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxg

19、radfjyfixf .梯度的概念梯度的概念 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方而它的模为方向导数的最大值梯度的模为向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系1616、多元函数的极值、多元函数的极值 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),(00yx的的点点),(yx：若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函

20、数数在在),(00yx有有 极极 大大 值值 ； 若若 满满 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极小小值值；定义定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件

21、 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值， 当当0 A时有极大值，时

22、有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值. .求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可

23、能能极极值值点点，先先构构造造函函数数),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 为为某某一一常常数数，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值二、典型例题二、典型例题例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求极限求极限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等价于等价于则则yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0

24、)(lim2200 yxxxyyx故故例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 例例3 3解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数设设

25、 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显然显然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例4 4解解., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu试求试求且且所确定所确定由方程组由方程组设函数设函数 的的函函数数都都看看成成是是以以及及将将方方程程组组的的变变元元xzyu,得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x

26、)3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入解解?,),(0000222222模模此方向导数等于梯度的此方向导数等于梯度的具有什么关系时具有什么关系时的方向导数，问的方向导数，问的向径的向径处沿点处沿点在点在点求求cbarzyxMczbyaxu 例例5 5 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 处的方向导数为处的方向导数为在点在点 M

27、 coscoscos0MMMMzuyuxuru 002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 处的梯度为处的梯度为在点在点 MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax ,2424242000czbyaxgraduM ,时时当当cba ,22222000zyxagraduM ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ,0MMgraduru .,模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的相相等等时时故故当当cba之间的最短距离

28、之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz例例6 6解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此

29、方程组得解此方程组得得得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(一、一、 选择题选择题: :1 1、 二元函数二元函数22221arcsin4lnyxyxz 的定义的定义 域是域是( ).( ). （A A）4122 yx； （B B）4122 yx； （C C）4122 yx； （D D）4122 yx. . 2 2、设、设2)(),(yxyxxyf , ,则则 ),(yxf( ).( ). （A A）22)

30、1(yyx ； （B B） 2)1(yyx ； （C C） 22)1(xxy ； （D D） 2)1(yxy . .测测 验验 题题 3 3、 22)(lim2200yxyxyx( ).( ). (A) 0 (A) 0 ； (B) 1 (B) 1 ； (C) 2 (C) 2 ； (D) (D) e . . 4 4、函数、函数),(yxf在点在点),(00yx处连续处连续, ,且两个偏导数且两个偏导数 ),(),(0000yxfyxfyx存在是存在是),(yxf在该点可微在该点可微 的的( ).( ). （A A）充分条件）充分条件, ,但不是必要条件；但不是必要条件； （B B）必要条件）必要

31、条件, ,但不是充分条件；但不是充分条件； （C C）充分必要条件；）充分必要条件； （D D）既不是充分条件）既不是充分条件, ,也不是必要条件也不是必要条件. . 5 5、设、设),(yxf 0, 00,1sin)(22222222yxyxyxyx 则在原点则在原点)0 , 0(处处),(yxf( ).( ). (A) (A)偏导数不存在；偏导数不存在； (B) (B)不可微；不可微； (C) (C)偏导数存在且连续；偏导数存在且连续； (D) (D)可微可微 . . 6 6、设、设),(),(yxvvvxfz 其中其中vf ,具有二阶连续偏具有二阶连续偏 导数导数. .则则 22yz(

32、).( ). (A) (A)222yvvfyvyvf ； (B) (B)22yvvf ； (C) (C)22222)(yvvfyvvf ； (D) (D)2222yvvfyvvf . . 7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面与三个坐标面所围的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积成的四面体的体积 V=( ).V=( ). (A) (A) 323a； (B) (B) 33a； (C) (C) 329a； (D) (D) 36a. . 8 8、二元函数、二元函数33)(3yxyxz 的极值点是的极值点是( ).( ). (A) (1,2) (A) (1,2)； (B) (1.-2 (B

33、) (1.-2 ) )； (C) (-1,2) (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). (D) (-1,-1). 9 9、函数、函数zyxusinsinsin 满足满足 )0, 0, 0(2 zyxzyx 的条件极值是的条件极值是 ( ).( ). (A) 1 (A) 1 ； (B) 0 (B) 0 ； (C) (C) 61 ； (D) (D) 81 . . 10 10、设函数、设函数),(),(yxvvyxuu 在点在点),(yx的某邻的某邻 域内可微分域内可微分, ,则则 在点在点),(yx处有处有 )(uvgrad( ).( ). .)(;)(;)(;)(graduvDgradvuCgraduvgradvuBgradvgraduA 二、讨论函数二、讨论函数33yxyxz 的连续性，并指出间断点类型的连续性，并指出间断点类型. .三、求下列函数的一阶偏导数三、求下列函数的一阶偏导数: : 1 1、yxzln ； 2 2、),(),(yxzxyzxyxfu ； 3 3、 000),(2222222yxyxyxyxyx