中考复习篇之《专题四规律探索题》

1、专题四规律探索题类型一数式规律探索（2017 安徽）【阅读理解】我们知道，1 +2+3+ n=n （nJ，,那么12 + 22+ 32+ n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1,即12,第2行两个圆圈中数 的和为2+ 2,即22,；第n行n个圆圈中数的和为n + n+-nn个n ,即 n2.这样，该三角形数阵中共有n；2 + 22+ 32+ + 2 0172 中41+2+3+ - +2 017的中果为）个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22 + 32 + n2.【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图 2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数如

2、第(n 1)行的第一个圆圈中的数分别为n1, 2, n,发现每个位置上三个圆圈中数的和均为得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(1 2 + 22 + 32 +- + n2)=【分析】第一空只需将n1, 2 n相加即可，;每个三角形数阵中共有n (n+ 1)2个圆圈，而每个位置上三个圆圈中数的和均为 2n+1, 三个三角形数阵中所有 圆圈中数的总和为（2n + 1） n（才）,从而第二空，第三、四空易求.【自主解答】【方法点拨】解决规律探究型问题的一般思路是通过对所给的具体结论进行全 面、细致的观察、分析、比较，从中发现规律，并猜想出一般性结论，其中关 于等式的规律探索：用含字母的代数式进

3、行归纳，注意字母往往还具有反映等 式序号的作用.1. （2019 合肥二模）观察下列等式：42 12 952 22962- 32-9第1个等式：4 2 9 =3,第2个等式：5 2 9 =6,第3个等式：6 2 9=9,第4个等式:72 42 92=12,按照以上规律，解决下列问题:（1）写出第5个等式：:(2) 写出你猜想的第n 个等式： (用含 n 的等式表示)，并证明2. (2019 淮北市滩溪县二模)观察下列式子：0X2+1 = 121X3+1 = 2222X4+1 = 33X5+1=42(1) 第个式子是，第个式子是 ；(2) 请用含 n(n 为正整数 ) 的式子表示上述规律，并证明

4、3. (2019 合肥包河区一模)杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261 年的著作 详解九章算法里面的一张图， 即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：(1) 图中给出了七行数字，根据构成规律，第9 行中从左边数第4 个数是(2) 第 n 行中从左边数第2 个数为 ； 第 n 行中所有数字之和为4. (2019 安徽)观察以下等式：2 1 1第1个等式：2=1+1, 1 112 1 1第2个等式：2=1+1,3 2 62 11第3个等式：2=1+-,5 3 152 11第4个等式：2 = 1+-, 7 4 282 11第5个等式：2=1+-, 9

5、5 45按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：;(2)写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.5. (2019 全椒县一模)已知下列等式：(3 + 1)2(3 1)2 = 4X3X1；(5 + 3) 2 (5 3)2 = 4X 5X 3;(7 + 5) 2 (7 5)2 = 4X7X5;(9 + 7) 2 (9 7)2 = 4X 9X 7.(1) 请仔细观察，写出第5 个式子；(2) 写出第 n 个式子，并运用所学知识说明第n 个等式成立类型二 图形规律探索(2016 安徽)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：图1(3) 观察下图，根据(1) 中结论，计算图中黑球

6、的个数，用含有n 的代数式填空：图21 + 3 + 5 + -+ (2n 1) +() +(2n 1) + + 5+ 3+1=.【分析】(1) 第一项和第二项的结果不难填空；(2) 先判断图中第(n 1) 行的黑球的个数，然后运用倒序相加法求出1+3+-+(2n-1) +(2n +1)的和即可完成填空【自主解答】【方法点拨】 对于图形规律探索题常按以下步骤操作：写序号：记每组图形的序数为“1, 2, 3,，n ；数图形的个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形表示的个数；寻找图形数量与序号 n的关系：在寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对，通过作差

7、( 商 ) 来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数；验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确.1. (2019 甘肃改编)如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，.(1) 第 5 幅图中有 个菱形，第 n 幅图中有个菱形；(2) 如果第 n 幅图中有2 019 个菱形，求n.2. （2018 黔南州）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图 1 有 6 个点，图2 有 12 个点，图3 有 18个点，.按此规律，求图10、图n有多少个点.我们将每个图形分成完全相

8、同的6 块，每块黑点的个数相同（ 如图 ） ，这样图1中黑点的个数是6X1 = 6个；图2中黑点的个数是6X2=12个；图3中黑点的个数是6X3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：（1） 第 5 个点阵中有个圆圈；第 n 个点阵中有个圆圈（2） 小圆圈的个数会等于271 吗？如果会，请求出是第几个点阵3. (2019 瑶海区一模)下列每一幅图都是由白色小正方形和黑色小正方形组 成（1） 第 10 幅图中有 个白色小正方形， 个黑色小正方形；（2） 第 n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于（用 n

9、表示， n 是正整数 ） 4. （2019 合肥市长丰县模拟）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形第个图形中有1 个正方形；第个图形中有1 + 3 = 4个小正方形；第个图形中有1 + 3 + 5=9个小正方形；第个图形中有个小正方形（ 直接写出结果） ；根据上面的发现我们可以猜想：1 + 3 + 5+7+-+ (2n 1) =(用 含n的代数式表示)；(2)请根据你的发现计算：1 + 3+5+7+ - + 99 =; 101+ 103+105+- + 199=.5. (2019 芜湖县二模)如图，正方形ABCDW部有若干个点，用这些点以及正 方形ABCD勺顶点A、B、C、

10、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)：(1)填写下表:正方形ABCDg点的个数1234n分割成的三角形的个数46(2)原正方形能否被分割成2 016个三角形？若能，求此时正方形 ABCDW部有 多少个点；若不能，请说明理由6. (2019 芜湖二模)某广场用如图1所示的同一种地砖拼图案，第一次拼成图 案如图2所示，共用地砖4块；第二次拼成的图案如图3所示，共用地砖4+2X4 =12块；第三次拼成的图案如图4所示，共用地石专4 + 2X4+2X6= 24块，(1) 直接写出第四次拼成的图案共用地砖块；(2) 按照这样的规律进行下去，求第n 次拼成的图案共用地砖的数量(先用含n的式子表示，后

11、化简) 7. （2019 南陵县一模）【问题背景】在4ABC内部，有点Pi,可构成3个不重 叠的小三角形（如图1）.【探究发现】当 ABC内点的个数增加时（如图 的小三角形的个数情况.,探究三角形内互不重叠A 基.P C图1图2图3（1）填表:三角形内点的个数n1234不重叠三角形个数S（2）当 ABC内部有n个点（Pi,已，Pn）时，三角形内不重叠的小三角形的个数S= 2 019 ,求n的值.8. （2019 安徽模拟）如图，是由边长相等的小正方形组成的几何图形，Sn（n 1） 表示第n个图形中小正方形的个数.(1) 观察下列图形与等式的关系，并填空：(2)根据(1)中的两个结论填空:S2

12、=, Sn=(用含有n的代数式表示).参考答案【专题类型突破】 类型一【例1规律探究每个位置上三个圆圈中数的和均为 n-1 + 2+n = 2n+1,每个三角形数阵中共有1 + 2 + 3+-+ n = n(n21)个圆圈,三个空依次填2n+1;n (n+ 1) ( 2n+ 1)2n (n+ 1) (2n+ 1)6解决问题1 345跟踪训练有82- 52-91 .解：(1)2=化(n + 3) n 9=3n证明：等式左边=(n + 3) n 9 n +6n+9-n 9 6n3n=等式右边.2 .解：(1)4 X6+ 1 = 52 9X 11+ 1 = 102(2)第 n 个式子为(n 1)(n

13、 + 1) + 1 = n2, 证明：:左边=吊一1 + 1 =,，右边=n2,左边=右边，即(n 1)(n +1) + 1 = n2.3 .解：(1)56(2)n -1 2n 1解法提示设第n行第2个数为an(n A2,且n为正整数)，观察发现规律： ,a2=1, a3=2, a4= 3, a5 = 4, 8 = 5, - an = n - 1; 二第 1 彳丁数字之和 1 =20, 第2行数字之和2=21,第3行数字之和4=22,第4行数字之和8 =23, 第n行数字之和为2 n12114 .解：(1)第6个等式：行=6+ 66211 2n 1 -n+ n (2n1)证明:-11 2n-1

14、 + 12-、:右边=n+n (2n1) = n (2n-1) = 2n%=左边，等式成上.5 .解:(1)第 5 个式子为:(11+9)2 (11 9)2=4X11X9. 第 n 个式子：(2n + 1) + (2n 1) 2-(2n +1) (2n -1) 2 = 4(2n + 1)(2n 1),证明：左边=(4n) 2-22=4(2n) 2-12 =4(2n + 1)(2n 1)=右边，等式成立.类型二【例2】(1)4 2 n2(2)2n +1 2n2+2n+1解法提示由(1)可知题图中第(n + 1)行的黑球个数为2n+1; 1 + 3+5+ - +(2n 1) + (2n+1) =

15、(n + 1)2 = n2+2n+1, 1+ 3+5 + (2n 1) =n2, n2+2n+ 1 + n2 = 2n2+2n+1.跟踪训练1解：(1)9 (2n1)(2)2n-1=2 019, n=1 010.2解：60 6n(1)613n2 3n 1 依题意得3n2-3n+1 = 271,解得m=10, n2= 9(不合题意，舍去).所以小圆圈的个数会等于271，是第 10个点阵3解：(1)100 40(2)n 2 4n解法提示第1个图形：白色小正方形1个，黑色小正方形4X1 = 4个，共有1+ 4=5 个；第2个图形：白色小正方形2X2=4个，黑色小正方形4X2=8个，共有4+8=12

16、个；第3个图形：白色小正方形3X3= 9个，黑色小正方形4X3= 12个，共有9+12=21 个；第n个图形：白色小正方形n2个，黑色小正方形4n个，共有n2+4n个.4解：25(1)n 2(2) 2 500 7 5005解：(1)8 10 2(n 1)(2) 能设点数为n，贝U 2(n + 1)=2 016,解得 n=1 007.答：原正方形能被分割成2 016个三角形，此时正方形ABCD1部有1 007个点.6解：(1)40(2)第一次拼成如图1所示的图案共用4块地砖，4=2X(1X2),第二拼成如图2所示的图案共用12块地石专，12 = 2X(2X3),第三次拼成如图3所示的图案共用24块地石专，24 = 2X(3X4),第四次拼成如图4所示的图案共用40块地石专，40 = 2X(4 X5),第n次拼成的图案共用2Xn(n+1)=2(n2+n)块地石专.7解：(1)35 7 9(2)图1中，当 ABC内有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形;图2中，当ABC3有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形；图3中，当ABC3有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形；当ABC3有4个点时，可分割成9个互不