第八章假设检验

1、第八章 假设检验假设检验的基本问题假设检验的基本问题 一个总体参数的检验一个总体参数的检验两个总体参数的检验两个总体参数的检验学习目标l假设检验的基本思想和原理假设检验的基本思想和原理 l假设检验的步骤假设检验的步骤l一个总体参数的检验一个总体参数的检验l两个总体参数的检验两个总体参数的检验lP值的计算与应用值的计算与应用l用用Excel进行检验进行检验正常人的平均体温是37oC吗？ 当问起健康的成年人体温是多少时，多数人 的 回 答 是37oC，这似乎已经成了一种共识。下面是一个研究人员测量的50个健康成年人的体温数据 37.136.936.937.136.436.936.636.236.7

2、36.937.636.737.336.936.436.137.136.636.536.737.136.236.337.536.937.036.736.937.037.136.637.236.436.637.336.137.137.036.636.936.737.236.337.136.736.837.037.036.137.0正常人的平均体温是37oC吗？ 根据样本数据计算的平均值是36.8oC ，标准差为0.36oC 根据参数估计方法得到的健康成年人平均体温的95%的置信区间为(36.7，36.9)。研究人员发现这个区间内并没有包括37oC 因此提出“不应该再把37oC作为正常人体温的一个有

3、任何特定意义的概念”我们应该放弃“正常人的平均体温是37oC”这个共识吗？本章的内容就将提供一套标准统计程序来检验这样的观点假设检验怎样提出假设？什么是假设?(hypothesis)v 在参数检验中，对总体参数的具体数值所作的陈述就一个总体而言，总体参数包括总体均值总体均值、成成数数、方差方差等分析之前之前必需陈述什么是假设检验? (hypothesis test)v先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的统计方法v有参数检验和非参数检验v逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理小概率是在一次试验中，一个几乎不可能发生的事件发生的概率在一次试验中小概率事件一旦

4、发生，我们就有理由拒绝原假设原假设(null hypothesis)v又称“0假设”，研究者想收集证据予以反对的假设，用H0表示v所表达的含义总是指参数没有变化或变量之间没参数没有变化或变量之间没有关系有关系 v最初被假设是成立的，之后根据样本数据确定是否有足够的证据拒绝它 v总是有符号 , 或 H0 ： = 某一数值H0 ： 某一数值H0 ： 某一数值l例如, H0 ： 10cmv也称“研究假设”,研究者想收集证据予以支持的假设(期望出现的结论作为备选假设)，用H1或Ha表示v所表达的含义是总体参数发生了变化或变量之间有某种关系v备择假设通常用于表达研究者研究者自己倾向于支持的看法，然后就是

5、想办法收集证据拒绝原假设，以支持备择假设 v总是有符号 , 或 H1 ： 某一数值H1 ： 某一数值H1 ： 临界值，拒绝H0左侧检验：统计量 临界值，拒绝H0什么是P 值?(P-value)v是一个概率值v如果原假设为真，P-值是抽样分布中大于或小于样本统计量的概率左侧检验时，P-值为曲线上方小于等于小于等于检验统计量部分的面积右侧检验时，P-值为曲线上方大于等于大于等于检验统计量部分的面积v被称为观察到的(或实测的)显著性水平H0 能被拒绝的最小值双侧检验的P 值左侧检验的P 值右侧检验的P 值利用 P 值进行检验(决策准则)v单侧检验若p-值 ,不拒绝 H0若p-值 , 拒绝 H0v双侧

6、检验若p-值 /2, 不拒绝 H0若p-值 ”或“”的假设检验，称为单侧检验或单尾检验(one-tailed test)备择假设的方向为“”，称为右侧检验右侧检验 双侧检验与单侧检验 (假设的形式)假设假设研究的问题研究的问题双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验H0 = 0 0 0 0 0 0H1 0 0 0 0双侧检验(原假设与备择假设的确定)v属于决策中的假设检验决策中的假设检验v不论是拒绝H0还是不拒绝H0，都必需采取相应的行动措施v例如，某种零件的尺寸，要求其平均长度为10cm，大于或小于10cm均属于不合格我们想要证明(检验)大于或小于这两种可能性中的任何一种是否成立v建

7、立的原假设与备择假设应为v H0: 10 H1: 10双侧检验(显著性水平与拒绝域 ) /2 单侧检验(显著性水平与拒绝域)3)显著性水平和拒绝域(右侧检验 ) H0 : : 0 0 H1 : : 0 0P 值决策与统计量的比较陈述原假设和备择假设陈述原假设和备择假设从所研究的总体中抽出一个随机样本从所研究的总体中抽出一个随机样本确定一个适当的检验统计量，并利用样本数据确定一个适当的检验统计量，并利用样本数据算出其具体数值算出其具体数值确定一个适当的显著性水平，并计算出其临界确定一个适当的显著性水平，并计算出其临界值，指定拒绝域值，指定拒绝域将统计量的值与临界值进行比较，作出决策将统计量的值与

8、临界值进行比较，作出决策n统计量的值落在拒绝域，拒绝统计量的值落在拒绝域，拒绝H0，否则不拒绝，否则不拒绝H0n也可以直接利用也可以直接利用P值值作出决策作出决策总体均值的检验总体均值的检验 (2 已知或2未知大样本)v1.假定条件总体服从正态分布若不服从正态分布, 可用正态分布来近似(n30)v使用Z-统计量2 已知：2.2 未知：) 1 , 0(0NnXZ) 1 , 0(0NnSXZ总体均值检验总体均值检验(大大样本检验方法的总结样本检验方法的总结)假设假设双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0 ： =0H1 ： 0H0 ： 0H1 ： 0统计量统计量 已知：

9、 未知：拒绝域拒绝域P值决策值决策拒绝H0nxz0nsxz02/zz zzzz P总结总结2 已知均值的检验(例题分析)v【例例】某机床厂加工一种零件，根据经验知道，该厂加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为0=0.081mm，总体标准差为= 0.025 。今换一种新机床进行加工，抽取n=200个零件进行检验，得到的椭圆度为0.076mm。试问新机床加工零件的椭圆度的均值与以前有无显著差异？（0.05）2 已知均值的检验 (例题分析)vH0: = 0.081vH1: 0.081v = 0.05vn = 200v临界值临界值(s):83. 2200025. 0081. 0076. 00n

10、xz总体均值的检验( 2 已知)(例题分析大样本)v【例例】一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了40罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性水平=0.05 ，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求？总体均值的检验( 2 已知)(例题分析大样本)vH0 ： = 255vH1 ： 255v = 0.05vn = 40v临界值临界值(c):01. 14052558 .2550nxz总体均值的检验( 2 未知) (例题分析大样本)v【例例】一种机床加工的零件尺 寸 绝 对 平 均 误 差

11、为1.35mm。生产厂家现采用一种新的机床进行加工以期进一步降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。利用这些样本数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低？ (=0.01) 50个零件尺寸的误差数据个零件尺寸的误差数据 (mm)1.261.191.310.971.811.130.961.061.000.940.981.101.121.031.161.121.120.951.021.131.230.741.500.500.590.991.451.241.012.031.981.970.911.221.0

12、61.111.541.081.101.641.702.371.381.601.261.171.121.230.820.86总体均值的检验(例题分析大样本)vH0 ： 1.35vH1 ： 5200v = 0.05vn = 36v临界值临界值(c):75. 33612052005275z总体均值的检验(z检验) (P 值的图示)2 未知大样本均值的检验 (例题分析)v【例例】某电子元件批量生产的质量标准为平均使用寿命1200小时。某厂宣称他们采用一种新工艺生产的元件质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取了100件作为样本，测得平均使用寿命1245小时，标准差300小时。能否说该厂生产的电子元

13、件质量显著地高于规定标准？ (0.05)2 未知大样本均值的检验 (例题分析)vH0: 1200vH1: 1200v = 0.05vn = 100v临界值临界值(s):5 . 1100300120012450nxz总体均值的检验 (小样本)v1.假定条件总体服从正态分布小样本(n 30)v检验统计量 2 已知：2. 2 未知：) 1 , 0(0Nnxz) 1(0ntnsxt总体均值的检验总体均值的检验 (小样本检验方法的总结)假设假设双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0 ： =0H1 ： 0H0 ： 0H1 ： 0统计量统计量 已知： 未知：拒绝域拒绝域P值决策

14、值决策拒绝H0nxz0nsxt0) 1(2/ntt) 1( ntt) 1( nttP总结2 已知均值的检验 (小样本例题分析)v【例例】根据过去大量资料，某厂生产的灯泡的使用寿命服从正态分布N(1020，1002)。现从最近生产的一批产品中随机抽取16只，测得样本平均寿命为1080小时。试在0.05的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高？(0.05)2 已知均值的检验 (小样本例题分析)vH0: 1020vH1: 1020v = 0.05vn = 16v临界值临界值(s):4 . 216100102010800nxz总体均值的检验 (2未知小样本)v1. 假定条件总体为正态分布2未

15、知，且小样本v2. 使用t 统计量) 1(0ntnSXt2 未知小样本均值的检验 (例题分析)v【例例】某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂为样本，测得平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试以0.05的显著性水平检验机器性能良好的假设。 2 未知小样本均值的检验 (例题分析)vH0: = 5vH1: 5v = 0.05vdf = 10 - 1 = 9v临界值临界值(s):16. 3103 . 053 . 50nsxt一个总体均值的检验(作出判断) 是否已是否已知知样本量样本量n 是否已是否已知知 t 检验检验nsxt0z 检验检验nsxz0z 检验

16、检验 nxz0z 检验检验nxz0练习v1.某电子元件批量生产的质量标准为平均使用寿命1200小时，标准差为150小时。某厂宣称他们采用一种新工艺生产的元件质量大大超过规定标准。为了进行验证，随即抽取了20件作为样本，测得平均使用寿命1245小时，能否说明该厂的元件质量显著地高于规定标准？（ 给定显著性水平 =0.05）练习v某批发商欲从厂家购进一批灯泡，根据合同规定灯泡的使用寿命平均不能低于1000小时。已知灯泡燃烧寿命服从正态分布，标准差为200小时。在总体中随机抽取了100个灯泡，得知样本均值为960小时，批发商是否应该买这批灯泡？（ 给定显著性水平 =0.05） 某地区小麦的一般生产水

17、平为亩产250公斤，其标准差为30公斤。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果，平均产量为270公斤。问这种化肥是否使小麦明显增产？ (=0.05)总体比例的检验总体成数检验v假定条件总体服从二项分布可用正态分布来近似(大样本)v检验的 z 统计量) 1 , 0()1 (000Nnpz总体成数的检验总体成数的检验(检验方法的总结检验方法的总结)假设假设双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0： = 0H1： 0H0 ： 0H1 ： 0统计量统计量拒绝域拒绝域P值决策值决策拒绝H0P2/zz npz)1(000zzzz 一个总体比例的检验 (例题分析)v【例例】一

18、项统计结果声称，某市老年人口（年龄在65岁以上）的比重为14.7%，该市老年人口研究会为了检验该项统计是否可靠，随机抽选了400名居民，发现其中有57人年龄在65岁以上。调查结果是否支持该市老年人口比重为14.7%的看法？( = 0.05)一个总体比例的检验 (例题分析)vH0: = 14.7%vH1: 14.7%v = 0.05vn = 400v临界值临界值(s):254. 0400)147. 01 (147. 0147. 01425. 0z总体成数的检验 (练习)v【例例】一种以休闲和娱乐为主题的杂志，声称其读者群中有80%为女性。为验证这一说法是否属实，某研究部门抽取了由200人组成的一

19、个随机样本，发现有146个女性经常阅读该杂志。分别取显著性水平 =0.05和 =0.01 ，检验该杂志读者群中女性的成数是否为80%？它们的P值各是多少？总体成数的检验 (例题分析)vH0 ： = 80%vH1 ： 80%v = 0.05vn = 200v临界值临界值(c):475. 2200)80. 01 (80. 080. 073. 0z总体成数的检验 (分析)vH0 ： = 80%vH1 ： 80%v = 0.01vn = 200v临界值临界值(c):475. 2200)80. 01 (80. 080. 073. 0z总体方差的检验总体方差的检验 ( 2检验) v检验一个总体的方差或标准

20、差v假设总体近似服从正态分布v使用 2分布v检验统计量) 1() 1(22022nsn总体方差的检验总体方差的检验(检验方法的总结检验方法的总结)假设假设双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0 ： 2= 02 H1 ： 2 02H0 ： 2 02 H1 ： 2 02统计量统计量拒绝域拒绝域P值决策值决策 拒绝H0P2022) 1(sn ) 1(2212n) 1(222n) 1(22 n) 1(212n方差的卡方 (2) 检验(例题分析)v【例例】某厂商生产出一种新型的饮料装瓶机器，按设计要求，该机器装一瓶一升(1000cm3)的饮料误差上下不超过1cm3。如果达到

21、设计要求，表明机器的稳定性非常好。现从该机器装完的产品中随机抽取25瓶，分别进行测定(用样本减1000cm3)，得到如下结果。检验该机器的性能是否达到设计要求 ( =0.05)0.3-0.4 -0.71.4-0.6-0.3 -1.50.6-0.91.3-1.30.71-0.50-0.60.7-1.5 -0.2 -1.9-0.51-0.2 -0.61.1方差的卡方 (2) 检验(例题分析)vH0: 2 = 1vH1: 2 1v = 0.05vdf = 25 - 1 = 24v临界值临界值(s):8 .201866. 0) 125() 1(2022sn总体方差的检验(习题)v【例例】啤酒生产企业采

22、用自动生产线灌装啤酒，每瓶的装填量为640ml，但由于受某些不可控因素的影响，每瓶的装填量会有差异。此时，不仅每瓶的平均装填量很重要，装填量的方差同样很重要。如果方差很大，会出现装填量太多或太少的情况，这样要么生产企业不划算，要么消费者不满意。假定生产标准规定每瓶装填量的标准差不应超过4ml。企业质检部门抽取了10瓶啤酒进行检验，得到的样本标准差为s=3.8ml。试以0.05的显著性水平检验装填量的标准差是否符合要求？总体方差的检验(例题分析)vH0 ： 2 42vH1 ： 2 42v = 0.10vdf = 10 - 1 = 9v临界值临界值(s):1225. 848 . 3) 110(22

23、2练习v某厂商生产出一种新型的饮料装瓶机器，按设计要求，该机器装一瓶1000ml的饮料误差上下不超过1ml。如果达到设计要求，表明机器的稳定性非常好。现从该机器装完的产品中随机抽取25瓶进行检验，得到的样本标准差为s=0.9ml，试以 =0.05的显著性水平检验该机器的性能是否达到设计要求。假设检验两个正态总体参数的检验两个总体的检验两个总体的检验Z 检验检验(大样本大样本)t 检验检验(小样本小样本)t 检验检验(小样本小样本)Z 检验检验F 检验检验均值均值比例比例方差方差两个总体均值之差的检验两个总体均值之差的检验 (独立大样本)v1.假定条件两个样本是独立的随机样本正态总体或非正态总体

24、大样本(n130和 n230)v检验统计量 12 ， 22 已知：2. 12 ， 22 未知：) 1 , 0()()(2221212121Nnnxxz) 1 , 0()()(2221212121Nnsnsxxz两个总体均值之差的检验 (假设的形式)假设假设研究的问题研究的问题没有差异没有差异有差异有差异均值均值1 1 均值均值2 2均值均值1 1 均值均值2 2H0 1 2 = 0 1 2 0 1 2 0H1 1 2 0 1 2 0两个总体均值之差的检验 (例题分析)v 两个总体均值之差的检验 (例题分析)vH0: 1 1- 2 2 = 0vH1: 1 1- 2 2 0v = 0.05vn1

25、= 32，n2 = 40v临界值临界值(s):83. 240100326404450)()(2221212121nnxxz两个总体均值之差的检验 (练习独立大样本) 两个样本的有关数据两个样本的有关数据 男性职员男性职员女性职员女性职员n1=44n2=32x1=75x2=70S12=64 S22=42.25两个总体均值之差的检验 (分析独立大样本)vH0 ： 1- 2 = 0vH1 ： 1- 2 0v = 0.05vn1 = 44，n2 = 32v临界值临界值(c):002. 33225.4244647075z两个总体均值之差的检验 (独立小样本： 12， 22 已知)v假定条件两个独立的小样

26、本两个总体都是正态分布 12， 22已知v检验统计量) 1 , 0()()(2221212121Nnnxxz两个总体均值之差的检验 (独立小样本：12，22 未知但12=22)21212111)()(nnsxxtp2) 1() 1(212222112nnsnsnsp221nn两个总体均值之差的检验 (独立小样本：12，22 未知且不等1222)v假定条件两个总体都是正态分布12，22未知且不相等，即1222样本量不相等，即n1n2v检验统计量2221212121)()(nsnsxxt(1122222121212222121nnsnnsnsnsv两个总体均值之差的检验 (例题分析独立小样本，12

27、=22)两台机床加工零件的样本数据两台机床加工零件的样本数据 (cm)甲甲20.519.819.720.420.120.019.019.9乙乙20.719.819.520.820.419.620.2两个总体均值之差的检验 (例题分析12=22)vH0 ： 1- 2 = 0vH1 ： 1- 2 0v = 0.05vn1 = 8，n2 = 7v临界值临界值(c):855. 0/1/1)(2121nnsxxtp两个总体均值之差的检验(方法总结)均值差检验均值差检验独立样本独立样本匹配样本匹配样本大样本大样本小样本小样本小样本小样本 1 12 2、 2 22 2已知已知 1 12 2、 2 22 2未

28、知未知 1 12 2、 2 22 2已知已知 1 12 2、 2 22 2未知未知Z Z 检验检验Z Z 检验检验Z Z 检验检验t t 检验检验 1 12 2= = 2 22 2 1 12 2 2 22 2t t 检验检验n1 1= =n2 2n1 1n2 2t t 检验检验t t 检验检验两个总体比例之差的检验v1.假定条件两个总体是独立的两个总体都服从二项分布可以用正态分布来近似2.检验统计量两个总体比例之差的Z检验) 1 , 0()1 ()1 ()()(2221112121NnPPnPPPPZ两个总体比例之差的检验(假设的形式)假设假设研究的问题研究的问题没有差异没有差异有差异有差异比

29、例比例1 1 比例比例2 2比例比例1 1 比例比例2 2H0P1P2 = 0P1P2 0P1P2 0H1P1P2 0P1P20两个总体比例之差的Z检验 (例题分析)两个总体比例之差的Z检验 (例题分析)vH0: 1 1- 2 2 0vH1: 1 1- 2 2 )v检验统计量F = S12 /S22F(n1 1 , n2 1)两个总体方差的 F 检验(临界值)0不能拒绝不能拒绝H0F拒绝拒绝H0) 1, 1(1) 1, 1(1222121nnFnnF) 1, 1(212nnF拒绝拒绝 H0两个总体方差的 F 检验 (例题分析)6615. 0461.3675429.24312221ssF0F两个总体方差比的检验 (例题分析)v【例例】一家房地产开发公司准备购进一批灯泡，公