第8章矩阵位移法

1、第第8章章 矩阵位移法矩阵位移法 仅限于求解杆系结构在静荷载作用下的位移和内力。仅限于求解杆系结构在静荷载作用下的位移和内力。以位移法为基础，从有限单元法的角度讲解结构的静以位移法为基础，从有限单元法的角度讲解结构的静力分析。既适用于静定结构，也适用于超静定结构，力分析。既适用于静定结构，也适用于超静定结构，易于编写通用的计算机程序，尤其对于大型复杂结构，易于编写通用的计算机程序，尤其对于大型复杂结构，该法具有很大的优越性，可大大减少手算的工作量，该法具有很大的优越性，可大大减少手算的工作量，是面向计算机的计算方法。是面向计算机的计算方法。 本章内容介绍本章内容介绍第第1 1节节 位移法回顾位

2、移法回顾第第2 2节节 基本概念基本概念第第3 3节节 单元刚度方程和单元刚度矩阵单元刚度方程和单元刚度矩阵第第4 4节节 坐标变换坐标变换第第5 5节节 用整体坐标表示单元刚度矩阵用整体坐标表示单元刚度矩阵第第6 6节节 结构刚度方程和总刚度矩阵结构刚度方程和总刚度矩阵第第7 7节节 直接刚度法直接刚度法第第8 8节节 荷载向量荷载向量第第9 9节节 支座条件的引进支座条件的引进第第1010节节 刚度方程的求解刚度方程的求解第第1111节节 由结点位移求杆端力由结点位移求杆端力习题训练习题训练第一节第一节 位移法回顾位移法回顾v本章介绍的杆系结构静力计算是以位移法为基础的，基本未知量的确定及

3、解题思路与位移法是一致的；在建立单元的刚度矩阵时，总要用到等截面直杆的刚度方程中的系数。理解该系数的物理意义是非常重要。位移法要点n位移法基本未知量：杆端节点位移。n位移法基本方程：节点位移对应的平衡方程；0000332211333332321312232322212111313212111npnnnnnnpnnpnnpnnFkkkkFkkkkFkkkkFkkkk以上方程即为结构的刚度方程。其中刚度系数以上方程即为结构的刚度方程。其中刚度系数kij为基本结构在位移为基本结构在位移 j=1作用下，在第作用下，在第i号附加约束上产生的反力。号附加约束上产生的反力。Fip为基本结构在荷载为基本结构在

4、荷载作用下，在第作用下，在第i号附加约束上产生的反力。号附加约束上产生的反力。n由以上基本方程解得结点位移；再由每根杆的刚度方程求得由以上基本方程解得结点位移；再由每根杆的刚度方程求得各杆端内力。各杆端内力。n基本体系把结构分划为若干独立的超静定梁，靠基本方程把基本体系把结构分划为若干独立的超静定梁，靠基本方程把它们组合在一起。它们组合在一起。等截面直杆的刚度方程n刚度方程：刚度方程：21266)(1642624lililiQQMMlQQliiiMliiiMBABAABBAABBAABBABABAABv杆端弯矩、剪力、杆端杆端弯矩、剪力、杆端侧移均以绕杆端顺时针侧移均以绕杆端顺时针为正。关键掌

5、握每个系为正。关键掌握每个系数的数值及含义。在今后经常用到。数的数值及含义。在今后经常用到。BABAABBAABlililililililiiiliiiQQMM2212661266642624v写成矩阵的形式：写成矩阵的形式：适用于两端都是刚结点的杆，适用于两端都是刚结点的杆， 基本未知量为杆两端的转角和侧移；基本未知量为杆两端的转角和侧移；一端简支等截面直杆的刚度方程v杆端弯矩、剪力、杆端位移均以绕杆端顺时针为正。杆端弯矩、剪力、杆端位移均以绕杆端顺时针为正。 关键掌握每个系数的数值及含义。在今后经常用到。关键掌握每个系数的数值及含义。在今后经常用到。233)(133liliQQMMlQQl

6、iiMBABAABBAABBAABAABn刚度方程：ABAABABlililililiiQQM22333333v写成矩阵的形式：写成矩阵的形式：适用于一端刚结点另一端铰结点的杆，适用于一端刚结点另一端铰结点的杆， 铰端转角任意，不再作为基本铰端转角任意，不再作为基本未知量；未知量；位移法的基本步骤n确定基本未知量及基本体系；确定基本未知量及基本体系；n利用基本体系建立位移法方程利用基本体系建立位移法方程:0022221211212111ppFkkFkkn根据各杆的刚度方程，分别求基本结构在荷载、根据各杆的刚度方程，分别求基本结构在荷载、 1=1及及 2=1 作用下的各杆端内力，以计算方程中各系

7、数。作用下的各杆端内力，以计算方程中各系数。（1）（2）（3）n把各系数代入以上基本方程，解得位移把各系数代入以上基本方程，解得位移 1、 2 ；再由每根；再由每根杆的刚度方程或叠加法求得各杆端内力。杆的刚度方程或叠加法求得各杆端内力。位移法的基本步骤（1）（2）（3） 第二节第二节 基本概念基本概念 结构离散化、单元杆端力，单元杆端位移、坐标结构离散化、单元杆端力，单元杆端位移、坐标系等等系等等 一一、结构离散化结构离散化 结构离散化结构离散化 结构静力计算首要工作，也是有限单元法的第一步。所谓结构离散化，把结构假想地划分成若干个相互分离的有限个单元, 单元与单元之间用结点联结。 用这样离散

8、化的单元集合体来代替原结构。 单元单元 最基本的分析部件 最简单的单元是等截面直杆 杆单元的两个端分别为 i 端和 j 端结点结点 杆件的转折点、汇交点、支撑点、截面突变点 等直杆再划分单元，单元之间的连接点荷载荷载 只作用在结点上。如果实际结构中有荷载作用在单元上，则等效地移置到结点上。 一一、结构离散化结构离散化 分析对象：分析对象：12341234原结构：原结构：图1图2图3二、杆端力和杆端位移二、杆端力和杆端位移 n杆端力杆端力n作用在单元两端的力就称为作用在单元两端的力就称为杆端力杆端力，在平面杆系结构中在平面杆系结构中， 一般情况下一般情况下，单元每端一般有三个杆端力分量，单元每端

9、一般有三个杆端力分量，即轴力、剪即轴力、剪力、弯矩。力、弯矩。统一用统一用 F(e) 来表示单元的杆端力向量来表示单元的杆端力向量: Tjjjiiievuvu)(TeFFFFFF654321)(Fn杆端位移杆端位移n单元在杆端力作用下会产生变形单元在杆端力作用下会产生变形，该变形会使单元产生位移，该变形会使单元产生位移， 单元两端点因此而产生位移就称为单元两端点因此而产生位移就称为杆端位移杆端位移。n在平面杆系结构中在平面杆系结构中， 一般情况下一般情况下，单元每端有三个位移分单元每端有三个位移分量量， 即轴向位移即轴向位移、竖向位移和转角。竖向位移和转角。 统一用单元杆端位移统一用单元杆端位

10、移向量向量(e) 来表示来表示: 三、坐标系坐标系 n单元坐标系（局部坐标系）：单元坐标系（局部坐标系）：n与单元联系在一起与单元联系在一起。在杆单元中，在杆单元中， 单元坐标系单元坐标系x 轴与杆轴重合，轴与杆轴重合，y 轴轴与杆横截面上的一个主轴重合。与杆横截面上的一个主轴重合。 坐标原点放在单元坐标原点放在单元 i 端端 点上，从点上，从 i 指指向向 j 的方向为的方向为x轴正向轴正向, 自自x轴轴逆时针旋转逆时针旋转90度的方向为度的方向为y轴正向，用轴正向，用符号符号xoy 表示单元坐标系。用来描述单元的变形和杆端力表示单元坐标系。用来描述单元的变形和杆端力。n每个单元都有各自独立

11、的坐标系，方向一般不同。每个单元都有各自独立的坐标系，方向一般不同。n整体坐标系：整体坐标系：n不随单元方向变化而变化的不随单元方向变化而变化的. 用它来描述结构整体的变形和受力，用它来描述结构整体的变形和受力， 如如结构的结点位移和结点力等结构的结点位移和结点力等。在一个结构中，在一个结构中， 整体坐标系只有唯一整体坐标系只有唯一的一个的一个。用符号用符号 表示。表示。 yoxy0 xo1o2o3o41234xyxxxyyy三、坐标系坐标系 单元单元1、2、3、4局部坐标系局部坐标系xo1y， xo2y，xo3y，xo4y yox图示结构离散化后，有唯一的整体坐标系图示结构离散化后，有唯一的

12、整体坐标系ijj5 k NN图5 k Ni9 k Ni3 0 k N. mQ图M图j9 k N1 5 k N. myMiFQiFNiixMjFNjjFQjn单元坐标系表示的杆端力向量单元坐标系表示的杆端力向量n作用在单元上的杆端力，作用在单元上的杆端力， 沿单元坐标方向分解沿单元坐标方向分解得到的杆端力分量得到的杆端力分量。TjQjNjiQiNieMFFMFF)(Fn杆端力向量中的杆端力向量中的其元素就是传统意义上的内力，即分别为单元其元素就是传统意义上的内力，即分别为单元 i 端端截面的截面的轴力、剪力、弯矩轴力、剪力、弯矩和和 j 端端截面的截面的轴力、剪力、弯矩轴力、剪力、弯矩，只是正负

13、，只是正负号规定不尽相同；号规定不尽相同；n内力的符号规定内力的符号规定：轴力以拉力为正。剪力和弯矩以绕杆端截面顺时针：轴力以拉力为正。剪力和弯矩以绕杆端截面顺时针转为正。转为正。 n单元坐标单元坐标表示的杆端力向量中的轴力、剪力以与单元坐标的方向一致表示的杆端力向量中的轴力、剪力以与单元坐标的方向一致为正，弯矩以绕杆端截面顺时针转为正。为正，弯矩以绕杆端截面顺时针转为正。( )5930.5915.TekNkNkN mkNkNkN mFn如上图示单元的杆端力向量如下，则内力图为：如上图示单元的杆端力向量如下，则内力图为：n整体坐标系表示的杆端力向量整体坐标系表示的杆端力向量n单元杆端力，沿整体

14、坐标方向分解得到的单元杆端力，沿整体坐标方向分解得到的杆端力分量构成的杆端力分量构成的向量。向量。654321)(FFFFFFeFyijxxyF3F2F1F4F5F6n单元坐标系表示的杆端位单元坐标系表示的杆端位移移)(e)(en整体坐标系表示的杆端位移整体坐标系表示的杆端位移 jjjiiievuvu)(654321)(en 单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系下分解，其位移分量就构成上面的杆端位移向量。下分解，其位移分量就构成上面的杆端位移向量。n与坐标轴的正方向一致者为正与坐标轴的正方向一致者为正; 返回目录返回目录分别为单元分别为单

15、元 i，j 两端沿整体坐标两端沿整体坐标 轴方向的力轴方向的力分量、分量、 轴方向的力分量、力矩分量，轴方向的力分量、力矩分量，以与整体坐标的方向一致为正。以与整体坐标的方向一致为正。 xy3.044.381.240.43M (KN.m)Q (KN)N (KN)作业1：已知单元的内力图，列出单元坐标下及整体坐标下的杆端力向量。xy作业2：已知单元的杆端力如图，写出单元坐标及整体坐标表示的单元杆端力向量，并作出单元的内力图。例题：已知某单元的单元坐标下的杆端力，TemKNKNKNmKNKNKNF.04. 343. 024. 1.09. 243. 024. 1)(作出单元的内力图。ij第三节 单元

16、刚度方程和单元刚度矩阵 v单元的杆端力和杆端位移之间的关系是通过单元刚度方程反映出来的，本节重点掌握单元刚度矩阵中每个刚度系数的物理意义，由此求得不同杆单元的刚度矩阵。（1 1）单元刚度方程）单元刚度方程 n单元的刚度方程给出了单元的单元的刚度方程给出了单元的杆端位移杆端位移(e)与与杆端力杆端力F(e)之间的关系之间的关系. n其中矩阵其中矩阵K(e) 称为称为单元刚度矩阵单元刚度矩阵。 单元刚度矩阵是一单元刚度矩阵是一个方阵个方阵. 它的阶数和内容视单元而定。如杆端位移它的阶数和内容视单元而定。如杆端位移(e)和杆端力和杆端力F(e)为为6阶向量，则阶向量，则K(e)为为6X6方阵。方阵。

17、)()()(eeeK KF Fn单元的刚度方程：单元的刚度方程：654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211654321uuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkFFFFFF 单元刚度矩阵物理意义利用矩阵乘法利用矩阵乘法, ,展开可得：展开可得：n如：单元刚度矩阵中第如：单元刚度矩阵中第i列的元素表示第列的元素表示第i号位移为一单位号位移为一单位值值(ui=1，其它为其它为0) 时引起的六个杆端力时引起的六个杆端力。单元刚度矩阵单元刚度矩阵中

18、的每一个元素称为刚度系数中的每一个元素称为刚度系数， 刚度系数表示一个力刚度系数表示一个力。 n矩阵中第矩阵中第r行行s列的元素列的元素krs，表示第表示第s号位移为一单位值时号位移为一单位值时引起沿第引起沿第r个杆端个杆端力力。由反力互等定理可知由反力互等定理可知 krs=ksr。 所以所以单元刚度矩阵是一个对称矩阵。它的每一个元素的值都可单元刚度矩阵是一个对称矩阵。它的每一个元素的值都可由结构力学中位移法的刚度方程中获得。由结构力学中位移法的刚度方程中获得。 666565464363262161665655545435325215156465454443432421414636535434

19、333232131362652542432322212126165154143132121111ukukukukukukFukukukukukukFukukukukukukFukukukukukukFukukukukukukFukukukukukukF(2) (2) 平面桁架单元平面桁架单元 n平面桁架单元只有轴向变形平面桁架单元只有轴向变形, 杆端力也只有轴力。杆端力也只有轴力。 yxFNjiFNiuilyFNiilxFNjjjujyxFNjiFNiuilyFNiilxFNjjjujjjiiNjNivuvulEAlEAlEAlEAFF00000000000000lEAKe0000010100

20、000101)(n单元的杆端力向量可表示为单元的杆端力向量可表示为: F(e)=FNi 0 FNj 0 Tn单元杆端位移向量可表示为单元杆端位移向量可表示为 ：(e)=ui vi uj vj Tn根据单元刚度矩阵的物理意义根据单元刚度矩阵的物理意义, 由由 得得单单元的刚度方程为元的刚度方程为: 则刚度矩阵：则刚度矩阵： ulEAFEAlFuNN（3）平面两端刚结点梁单元 n平面两端刚节点梁单元在一般情况下单元上作用着杆端力：平面两端刚节点梁单元在一般情况下单元上作用着杆端力：轴力、剪力和弯矩，单元的刚度方程为：轴力、剪力和弯矩，单元的刚度方程为： n根据单元的刚度矩阵的物理意义根据单元的刚度

21、矩阵的物理意义, ,由梁单元由梁单元受力和变形及前受力和变形及前面等截面直杆的刚度方程面等截面直杆的刚度方程可以列出平面可以列出平面两端刚节点梁单元梁单元的单元刚度矩阵为的单元刚度矩阵为: : )()()(eeeK KF FFQjjMiFNiFQiiyMjFNjxTjjjiiievuvu)(则：则：TjQjNjiQiNieMFFMFF)(FTjjjiiieMQNMQN)(F或：或：注意：杆端力与内力的符号规定不尽相同。注意：杆端力与内力的符号规定不尽相同。lyx2lylxvi1l21EIlEIluiEI1lEIlyxluj6EI6EI12EI3ll312EIy6EIl2l312EI12EIl3

22、xl26EIlvj1lyll2lx4EI2EI6EI6EI2l0i126EI4EI2EIl2ll6EI1llyx0jvi=1 lyx2lylxvi1l21EIlEIluiEI1lEIlyxluj6EI6EI12EI3ll312EIy6EIl2l312EI12EIl3xl26EIlvj1lyll2lx4EI2EI6EI6EI2l0i126EI4EI2EIl2ll6EI1llyx0ji=1 lyx2lylxvi1l21EIlEIluiEI1lEIlyxluj6EI6EI12EI3ll312EIy6EIl2l312EI12EIl3xl26EIlvj1lyll2lx4EI2EI6EI6EI2l0i12

23、6EI4EI2EIl2ll6EI1llyx0jvj=1 lyx2lylxvi1l21EIlEIluiEI1lEIlyxluj6EI6EI12EI3ll312EIy6EIl2l312EI12EIl3xl26EIlvj1lyll2lx4EI2EI6EI6EI2l0i126EI4EI2EIl2ll6EI1llyx0jj=1 lEAlEA00000000lEAlEA00312lEI312lEI26lEI26lEI00312lEI312lEI26lEI26lEI0026lEI26lEIlEI4lEI20026lEI26lEIlEI4lEI2ui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 平面梁

24、单元的单元刚度矩阵平面梁单元的单元刚度矩阵iNiQiMjNjQjMui=1 lyx1E AlE Aluiuj=1 E A1lE Alyxluj分别填写在分别填写在ui=1 ，vi =1 ，i=1， uj=1，vj=1， j=1 作用下，杆左右端截面的轴力、剪力、弯作用下，杆左右端截面的轴力、剪力、弯矩及右端截面的轴力、剪力、弯矩。矩及右端截面的轴力、剪力、弯矩。由此可得由此可得单元的刚度方程：单元的刚度方程：平面梁单元的单元的刚度方程为平面梁单元的单元的刚度方程为: : jjjiiijjjiiivuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIl

25、EIlEIlEIlEAlEAMQNMQN460260612061200000260460612061200000222323222323平面两端刚节点梁单元的单元刚度矩阵为平面两端刚节点梁单元的单元刚度矩阵为: : n单元刚度矩阵常用子块形式表示单元刚度矩阵常用子块形式表示: : lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAe460260612061200000260460612061200000222323222323)(K K)()()()()(ejjejieijeiieK KK KK KK KK Kn其中每个都是

26、其中每个都是33的方阵，子块的方阵，子块 K K(e)(e)ij ij表示杆端表示杆端j j 作用一单位作用一单位位移时位移时, , 杆杆i i 端引起的杆端力端引起的杆端力。（4）一端刚结点另一端铰结点的梁单元 n铰支端一般只有两个位移需计算铰支端一般只有两个位移需计算. . 铰结点的转角位移可认铰结点的转角位移可认为它是不独立的而不予考虑为它是不独立的而不予考虑. . 这样单元的杆端位移向量及这样单元的杆端位移向量及杆端力向量都只有五阶杆端力向量都只有五阶. . 单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为5 55:5:BF1F2F3CAF4EF5CETjjiiievuvu)(TQjNjiQiNieFFM

27、FF)(F如梁右端为铰结点，则：如梁右端为铰结点，则：TjjiiieQNMQN)(F或：或：)()()(eeeK KF Fn根据单元的刚度矩阵的物理意义根据单元的刚度矩阵的物理意义, ,由梁单元由梁单元受力和变形受力和变形可以可以列出该单元的单元刚度矩阵为列出该单元的单元刚度矩阵为: : lEAlEA000000lEAlEA0033lEI33lEI23lEI0033lEI33lEI23lEI0023lEI23lEIlEI3ui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 平面平面一端刚结点另一端铰结点一端刚结点另一端铰结点梁单元的单元刚度矩阵梁单元的单元刚度矩阵iNiQiMjNjQvi=1 3

28、EI33EIll23EI2ly3EIly123EIlvi3EIl3l3EI3lvj1ll0i13EI2lx3EIl3xi=1 3EI33EIll23EI2ly3EIly123EIlvi3EIl3l3EI3lvj1ll0i13EI2lx3EIl3xvj=1 3EI33EIll23EI2ly3EIly123EIlvi3EIl3l3EI3lvj1ll0i13EI2lx3EIl3x分别填写在分别填写在ui=1 ，vi =1 ，i=1， uj=1，vj=1， 作用下，杆左右端作用下，杆左右端截面的轴力、剪力、弯矩及右端截面的轴力、剪力。截面的轴力、剪力、弯矩及右端截面的轴力、剪力。由此可得单由此可得单元

29、的刚度方程：元的刚度方程：v 若单元若单元 i 端为铰结点端为铰结点， j 端为刚结点端为刚结点, 同样可建立同样可建立起起单元刚度矩阵单元刚度矩阵: 32322323)(303300003033030330000lEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAKelEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEAlEAKe33030330300003303000022233233)(v 若单元若单元 i 端为刚结点端为刚结点， j 端为铰结点端为铰结点, 则单元刚度则单元刚度矩阵为矩阵为: (5) (5) 空间桁架单元空间桁架单元 n空间桁

30、架单元每个节点具有空间桁架单元每个节点具有x、y、z方向的三个位移分量。方向的三个位移分量。00000000000000000000000000000000lEAlEAlEAlEAKe)(n单元的杆端力向量可表示为单元的杆端力向量可表示为: n单元杆端位移向量可表示为单元杆端位移向量可表示为 ：n单元的刚度方程为：单元的刚度方程为：n根据单元刚度矩阵的物理意义得根据单元刚度矩阵的物理意义得: Tjjjiiiewvuwvu)(TjNiNeFFF0000)()()()(eeeKF(6) (6) 空间刚架单元空间刚架单元 n空间刚架单元每个节点具有应有空间刚架单元每个节点具有应有6个自由度，即沿三个

31、坐个自由度，即沿三个坐标轴方向的线位移及分别绕三个坐标轴的转角标轴方向的线位移及分别绕三个坐标轴的转角 。杆端位。杆端位移和杆端力向量均为移和杆端力向量均为12阶。阶。n单元的杆端力向量可表示为单元的杆端力向量可表示为: )()()(eeeKFn单元杆端位移向量可表示为单元杆端位移向量可表示为 ：n单元的刚度方程为：单元的刚度方程为：Tjzjyjxjjjiziyixiiiewvuwvu)(TjzjyjxjzQjyQjNiziyixizQiyQiNeMMMFFFMMMFFFF)(则单元刚度矩阵为则单元刚度矩阵为1212阶。可根据单元刚度矩阵中的阶。可根据单元刚度矩阵中的各系数的物理意义求得空间刚

32、架单元的刚度矩阵。各系数的物理意义求得空间刚架单元的刚度矩阵。 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEAKzzzzYyyyzxyyyzzzzzYzzyze40006020006040600020600000000001200060120012060001200000040006040600000120012022223233232233对称)(空间刚架单元刚度矩阵 返回目录返回目录第四节 坐标变换 v在有限单元法中，总要用到两类坐标系，即单元坐在有限单元法中，总要用到两类坐标系，

33、即单元坐标系和整体坐标系，在不同的坐标系中，单元的杆标系和整体坐标系，在不同的坐标系中，单元的杆端力、杆端位移及刚度矩阵一般都不相同，要得到端力、杆端位移及刚度矩阵一般都不相同，要得到它们之间的关系，就要用到坐标坐标变换。首先来它们之间的关系，就要用到坐标坐标变换。首先来了解一下两类坐标之间的关系。了解一下两类坐标之间的关系。y0 xo1o2o3o41234xyxxxyyy坐标变换n在整体分析时，需要把不同单元的杆端力进行叠加，方在整体分析时，需要把不同单元的杆端力进行叠加，方向不一致的力是不能进行代数值相加的，这就需要将杆向不一致的力是不能进行代数值相加的，这就需要将杆端力进行适当的坐标变换

34、端力进行适当的坐标变换;n通过坐标变换使所有单元的杆端力和杆端位移都换成共通过坐标变换使所有单元的杆端力和杆端位移都换成共同的方向，即沿结构整体坐标的方向。同的方向，即沿结构整体坐标的方向。n在进行单元分析时，使用的是在进行单元分析时，使用的是单元坐标系，各杆端力的方向单元坐标系，各杆端力的方向与单元坐标系的方向是一致的。与单元坐标系的方向是一致的。 整个结构中各杆单元坐标系的整个结构中各杆单元坐标系的方向并不完全一致。方向不同方向并不完全一致。方向不同的单元的杆端力的方向也不一的单元的杆端力的方向也不一致。致。1 1. .坐标变换矩阵坐标变换矩阵 设一向量设一向量R在单元坐标系在单元坐标系x

35、oy上的投影分别为上的投影分别为x 和和y ，而在结而在结构整体坐标上的投影为构整体坐标上的投影为 和和 ，则它们投影之间的关系为：，则它们投影之间的关系为：yxxxayyyyRxxayaxxsincosyxaaaayxcossinsincos 写成矩阵形式：写成矩阵形式： 称为坐标变换矩阵称为坐标变换矩阵, 且是一个正交矩阵且是一个正交矩阵 。为。为两坐标系之间的夹角，两坐标系之间的夹角，即即结构整体坐标系结构整体坐标系逆时针逆时针转至与转至与单元坐标系单元坐标系重合时所转过的角度。重合时所转过的角度。 R R R R 即：即：aaaacossinsincos 其中：其中：T1因因：yxaa

36、aayxcossinsincos 即：即：RRT 则：则：aaayaxycossin2 2平面桁架单元杆端力的平面桁架单元杆端力的坐标变换矩阵坐标变换矩阵 n把单元两端的杆端力统一表示，则把单元两端的杆端力统一表示，则 ： 43FF21FFn设已知杆端力沿整体坐标轴方向的分量为设已知杆端力沿整体坐标轴方向的分量为 和和 ，其沿单元坐标轴方向的分量为其沿单元坐标轴方向的分量为 F1 、F2 和和F3 、F4 ，则，则2121FFaaaaFFcossinsincos4343FFaaaaFFcossinsincos 4321432100FFFFaaaaaaaaFFFFcossinsincoscoss

37、insincos T T(e)(e)00n则平面桁架单元杆端力的坐标变换矩阵则平面桁架单元杆端力的坐标变换矩阵T： )(eF FT TF F( (e e) )( (e e) )即n杆端位移和杆端力是一一对应的，所以杆杆端位移和杆端力是一一对应的，所以杆端位移也可以用端位移也可以用T矩阵来进行变换。即：矩阵来进行变换。即：)(e( (e e) )( (e e) )T T3 3. .平面刚架单元杆端力的平面刚架单元杆端力的坐标变换矩阵坐标变换矩阵 则：则：yoxn整体坐标系整体坐标系 与单元坐标系与单元坐标系xoy之间的变换可视为坐标之间的变换可视为坐标系绕系绕z轴旋转轴旋转a角。该变换不影响角。

38、该变换不影响弯矩向量弯矩向量对对z轴的投影。轴的投影。n如把单元左端如把单元左端(i 端端)的三个杆端力分量用的三个杆端力分量用F1 , F2 , F3表示，表示，右端右端(j 端端)用用F4 , F5 , F6表示，故表示，故,32132110000FFFaaaaFFFcossinsincos65465410000FFFaaaaFFFcossinsincos10000aaaacossinsincos )(eF FT TF F( (e e) )( (e e) )即： T T(e)(e)00n则平面刚架单元杆端力的坐标变换矩阵则平面刚架单元杆端力的坐标变换矩阵T： T( (e e) )( (e

39、e) )T TT T1且：且：( (e e) )T T( (e e) )F FT TF F)(e则：则：n杆端位移的变换：杆端位移的变换：)(e( (e e) )( (e e) )T T例例2-1平面桁架如图所示，各杆截面平面桁架如图所示，各杆截面EA均为常数。已知均为常数。已知P1=15kN,P2=20kN，试计算桁架各杆轴力。试计算桁架各杆轴力。 1. 对结点和单元编号如图示对结点和单元编号如图示;2. 列表表示各单元参数列表表示各单元参数;单元单元单元坐标单元坐标x轴方向轴方向cossin单元长度单元长度l(m)120101.732 32300.8660.52.001m312P2130P

40、12xy732. 10000010100000101) 1 (EAK3.列出各单元刚度矩阵列出各单元刚度矩阵20000010100000101)2(EAK单元单元(2)的单元坐标与整体坐标不一致，要进行坐标变换：的单元坐标与整体坐标不一致，要进行坐标变换：4. 单元单元(2) 的坐标变换矩阵：的坐标变换矩阵： 866. 05 . 005 . 0866. 0866. 05 . 005 . 0866. 0) 2(TEAT130998.8500) 1 (EAvEAu/309/98.8522若已经求得节点若已经求得节点2的位移如下，试计算各杆的内力的位移如下，试计算各杆的内力EAT130998.850

41、0)2(EA158.31004.8000)2(2)(2)T T5. 各单元的杆端位移：各单元的杆端位移：整体坐标表示：整体坐标表示：单元坐标表示：单元坐标表示：EAT130998.8500) 1 () 1 ( 1m312P2130P12xy6. 各单元的杆端内力：各单元的杆端内力：EAl98.85164.4998.853311EAEAlEANEAl04.80202.40)04.80(2222EAEAlEAN方法方法1：由内力与变形的关系计算：由内力与变形的关系计算)()()(eeeK KF F方法方法2：由单元的刚度方程：由单元的刚度方程 计算计算T064.49064.49) 1 () 1 (

42、) 1 (K KF FT002.40002.40)2()2()2(K KF F由各单元的杆端位移向量可得各由各单元的杆端位移向量可得各单元的轴向变形：单元的轴向变形：各杆的轴力：各杆的轴力：由此知各单元的轴力：由此知各单元的轴力：KNN64.491KNN02.4021m312P2130P12xy4 4. .空间桁架单元杆端力的空间桁架单元杆端力的坐标变换矩阵坐标变换矩阵 n设一空间向量设一空间向量F，它在整体坐标系上的投影为它在整体坐标系上的投影为 ,它它在单元坐标系上的投影为在单元坐标系上的投影为XYZ，用向量投影定理用向量投影定理 :ZYX),cos(),cos(),cos(),cos()

43、,cos(),cos(),cos(),cos(),cos(zzZzyYzxXZyzZyyYyxXYxzZxyYxxXX等),cos(),cos(),cos(),cos(23131211zyCzxCyxCxxCZYXCCCCCCCCCZYX333231232221131211表示坐标轴表示坐标轴x与之间夹角的余弦，其余类推。令与之间夹角的余弦，其余类推。令 ),cos(xx空间向量坐标变换矩阵：空间向量坐标变换矩阵： 333231232221131211CCCCCCCCC F F F F则：则：写成矩阵的形式：写成矩阵的形式：4 4. .空间桁架单元杆端力的空间桁架单元杆端力的坐标变换矩阵坐标变

44、换矩阵 n空间桁架单元杆端力只有轴力，且方向也与坐标轴空间桁架单元杆端力只有轴力，且方向也与坐标轴x重合，重合，杆端力在单元坐标轴杆端力在单元坐标轴y,z轴的投影总是为零的。即轴的投影总是为零的。即空间向量坐标变换矩阵：空间向量坐标变换矩阵： 令：令：00),cos(),cos(),cos(321ZYxzFxyFxxFX表示杆端力在整体坐标轴上的投影。表示杆端力在整体坐标轴上的投影。321FFFzyxClzxzClyxyClxxx),cos(),cos(),cos(ZYXCCCZYXzyx000000000000zyxCCC可写成：可写成：F F F F则：则：5 5. .空间桁架单元杆端力的

45、空间桁架单元杆端力的坐标变换矩阵坐标变换矩阵 n考虑空间桁架单元两端的杆端力，则有考虑空间桁架单元两端的杆端力，则有n相对于单元坐标系的杆端力向量：相对于单元坐标系的杆端力向量：n空间桁架杆端力坐标变换矩阵空间桁架杆端力坐标变换矩阵 ：n其中相对于整体坐标系的杆端力向量其中相对于整体坐标系的杆端力向量 ：65432141000000000000000000FFFFFFCCCCCCFFzyxzyxTFF000021(e)(e)F FTeFFFFFF654321)(F F T T00即：即：)(eF FT TF F( (e e) )返回目录返回目录5210339400424304213104243

46、04072142131169700424300424303394004243042131407210424304213104243040721421310424304072142131.)(称对K K得单元（得单元（2 2）整体坐标表示的单元刚度矩阵：）整体坐标表示的单元刚度矩阵：返回目录返回目录第五节第五节 用整体坐标表示用整体坐标表示单元刚度矩阵单元刚度矩阵 v在装配结构总刚度矩阵时，必须把单元坐标表示的单元刚度矩阵变换到整体坐标下，本节将给出二者之间的关系。1 1. .公式推导公式推导 单元坐标下的杆端力、杆端位移单元坐标下的杆端力、杆端位移 ： )()()(eee K KF Fn整体坐

47、标表示的单元刚度方程：整体坐标表示的单元刚度方程：(e)(e)(e)F FT TF F)()(ee(e)T)()()()()(eeeTee T TK KT TF F)()()()(eeTeeT TK KT TK Kn单元刚度方程：单元刚度方程： 中的杆端位移向量中的杆端位移向量 和杆端力和杆端力向量向量 均应进行坐标变换，换成按整体坐标表示均应进行坐标变换，换成按整体坐标表示 、 。)()()(eee K KF F)(eF F)(e )(eF F)(e )()()(eee K KF F)()()(eee(e)(e)TKF FT T单元坐标下的刚度方程单元坐标下的刚度方程 化为：化为： 1)()

48、(eTeT TT T上式两边分别左乘上式两边分别左乘 ， 且由且由 ： Te )(T Tv 得整体坐标表示的单元刚度矩阵：得整体坐标表示的单元刚度矩阵：?)(eK K)(eK K2 2. .平面桁架单元整体坐标平面桁架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵表示的单元刚度矩阵 aaaaaaaaTecossin0sincoscossin0sincos)(lEAKe0000010100000101)(lEACCCCCCCCCCCCCCyyxxyyxyyxxyxxe222222)(对称K Kn由前面求得的平面桁架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵由前面求得的平面桁架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵)()()()(eeT

49、eeT TK KT TK K令：令： C Cx x=cos=cos, ,C Cy y=sin=sin，且把上式代入且把上式代入 得：得：上式即为平面桁架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵上式即为平面桁架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵例例2-1平面桁架如图所示，各杆截面平面桁架如图所示，各杆截面EA均为常数。已知均为常数。已知P1=15kN,P2=20kN，试桁架各杆轴力。试桁架各杆轴力。 1.对结点和单元编号如图示对结点和单元编号如图示;2. 列表表示各单元参数列表表示各单元参数;单元单元单元坐标单元坐标x轴方向轴方向cos即即Cxsin即即Cy单元长度单元长度l(m)120101.732 323

50、00.8660.52.00732. 10000010100000101) 1 (EAK3.列出各单元刚度矩阵列出各单元刚度矩阵20000010100000101)2(EAK1m312P2130P12xy732.10000010100000101) 1 () 1 (EAKK4.列出整体坐标表示的各单元刚度矩阵列出整体坐标表示的各单元刚度矩阵;lEACCCCCCCCCCCCCCyyxxyyxyyxxyxxe222222)(对称K K2250433025043304330750433075025043302504330433075043307502EA.)(K K第一种方法： 直接代入公式：单元（单

51、元（1 1）的单元坐标和整体坐标一致，所以）的单元坐标和整体坐标一致，所以单元（单元（2 2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换换第二种方法： 利用坐标变换公式：)()()()(eeTeeT TK KT TK K 866. 05 . 005 . 0866. 0866. 05 . 005 . 0866. 0) 2(T20000010100000101)2(EAK866. 05 . 0005 . 0866. 00000866. 05 . 0005 . 0866. 020000010100000101866. 05 . 0005 . 0866.

52、00000866. 05 . 0005 . 0866. 0)2(EAK225. 0433. 025. 0433. 0433. 075. 0433. 075. 025. 0433. 025. 0433. 0433. 075. 0433. 075. 0EA)2()2()2()2(T TK KT TK KT以上代入公式：3 3. .平面刚架单元整体坐标平面刚架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵表示的单元刚度矩阵 n由前面求得的平面刚架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵由前面求得的平面刚架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEI

53、lEIlEIlEAlEAe4602606120612000002604606120612000002223232222323)(K K 1000cossin00sincos10000cossin0sincos)(aaaaaaaaTen单元刚度矩阵和坐标变换矩阵是单元的固有属性，仅有单元的单元刚度矩阵和坐标变换矩阵是单元的固有属性，仅有单元的E, I, l, a有关。利用下式即可计算出整体坐标表示的单元刚度矩阵。有关。利用下式即可计算出整体坐标表示的单元刚度矩阵。)()()()(eeTeeT TK KT TK K3 3. .平面刚架单元整体坐标平面刚架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵表示的单元刚度

54、矩阵 上式即为平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵。一般不需专门记上式即为平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵。一般不需专门记忆，只要记住单元坐标表示的单元刚度矩阵和二者之间的关系。忆，只要记住单元坐标表示的单元刚度矩阵和二者之间的关系。)()()()(eeTeeT TK KT TK K令：令： ， ，C Cx x=cos=cos, ,C Cy y=sin=sin，且把上式代入且把上式代入 得：得：lEAB lEIi ixClixCliyBCyCliyCxCliByClixBCixCliyCliixClixCliyBCyCxCliBxClixCliYBCyCliyCxCliByClixBCyCli

55、yCxCliByClixBCeK46221226)212(221222664622122)212(6221226)212(221226)212(22122)(对称平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵程序设计平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵程序设计void change(double *ke, double *T)int i, j,m; double k66；for(i=0; i6; i+) for(j=0; j6; j+) kij=0; for(m=0; m6; m+) kij+=Tm*6+i*kem*i+j ;for(i=0; i6; i+) for(j=0; j6; j+) kei*6+j

56、=0; for(m=0; m6; m+) kei*6+j+= ki m* Tm*6+j ;q = 20 KN/m26m6m26m11336046060q = 20 KN/m6060606060 6m6m6m=20KN/m例例 2-3 平面刚架如图所示，各杆截面相同。平面刚架如图所示，各杆截面相同。E=1107kN/m2,A=0.24m2,I=0.0072m4，求各杆端力，并画出内力图。求各杆端力，并画出内力图。 1231234q = 20 KN/m6m6m6m解解 1.对应结点及各单元编号如图所示对应结点及各单元编号如图所示;单元单元单元坐标单元坐标x轴轴CxCy1301041050.1210

57、523450.70710.70712.82851050.08491053401041050.12105lEAB lEIi 2.列出单元参数表列出单元参数表;3.列出单元坐标表示的单元刚度矩阵列出单元坐标表示的单元刚度矩阵 5) 1 (1048. 012. 004. 000424. 012. 0048. 0012. 004. 0012. 004. 00004004称对K KlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAe4602606120612000002604606120612000002223232222323)(K

58、 K将以上参数代入公式：5)2(100.3396060. 00.0142008285. 20.1698060. 000.33960060. 00.01420060. 00.01420008285. 2008285. 2称对K K) 1 () 3 (K KK K3.列出整体坐标表示的单元刚度矩阵列出整体坐标表示的单元刚度矩阵 第一种方法： 直接代入公式：单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换5) 3() 1 (1048. 012. 004. 000424. 012. 0048. 0012. 004. 0012. 004. 000040

59、04称对K KK KixClixCliyBCyCliyCxCliByClixBCixCliyCliixClixCliyBCyCxCliBxClixCliYBCyCliyCxCliByClixBCyCliyCxCliByClixBCeK46221226)212(221222664622122)212(6221226)212(221226)212(22122)(对称第二种方法： 利用坐标变换公式：)()()()(eeTeeT TK KT TK K)2()2()2()2(T TK KT TK KT以上代入公式：5)2(100.3396060. 00.0142008285. 20.1698060. 0

60、00.33960060. 00.01420060. 00.01420008285. 2008285. 2称对K K 10000007071. 07071. 000007071. 07071. 000000010000007071. 07071. 000007071. 07071. 01000cossin00sincos10000cossin0sincos) 2 (aaaaaaaaT521033940042430421310424304072142131169700424300424303394004243042131407210424304213104243040721421310424304